introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-132

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370 ❍ CAPÍTULO 9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
A cualquier edad, alrededor de 20% de estadounidenses adultos participan en activi-
dades de acondicionamiento físico al menos dos veces a la semana. No obstante, estas 
actividades cambian a medida que las personas envejecen y, ocasionalmente, los parti-
cipantes se convierten en no participantes. En una encuesta local de n � 100 adultos de 
más de 40 años, un total de 15 personas indicaron que participaron en estas actividades 
al menos dos veces a la semana. ¿Estos datos indican que el porcentaje de participación 
para adultos de más de 40 años de edad es considerablemente menor a la cifra de 20%? 
Calcule el valor p y úselo para sacar las conclusiones apropiadas.
Solución Suponiendo que el procedimiento de muestreo satisfaga los requisitos de 
un experimento binomial, se puede contestar la pregunta planteada usando una prueba 
de hipótesis de una cola:
H0 : p � .2 contra Ha : p � .2
Empiece por suponer que H0 es verdadera, es decir, el verdadero valor de p es p0 � .2. 
Entonces p̂ � x/n tendrá una distribución normal aproximada con media p0 y error están-
dar �
_____
 p0q0/n . (NOTA: Esto es diferente del procedimiento de estimación en el que el error 
estándar desconocido es estimado por �
____
 p̂q̂/n .) El valor observado de p̂ es 15/100 � .15 
y el estadístico de prueba es
E J E M P L O 9.11
Valor p � a ⇔ rechazar H0. 
Valor p � a ⇔ no rechazar H0.
CONSEJOMIMI
f(z)
0 z
Valor p = .1056
–1.25
Si el investigador usa las guías para evaluar valores p, entonces .1056 es mayor que .10 
y no rechazaría H0. Hay sufi ciente evidencia para concluir que el porcentaje de adultos 
de más de 40 años que participan en actividades de acondicionamiento físico dos veces 
a la semana es menor a 20%.
Signifi cancia estadística e importancia 
práctica
Es importante entender la diferencia entre resultados que sean “signifi cativos” y resulta-
dos que son prácticamente “importantes”. En lenguaje de estadística, la palabra signifi -
cativo no necesariamente quiere decir “importante”, sino sólo que los resultados podrían 
no haber ocurrido por casualidad. Por ejemplo, suponga que en el ejemplo 9.11, la 
FIGURA 9.12
Valor p para el 
ejemplo 9.11
●
El Valor p asociado con esta prueba se encuentra como el área bajo la curva normal 
estándar a la izquierda de z � �1.25 como se ve en la fi gura 9.12. Por tanto,
Valor p � P(z � �1.25) � .1056
z � 
 p̂ � p0
�
� p0n
q0
 � 
 .15 � .20
��
� (.201
)
0
(
0
.80)
 � �1.25
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 9.5 UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES PARA UNA PROPORCIÓN BINOMIAL ❍ 371
investigadora había empleado n � 400 adultos en su experimento y había observado la 
misma proporción muestral. El estadístico de prueba es ahora
z � 
 p̂ � p0
�
� p0n
q0
 � 
 .15 � .20
��
� (.204
)
0
(
0
.80)
 � �1.25
con
Valor p � P(z � �2.50)� .0062
Ahora los resultados son altamente signifi cativos: H0 es rechazada y hay sufi ciente 
evidencia para indicar que el porcentaje de adultos de más de 40 años que participan 
en actividades de acondicionamiento físico es menor a 20%. No obstante, ¿esta baja en 
actividad es realmente importante? Supongamos que los médicos estarían preocupados 
sólo por una baja en actividad física de más de 10%. Si hubiera habido una baja de más 
de 10% en actividad física, esto implicaría que el verdadero valor de p era menor a .10. 
¿Cuál es el máximo valor posible de p? Usando un límite de confi anza de 95% de una 
cola, tendremos
 p̂ � 1.645��p̂n
q̂
�
.15 � 1.645�(.154
)
0
(
0
.85)
.15 � .029
o sea p � .179. La actividad física para adultos de 40 años o más ha bajado de 20% pero 
no se puede decir que haya bajado por debajo de 10%. Entonces, los resultados, aun 
cuando estadísticamente signifi cativos, no son prácticamente importantes.
En este libro, usted aprenderá a determinar si los resultados son estadísticamente 
signifi cativos pero, cuando use estos procedimientos en una situación práctica, también 
debe asegurarse que los resultados sean prácticamente importantes.
 EJERCICIOS9.5
TÉCNICAS BÁSICAS
9.30 Una muestra aleatoria de n � 1000 observaciones 
de una población binomial produjo x � 279.
a. Si su hipótesis de investigación es que p sea menor a 
.3, ¿qué debe escoger para su hipótesis alternativa? 
¿Y para su hipótesis nula?
b. ¿Cuál es el valor crítico que determina la región de 
rechazo para su prueba con a � .05?
c. ¿Los datos dan sufi ciente evidencia para indicar que p 
es menor a .3? Use un nivel de signifi cancia de 5%.
9.31 Una muestra aleatoria de n � 1400 observaciones 
de una población binomial produjo x � 529.
a. Si la hipótesis de su investigación es que p difi era de 
.4, ¿cuáles hipótesis debe probar?
b. Calcule el estadístico de prueba y su valor p. Use el 
valor p para evaluar la signifi cancia estadística de los 
resultados al nivel del 1%.
c. ¿Los datos dan sufi ciente evidencia para indicar que p 
es diferente de .4?
9.32 Una muestra aleatoria de 120 observaciones fue 
seleccionada de una población binomial y se observaron 72 
éxitos. ¿Los datos dan sufi ciente evidencia para indicar que 
p es mayor a .5? Use uno de los dos métodos de prueba 
presentados en esta sección y explique sus conclusiones.
