introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-130

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364 ❍ CAPÍTULO 9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
 Suposiciones: Las muestras son seleccionadas al azar y de manera independiente 
de las dos poblaciones n1 
 30 y n2 
 30.
α/2α/2α
0 0–zα/2zα zα/2
E J E M P L O 9.9
�Estadístico de prueba� � 
�Valor crítico� ⇔ rechazar H0.
CONSEJOMIMI
f(z)
0 z1.84–1.84
del valor p
Rechazar Ho (z > 1.96)Rechazar Ho (z < –1.96)
1
2del valor p
1
2
FIGURA 9.11
Región de rechazo y valor p 
para el ejemplo 9.9
●
Para determinar si la propiedad de un auto afecta el rendimiento académico de un estu-
diante, se tomaron dos muestras aleatorias de 100 estudiantes de sexo masculino. El 
promedio de califi caciones para los n1 � 100 que no eran dueños de autos tuvieron un 
promedio y variancia igual a x�1 � 2.70 y s
2
1 � .36, en tanto que x�2 � 2.54 y s
2
2 � .40 para 
los n2 � 100 propietarios de autos. ¿Los datos presentan sufi ciente evidencia para indi-
car una diferencia en el rendimiento medio entre propietarios de autos y no propietarios? 
Pruebe usando a � .05.
Solución Para detectar una diferencia, si existe, entre los rendimientos académicos 
medios para no propietarios de autos m1 y los propietarios m2, probaremos la hipótesis 
nula de que no hay diferencia entre las medias contra la hipótesis alternativa de que 
(m1 � m2) � 0; esto es,
H0 : (m1 � m2) � D0 � 0 contra Ha : (m1 � m2) � 0
Sustituyendo en la fórmula para el estadístico de prueba, obtenemos
z � 
(x�1 � x�2) � D0
��
��ns
2
1
1
� � �
n
s22
2
�
 �
2.70 � 2.54
��
��1
.3
0
6
0
� � �
1
.4
0
0
0
�
� 1.84
• El método del valor crítico: Usando una prueba de dos colas con nivel de 
signifi cancia a � .05, se pone a/2 � .025 en cada cola de la distribución z y se 
rechaza H0 si z � 1.96 o z � �1.96. Como z � 1.84 no excede de 1.96 y no es 
menor a �1.96, H0 no puede ser rechazada (véase la fi gura 9.11). Esto es, hay 
evidencia insufi ciente para declarar una diferencia en el promedio de los rendi-
mientos académicos para los dos grupos. Recuerde que no debe estar dispuesto a 
aceptar H0, es decir, declarar que las dos medias son iguales, sino hasta que b sea 
evaluada para algunos valores signifi cativos de (m1 � m2).
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 9.4 UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES ❍ 365
E J E M P L O 9.10
• El método del valor p: Calcule el valor p, la probabilidad de que z es mayor a 
z � 1.84 más la probabilidad de que z sea menor a z � �1.84, como se muestra 
en la fi gura 9.11:
Valor p � P(z � 1.84) � P(z � �1.84) � (1 � .9671) � .0329 � .0658
El valor p se encuentra entre .10 y .05, de modo que se puede rechazar H0 al nivel .10 
pero no al nivel de signifi cancia .05. Como el valor p de .0658 excede del nivel de signi-
fi cancia especifi cado a � .05, H0 no puede ser rechazada. De nuevo, el experimentador 
no debería estar dispuesto a aceptar H0 sino hasta que b sea evaluada para algunos valo-
res signifi cativos de (m1 � m2).
Prueba de hipótesis e intervalos de confi anza
Si usamos el método del valor crítico o del valor p para probar hipótesis acerca de 
(m1 � m2), siempre llegaremos a la misma conclusión porque el valor calculado del esta-
dístico de prueba y el valor crítico están relacionados exactamente en la misma forma 
que están relacionados el valor p y el nivel de signifi cancia a. Hay que recordar que los 
intervalos de confi anza construidos en el capítulo 8 podrían también usarse para con-
testar preguntas acerca de la diferencia entre dos medias poblacionales. De hecho, para 
una prueba de dos colas, el intervalo de confi anza (1 � a)100% para el parámetro de 
interés se puede usar para probar su valor, igual que como hicimos de manera informal 
en el capítulo 8. El valor de a indicado por el coefi ciente de confi anza en el intervalo 
de confi anza es equivalente al nivel de signifi cancia a en la prueba estadística. Para una 
prueba de una cola, el método equivalente del intervalo de confi anza usaría los límites 
de confi anza de una cola de la sección 8.8 con coefi ciente de confi anza a. Además, con 
el método del intervalo de confi anza, se gana un margen de posibles valores para el pará-
metro de interés, cualquiera que sea el resultado de la prueba de hipótesis.
• Si el intervalo de confi anza que se construye contiene el valor del parámetro es-
pecifi cado por H0, entonces ese valor es uno de los posibles valores del parámetro 
y H0 no debe ser rechazada.
• Si el valor hipotético se encuentra fuera de los límites de confi anza, la hipótesis 
nula es rechazada al nivel de signifi cancia a.
