introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-135

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REPASO DEL CAPÍTULO ❍ 379
Conceptos y fórmulas clave
I. Partes de una prueba estadística
1. Hipótesis nula: una contradicción de la hipótesis 
alternativa.
2. Hipótesis alternativa: la hipótesis que el investi-
gador desea apoyar.
3. Estadístico de prueba y su valor p: evidencia 
muestral calculada de los datos muestrales.
4. Región de rechazo; valores críticos y niveles de 
signifi cancia: valores que separan rechazo y no 
rechazo de la hipótesis nula.
5. Conclusión: rechazar o no rechazar la hipótesis 
nula, indicando la signifi cancia práctica de la con-
clusión del usuario.
II. Errores y signifi cancia estadística
1. El nivel de signifi cancia a es la probabilidad de 
rechazar H0 cuando de hecho es verdadera.
2. El valor p es la probabilidad de observar un 
estadístico de prueba como extremo o más 
extremo que el observado; también, el valor más 
pequeño de a para el que H0 puede ser rechazada.
3. Cuando el valor p es menor que el nivel de sig-
nifi cancia a, la hipótesis nula es rechazada. Esto 
ocurre cuando el estadístico de prueba excede 
del valor crítico.
REPASO DEL CAPÍTULO
Ejercicios suplementarios
Los ejercicios con asterisco (*) son opcionales.
9.52 a. Defi na a y b para una prueba estadística de 
hipótesis.
a. Para un tamaño muestral fi jo n, si el valor de a 
disminuye, ¿cuál es el efecto en b?
b. Para disminuir a y b para un valor alternativo 
particular de m, ¿cómo debe cambiar el tamaño 
muestral?
9.53 ¿Cuál es el valor p para una prueba de hipótesis? 
¿Cómo se calcula para una prueba de muestra grande?
9.54 ¿Qué condiciones deben satisfacerse para que la 
prueba z pueda usarse para probar una hipótesis relativa a 
una media poblacional m?
9.55 Defi na la potencia de una prueba estadística. 
A medida que el valor alternativo de m se aleja de m0, 
¿cómo se afecta la potencia?
9.56 Acidez de lluvia Consulte el ejercicio 8.31 
y la recolección de muestras de agua para estimar la 
acidez media (en pH) de lluvias en el noreste de Estados 
Unidos. Como se observó, el pH para lluvia pura que 
cae en aire limpio es alrededor de 5.7. La muestra de 
n � 40 lluvias produjo lecturas de pH con x� � 3.7 
y s � .5. ¿Los datos dan sufi ciente evidencia para indicar 
que el pH medio para lluvias es más ácido (Ha : m � 5.7 
pH) que el agua de lluvia pura? Pruebe usando a � .05. 
Observe que esta inferencia es apropiada sólo para el 
área en la que se recolectaron especímenes de agua de 
lluvia.
4. En un error Tipo II, b es la probabilidad de 
aceptar H0 cuando de hecho es falsa. La potencia 
de la prueba es (1 � b), la probabilidad de 
rechazar H0 cuando es falsa.
III. Estadísticos de prueba de muestra 
grande usando distribución z
Para probar uno de los cuatro parámetros poblacio-
nales cuando los tamaños muestrales son grandes, 
use las siguientes estadísticas de prueba:
Parámetro Estadístico de prueba
m z � 
x � � m0 ______ 
s/ �
__
 n 
 
p z � 
 p̂ � p0
�
��p0n
q0
�
m1 � m2 z � 
 (x�1 � x�2) � D0
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2
1
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s
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2
2
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380 ❍ CAPÍTULO 9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
9.57 Color de máquinas lavadoras Un fabricante 
de máquinas lavadoras automáticas suministra un modelo 
particular en uno de tres colores. De las primeras mil 
lavadoras vendidas, se observa que 400 eran del primer 
color. ¿Puede usted concluir que más de un tercio de 
todos los compradores tienen preferencia por el primer 
color?
a. Encuentre el valor p para la prueba.
b. Si usted piensa realizar su prueba usando a � .05, 
¿cuáles serán las conclusiones de su prueba?
