introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-134

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376 ❍ CAPÍTULO 9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
9.44 Muestras aleatorias independientes de 280 y 
350 observaciones se seleccionaron de poblaciones 
binomiales 1 y 2, respectivamente. La muestra 1 
tuvo 132 éxitos y la muestra 2 tuvo 178 éxitos. ¿Los 
datos presentan sufi ciente evidencia para indicar que 
la proporción de éxitos en la población 1 es menor 
que la proporción en la población 2? Use uno de los 
dos métodos de prueba presentados en esta sección y 
explique sus conclusiones.
APLICACIONES
9.45 Tratamiento contra control Se realizó 
un experimento para probar el efecto de un nuevo 
medicamento en una infección viral. La infección fue 
inducida en 100 ratones y éstos se dividieron al azar en 
dos grupos de 50. El primer grupo, el grupo de control, 
no recibió tratamiento para la infección; el segundo grupo 
recibió el medicamento. Después de un periodo de 30 
días, las proporciones de sobrevivientes, p̂1 y p̂2, en los 
dos grupos se encontraron de .36 y .60, respectivamente.
a. ¿Hay evidencia sufi ciente para indicar que el 
medicamento es efectivo para tratar la infección viral? 
Use a � .05.
b. Use un intervalo de confi anza de 95% para estimar la 
diferencia real en los porcentajes de curación para los 
grupos tratados contra los de control.
9.46 Marketing en cine El marketing a grupos 
objetivo por edades se ha convertido en un método 
de publicidad, incluso en anuncios en los cines. Los 
anunciadores usan software para rastrear la demografía 
de espectadores y luego decidir el tipo de productos 
a anunciar antes de una película en particular.12 Un 
estadístico que podría ser de interés es la frecuencia con 
la que adultos e hijos de menos de 18 años asisten al cine 
en comparación con los adultos sin hijos. Suponga que 
la base de datos de un cine se utiliza para seleccionar al 
azar mil compradores adultos de boletos. Estos adultos 
son encuestados después y se les pregunta si eran 
TÉCNICAS BÁSICAS
9.42 Muestras aleatorias independientes de n1 � 140 
y n2 � 140 observaciones se seleccionaron al azar de 
las poblaciones binomiales 1 y 2, respectivamente. La 
muestra 1 tuvo 74 éxitos y la muestra 2 tuvo 81 éxitos.
a. Suponga que no se tiene idea preconcebida en cuanto 
a cuál parámetro, p1 o p2, es el mayor, pero se desea 
detectar sólo una diferencia entre los dos parámetros 
si existe una. ¿Cuál escogería usted como hipótesis 
alternativa para una prueba estadística? ¿La hipótesis 
nula?
b. Calcule el error estándar de la diferencia en las dos 
proporciones muestrales, (p̂1 � p̂2). Asegúrese de usar 
la estimación agrupada para el valor común de p.
c. Calcule el estadístico de prueba que usaría para la 
prueba del inciso a). Con base en su conocimiento 
de la distribución normal estándar, ¿esta observación 
es probable o es improbable, suponiendo que H0 sea 
verdadera y las dos proporciones poblacionales son 
iguales?
d. Método del valor p: Encuentre el valor p para la 
prueba. Pruebe para una diferencia signifi cativa 
de las proporciones poblacionales al nivel de 
signifi cancia del 1%.
e. Método del valor crítico: Encuentre la región de 
rechazo cuando a � .01. ¿Los datos dan sufi ciente 
evidencia para indicar una diferencia en las 
proporciones poblacionales?
9.43 Consulte el ejercicio 9.42. Suponga, por razones 
prácticas, que sabe que p1 no puede ser mayor que p2.
a. Dado este conocimiento, ¿qué debería escoger como 
hipótesis alternativa para su prueba estadística? 
¿Y la hipótesis nula?
b. ¿Su hipótesis alternativa del inciso a) implica una 
prueba de una o de dos colas? Explique.
c. Realice la prueba y exprese sus conclusiones. Pruebe 
usando a � .05.
 EJERCICIOS9.6
modifi ca para probar H0 : (p1 � p2) � D0, y una estimación agrupada para un p común ya 
no se usa en el error estándar. El estadístico de prueba modifi cado es
z � 
 ( p̂1 � p̂2) � D0
��
��p̂n1
q
1
1̂
� � �
p̂
n
2q
2
2̂
�
Aun cuando este estadístico de prueba no se usa con frecuencia, el procedimiento no es 
diferente de otras pruebas de muestra grande que ya hemos aprendido.