APLICACIONES
9.33 Obesidad infantil Según la encuesta “What 
America Eats” (Lo que comen en Estados Unidos) 
de la revista PARADE donde intervienen n � 1015 
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372 ❍ CAPÍTULO 9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
adultos, casi la mitad de los padres dicen que el peso 
de sus hijos está bien.8 Sólo 9% de los padres describen 
a sus hijos como obesos. No obstante, la Asociación 
Americana de Obesidad dice que el número de niños y 
adolescentes con sobrepeso es al menos 15%. Suponga 
que el número de padres de la muestra es n � 750 y 
el número de padres que describen a sus hijos como 
obesos es x � 68.
a. ¿Cómo procedería para probar la hipótesis de que la 
proporción de padres que describen a sus hijos como 
obesos es menor que la proporción real publicada por 
la Asociación Americana de Obesidad?
b. ¿Qué conclusión se puede sacar de estos datos al nivel 
de signifi cancia de a � .05?
c. ¿Cuál es el valor p asociado con esta prueba?
9.34 Genética de plantas Una peonia con pétalos 
rojos fue cruzada con otra planta que tenía 
pétalos rayados. Un genetista dice que 75% de los 
descendientes que resulten de esta cruza tendrán fl ores 
rojas. Para probar su dicho, 100 semillas de esta cruza se 
seleccionaron y germinaron, y 58 plantas tenían pétalos 
rojos.
a. ¿Qué hipótesis debe usarse para probar lo dicho por el 
genetista?
b. Calcule el estadístico de prueba y su valor p. Use el 
valor p para evaluar la signifi cancia estadística de los 
resultados al nivel del 1%.
9.35 Detección temprana del cáncer de pecho De 
las mujeres a las que se diagnosticó cáncer de pecho 
en su etapa temprana, un tercio murieron fi nalmente 
de la enfermedad. Suponga que el departamento de 
salud pública de una comunidad instituyó un programa 
de selección para la detección temprana de ese cáncer 
y aumentar el porcentaje de sobrevivencia p de las 
diagnosticadas con la enfermedad. Una muestra aleatoria 
de 200 mujeres se seleccionó de entre las que eran 
seleccionadas periódicamente por el programa y a las 
que se les diagnosticó la enfermedad. Con x 
representemos el número de las de la muestra que 
sobreviven a la enfermedad.
a. Si se desea detectar si el programa de selección ha 
sido efectivo, exprese la hipótesis nula que deba 
probarse.
b. Indique la hipótesis alternativa.
c. Si 164 mujeres de la muestra de 200 sobreviven a 
la enfermedad, ¿se puede concluir que el programa 
de selección de la comunidad fue efectivo? Pruebe 
usando a � .05 y explique las conclusionesprácticas 
a partir de su prueba.
d. Encuentre el valor p para la prueba e interprételo. 
9.36 Mosca blanca de la remolacha Suponga 
que 10% de los campos en una zona agrícola dada está 
infestado de la mosca blanca de la remolacha. Cien 
campos de esta zona se seleccionan al azar y se encuentra 
que 25 de ellos están infestados de la mosca blanca.
a. Suponiendo que el experimento satisface las 
condiciones del experimento binomial, ¿los datos 
indican que la proporción de campos infestados es 
mayor de lo esperado? Use el método del valor p y 
pruebe usando un nivel de signifi cancia del 5%.
b. Si se encuentra que la proporción de campos 
infestados es signifi cativamente mayor a .10, ¿por qué 
es esto de signifi cancia práctica para la agrónoma? 
¿Qué conclusiones prácticas podría ella sacar de los 
resultados?
9.37 ¿Café o azul? Un artículo del Washington 
Post expresó que casi 45% de la población de 
estadounidenses nace con ojos cafés, aun cuando no 
necesariamente siguen así.9 Para probar lo dicho por 
el periódico, se seleccionó una muestra aleatoria de 80 
personas y 32 de ellas tenían ojos cafés. ¿Hay sufi ciente 
evidencia para impugnar lo dicho por el periódico 
respecto a la proporción de personas de ojos cafés en 
Estados Unidos? Use a � .01.
9.38 Lentes de contacto a colores Consulte el 
ejercicio 9.37. Los lentes de contacto, que usan unos 26 
millones de estadounidenses, vienen en numerosos estilos 
y colores. Casi todas las personas usan lentes suaves, 
siendo los más populares las variedades azules (25%), 
seguidos de verdes (24%) y luego color de avellana 
o cafés. Se revisó el color de lentes de una muestra 
aleatoria de 80 usuarios de lentes de contacto de color 
y, de estas personas, 22 usaban lentes azules y sólo 15 
usaban lentes verdes.9
a. ¿Los datos muestrales dan sufi ciente evidencia para 
indicar que la proporción de usuarios de lentes de 
contacto a color que usan lentes azules es diferente 
de 25%? Use a � .05.
b. ¿Los datos muestrales dan sufi ciente evidencia para 
indicar que la proporción de usuarios de lentes de 
contacto a color que usan lentes verdes es diferente 
de 24%? Use a � .05.
c. ¿Hay alguna razón para efectuar una prueba de una 
cola ya sea para el inciso a) o el b)? Explique.
9.39 Una cura para el insomnio Un experimentador 
ha preparado un nivel de dosis de medicamento que 
dice inducirá el sueño al menos a 80% de las personas 
que suman de insomnio. Después de examinar la dosis, 
pensamos que su cifra respecto a la efectividad de su 
dosis está infl ada. En un intento para refutar su dicho, 
administramos su dosis prescrita a 50 personas con 
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