Construya un intervalo de confi anza de 95% para la diferencia en el promedio de rendi-
miento académico entre propietarios y no propietarios de autos. Usando el intervalo de 
confi anza, ¿se puede concluir que hay una diferencia en las medias poblacionales para 
los dos grupos de estudiantes?
Solución Para el estadístico de muestras grandes estudiado en el capítulo 8, el inter-
valo de confi anza de 95% se da como
Estimador puntual 	 1.96 � (Error estándar del estimador)
Para la diferencia en dos medias poblacionales, el intervalo de confi anza se aproxima 
como
 (x�1 � x�2) 	 1.96��ns
2
1
1
� � �
n
s22
2
�
(2.70 � 2.54) 	 1.96��1
.3
0
6
0
� � �
1
.4
0
0
0
�
 .16 	 .17
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366 ❍ CAPÍTULO 9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
o sea �.01 � (m1 � m2) � .33. Este intervalo da un margen de posibles valores para la 
diferencia en las medias poblacionales. Como la diferencia hipotética, (m1 � m2) � 0, 
está contenida en el intervalo de confi anza, no se debería rechazar H0. Vea los signos 
de los posibles valores del intervalo de confi anza. No se puede decir por el intervalo si 
la diferencia en las medias es negativa (�), positiva (�) o cero (0), donde este último 
indicaría que las dos medias son iguales. En consecuencia, realmente no se puede llegar 
a una conclusión en términos de la pregunta planteada. No hay sufi ciente evidencia para 
indicar que haya diferencia en el promedio de rendimientos para propietarios y no pro-
pietarios de autos. La conclusión es igual a la que se llegó en el ejemplo 9.9.
¿Los datos presentan sufi ciente evidencia para indicar 
que la media para la población 1 es menor que la media 
para la población 2? Use uno de los dos métodos de 
prueba presentados en esta sección y explique sus 
conclusiones.
9.20 Suponga que deseamos detectar una diferencia 
entre m1 y m2 (ya sea m1 � m2 o m1 � m2) y, en lugar 
de correr una prueba de dos colas usando a � .05, se 
usa el siguiente procedimiento de prueba. Se espera 
hasta haber recolectado los datos muestrales y haber 
calculado x�1 y x�2. Si x�1 es mayor que x�2, se escoge la 
hipótesis alternativa Ha : m1 � m2 y corre una prueba 
de una cola poniendo a1 � .05 en la cola superior de la 
distribución z. Si, por el contrario, x�2 es mayor que x�1, se 
invierte el procedimiento y corre una prueba de una cola, 
poniendo a2 � .05 en la cola inferior de la distribución 
z. Si usted usa este procedimiento y si m1 en realidad es 
igual a m2, ¿cuál es la probabilidad a de que concluya 
que m1 en realidad no sea igual a m2 (es decir, cuál es 
la probabilidad a de que incorrectamente se rechace H0 
cuando H0 es verdadera)? Este ejercicio demuestra por 
qué pruebas estadísticas deben ser formuladas antes de 
observar los datos.
APLICACIONES
9.21 ¿Cura para el resfriado común? Se planeó 
un experimento para comparar el tiempo medio (en 
días), necesario para recuperarse de un resfriado común, 
en personas a las que a diario se les dio una dosis de 4 
miligramos (mg) de vitamina C contra otras a las que 
no se dio un suplemento vitamínico. Suponga que 35 
adultos fueron seleccionados al azar para cada categoría 
del tratamiento y que los tiemposmedios de recuperación 
y desviaciones estándar para los dos grupos fueron como 
sigue:
 EJERCICIOS9.4
TÉCNICAS BÁSICAS
9.18 Muestras aleatorias independientes de 80 
mediciones se tomaron de dos poblaciones cuantitativas, 
1 y 2. A continuación veamos un resumen de los datos 
muestrales:
 Muestra 1 Muestra 2
Tamaño muestral 80 80
Media muestral 11.6 9.7
Varianza muestral 27.9 38.4
a. Si el objetivo de la investigación es demostrar que m1 
es mayor que m2, exprese hipótesis nula y alternativa 
que escogería para una prueba estadística.
b. ¿ La prueba del inciso a) es de una o de dos colas?
c. Calcule el estadístico de prueba que usaría para la 
prueba del inciso a). Con base en su conocimiento 
de la distribución normal estándar, ¿es ésta una 
observación probable o no probable, suponiendo que 
H0 es verdadera y las dos medias poblacionales son 
iguales?
d. Método del valor p: encuentre el valor p para la 
prueba. Pruebe una diferencia signifi cativa en las 
medias poblacionales al nivel de signifi cancia de 1%.
e. Método del valor crítico: encuentre la región de 
rechazo cuando a � .01. ¿Los datos dan sufi ciente 
evidencia para indicar una diferencia en las medias 
poblacionales?
9.19 Muestras aleatorias independientes de 36 y 45 
observaciones se sacan de dos poblaciones cuantitativas, 
1 y 2, respectivamente. A continuación se muestra el 
resumen de datos muestrales:
 Muestra 1 Muestra 2
Tamaño muestral 36 45
Media muestral 1.24 1.31
Varianza muestral .0560 .0540
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	9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
	9.4 Una prueba de hipótesis de muestras grandes para la diferencia entre dos medias poblacionales
	Prueba de hipótesis e intervalos de confianza
	Ejercicios