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 9.6 UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES BINOMIALES ❍ 377
espectadores frecuentes en el cine, es decir, ¿van al cine 
12 o más veces al año? Los resultados se muestran en la 
tabla:
 Con hijos
 menores Sin
 de 18 hijos
Tamaño muestral 440 560
Número que van 12 o más veces al año 123 145
a. ¿Hay diferencia signifi cativa en las proporciones 
poblacionales de espectadores frecuentes en estos dos 
grupos demográfi cos? Use a � .01.
b. ¿Por qué una diferencia estadísticamente signifi cativa 
en estas proporciones poblacionales sería de 
importancia práctica para el anunciante?
9.47 M&M’S En el ejercicio 8.53, investigamos si 
Mars, Inc., usa la misma proporción de M&M’S en sus 
variedades sencillas y de cacahuate. Muestras aleatorias 
de M&M’S sencillas y de cacahuate dan los siguientes 
datos muestrales para el experimento:
 Sencillo Cacahuate
Tamaño muestral 56 32
Número de M&M’S rojos 12 8
Use una prueba de hipótesis para determinar si hay una 
diferencia signifi cativa en las proporciones de dulces 
rojos para los dos tipos de M&M’S. Sea a � .05 y 
compare sus resultados con los del ejercicio 8.53.
9.48 Terapia hormonal y enfermedad de 
Alzheimer En los últimos años, muchos estudios de 
investigación han demostrado que los benefi cios que 
se buscan con terapia hormonal de reemplazo (HRT) 
no existen y de hecho esa terapia de cambio hormonal 
aumenta el riesgo de varias enfermedades graves. Un 
experimento de cuatro años donde intervinieron 4532 
mujeres, publicado en The Press Enterprise, se realizó 
en 39 centros médicos. La mitad de las mujeres tomaron 
placebos y la otra mitad tomó Prempro, una terapia 
hormonal de reemplazo que se receta con frecuencia. 
Hubo 40 casos de demencia en el grupo hormonal y 21 en 
el de placebos.13 ¿Hay sufi ciente evidencia para indicar 
que el riesgo de demencia es más alto para pacientes que 
usan Prempro? Pruebe al nivel de signifi cancia del 1%.
9.49 HRT, continúa Consulte el ejercicio 9.48. 
Calcule un límite inferior de una cola a 99% de 
confi anza para la diferencia en el riesgo de demencia para 
mujeres que usan terapia hormonal de reemplazo contra 
las que no lo usan. ¿Esta diferencia sería de importancia 
práctica para una mujer que considera la terapia 
hormonal de reemplazo (HRT)? Explique.
9.50 Clopidogrel y aspirina Un gran estudio se 
realizó para probar la efectividad del clopidogrel en 
combinación con aspirina para prevenir ataques al 
corazón y cerebrales.14 La prueba abarcó más de 15 500 
personas de 45 años o más de 32 países, incluyendo 
Estados Unidos, a las que se les había diagnosticado 
enfermedad cardiovascular y tenían múltiples factores de 
riesgo. Las personas fueron asignadas al azar a uno 
de dos grupos. Después de dos años, no hubo diferencia 
en el riesgo de ataque al corazón, ataque cerebral o 
muerte por enfermedad cardiaca entre quienes tomaron 
clopidogrel y baja dosis de aspirina al día y quienes 
tomaron aspirina en baja dosis más una píldora falsa. La 
combinación de dos medicamentos en realidad aumentó 
el riesgo de muerte (5.4% contra 3.8%) o muerte 
específi camente por enfermedad cardiovascular (3.9% 
contra 2.2%).
a. Las personas se asignaron al azar a uno de dos grupos. 
Explique cómo podría usar la tabla numérica aleatoria 
para hacer estas asignaciones.
b. No se dieron tamaños muestrales en el artículo: no 
obstante, supongamos que los tamaños muestrales 
para cada grupo fueron n1 � 7720 y n2 � 7780. 
Determine si el riesgo de morir era signifi cativamente 
diferente para los dos grupos.
c. ¿Qué quieren decir los resultados en términos de 
signifi cancia práctica?
9.51 Posición de dormir de un bebé ¿La posición 
de dormir de un bebé afecta el desarrollo de habilidad 
motora? En un estudio, publicadoen los Archives of 
Pedriatic Adolescent Medicine, 343 infantes de tiempo 
completo fueron examinados en sus revisiones de 
cuatro meses en busca de varios puntos importantes de 
desarrollo, por ejemplo voltearse, sujetar una sonaja, 
alcanzar un objeto, etcétera.15 La posición predominante 
de dormir en bebés, ya sea boca abajo (sobre su 
estómago), de espaldas o de lado, fue determinada en 
una entrevista telefónica con los padres. Los resultados 
muestrales para 320 de los 343 infantes de quienes se 
recibió información fueron como sigue:
 Boca abajo Boca arriba o de costado
Número de infantes 121 199
Número que se volteaban 93 119
El investigador informó que era menos probable que 
los infantes que dormían de costado o de espaldas se 
voltearan, en la revisión de cuatro meses, que los que 
dormían principalmente boca abajo (P � .001). Use una 
prueba de muestra grande para confi rmar o refutar la 
conclusión del investigador.
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378 ❍ CAPÍTULO 9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
ALGUNOS COMENTARIOS SOBRE 
LAS HIPÓTESIS DE PRUEBA
Una prueba estadística de hipótesis es un procedimiento bien defi nido que hace posible 
que un experimentador rechace o acepte la hipótesis nula H0, con riesgos medidos a y 
b. El experimentador puede controlar el riesgo de falsamente rechazar H0 al seleccionar 
un valor apropiado de a. Por el contrario, el valor de b depende del tamaño muestral y 
de los valores del parámetro bajo prueba que son de importancia práctica para el experi-
mentador. Cuando no se disponga de esta información, un experimentador puede decidir 
seleccionar un tamaño muestral asequible, con la esperanza de que la muestra contendrá 
sufi ciente información para rechazar la hipótesis nula. La probabilidad de que esta deci-
sión sea errónea está dada por a, cuyo valor ha sido establecido por anticipado. Si la 
muestra no da sufi ciente evidencia para rechazar H0, el experimentador puede expresar 
los resultados de la prueba como “Los datos no apoyan el rechazo de H0” en lugar de 
aceptar H0 sin conocer la probabilidad de error b.
Algunos experimentadores prefi eren usar el valor p observado de la prueba, para 
evaluar la fuerza de la información muestral al decidir rechazar H0. Estos valores por lo 
general pueden ser generados por computadora y con frecuencia se usan en informes de 
resultados estadísticos:
• Si el valor p es mayor a .05, los resultados se publican como NS, es decir, no 
signifi cativos, al nivel de 5%.
• Si el valor p se encuentra entre .05 y .01, los resultados se publican como 
P � .05 que es signifi cativo al nivel de 5%.
• Si el valor p se encuentra entre .01 y .001, los resultados se publican como 
P � .01 que es “altamente signifi cativo” o signifi cativo al nivel de 1%.
• Si el valor p es menor de .001, los resultados se publican como P � .001, es 
decir, “muy altamente signifi cativos” o signifi cativos al nivel de .1%.
Otros investigadores prefi eren construir un intervalo de confi anza para un parámetro 
y efectuar una prueba de manera informal. Si el valor del parámetro especifi cado por H0 
está incluido dentro de los límites superior e inferior del intervalo de confi anza, entonces 
“H0 no es rechazada”. Si el valor del parámetro especifi cado por H0 no está contenido 
dentro del intervalo, entonces “H0 es rechazada”. Estos resultados concuerdan con una 
prueba de dos colas; se usan límites de confi anza de una cola para alternativas de 
una cola.
Por último, considere la selección entre una prueba de una cola y una de dos colas. 
En general, los experimentadores desean saber si un tratamiento ocasiona lo que podría 
ser un aumento benéfi co en un parámetro o que podría ser un decremento perjudicial en 
un parámetro. Por tanto, casi todas las pruebas son de dos colas a menos que una prueba 
de una cola sea dictada fuertemente por consideraciones prácticas. Por ejemplo, suponga 
que sostendrá una pérdida fi nanciera grande si la media m es mayor que m0 pero no si es 
menor. Entonces usted deseará detectar valores mayores a m0 con una alta probabilidad 
y en consecuencia usa una prueba de cola derecha. En el mismo estilo, si niveles de 
contaminación mayores a m0 producen riesgos de salud críticos, entonces de seguro es 
deseable detectar niveles más altos a m0 con una prueba de hipótesis de cola derecha. En 
cualquier caso, la selección de una prueba de una o de dos colas debe estar dictada por 
las consecuencias prácticas que resultan de una decisión para rechazar o no rechazar H0 
a favor de la alternativa.
9.7
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	9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
	9.6 Una prueba de hipótesis de muestras grandes para la diferencia entre dos proporciones binomiales
	Ejercicios
	9.7 Algunos comentarios sobre las hipótesis de prueba