9.58 Próxima generación Nacida entre 1980 y 
1990, la próxima generación fue el tema del ejercicio 
8.60.16 En una encuesta de 500 mujeres y 500 hombres 
estudiantes de la próxima generación, 345 de las mujeres 
y 365 hombres informaron que decidieron estudiar en una 
universidad para ganar más dinero.
a. ¿Hay una diferencia signifi cativa en las proporciones 
poblacionales de estudiantes mujeres y hombres que 
decidieron estudiar la universidad para ganar más 
dinero? Use a � .01.
b. ¿Puede considerar alguna razón por la que una 
diferencia estadísticamente signifi cativa en estas 
proporciones poblacionales podría ser de importancia 
práctica? ¿Para quién podría ser importante esta 
diferencia?
9.59 Pesca de robalo El factor pH es una medida 
de la acidez o alcalinidad del agua. Una lectura de 7.0 
es neutral; valores de más de 7.0 indican alcalinidad y, 
debajo de 7.0 implican acidez. Loren Hill dice que la 
mejor probabilidad de pescar robalo es cuando el pH 
del agua está entre 7.5 y 7.9.17 Supongamos que usted 
sospecha que la lluvia ácida está bajando el pH de su 
lugar de pesca favorita y desea determinar si el pH es 
menor a 7.5.
a. Indique la hipótesis alternativa y nula que escogería 
para una prueba estadística.
b. ¿La hipótesis alternativa del inciso a) implica una 
prueba de una o de dos colas? Explique.
c. Suponga que una muestra aleatoria de 30 especímenes 
de agua dieron lecturas de pH con x� � 7.3 y s � .2. 
Con sólo ver los datos, ¿piensa usted que la diferencia 
x� � 7.5 � �.2 es sufi cientemente grande para indicar 
que el pH medio de las muestras de agua es menor a 
7.5? (No realice la prueba.)
d. Ahora realice una prueba estadística de las hipótesis del 
inciso a) e indique sus conclusiones. Pruebe usando 
a � .05. Compare su decisión basada estadísticamente 
con su decisión intuitiva del inciso c).
9.60 Lotería de Pennsylvania Un abogado de la 
región central de Pennsylvania informó que el registro 
de juicios de la ofi cina del fi scal de distrito (DA) del 
condado de Northumberland mostró sólo seis sentencias 
en 27 juicios de enero a mediados de julio de 1997. 
Respondieron cuatro fi scales de distrito del condado de 
Pennsylvania, “No nos juzguen por estadísticas”.18
a. Si la información del abogado es correcta, ¿rechazaría 
usted lo dicho por el fi scal de distrito de un porcentaje 
de sentencias de 50% o más?
b. Los registros reales muestran que ha habido 455 
declaraciones de culpabilidad y 48 casos que han 
tenido que ir a juicio. Aun suponiendo que las 455 
declaraciones de culpabilidad sean sólo sentencias 
de los 503 casos publicados, ¿cuál es el intervalo de 
confi anza de 95% para p, la verdadera proporción 
de sentencias por este fi scal de distrito?
c. Usando los resultados del inciso b), ¿está usted 
dispuesto a rechazar una cifra de 50% o mayor para el 
verdadero porcentaje de sentencias? Explique.
9.61 Venado de cola blanca En un artículo titulado 
“A Strategy for Big Bucks”, Charles Dickey examina 
estudios de los hábitats de venados de cola blanca que 
indican que viven y se alimentan dentro de zonas de 
distribución limitadas, aproximadamente de 150 a 205 
acres.19 Para determinar si hubo una diferencia entre 
las zonas de distribución de venados localizados en dos 
zonas geográfi cas diferentes, se atraparon, marcaron y 
equiparon con radiotransmisores pequeños 40 venados. 
Varios meses después, los venados fueron rastreados 
e identifi cados, registrándose la distancia x desde su 
punto de liberación. La media y desviación estándar de 
las distancias desde el punto de liberación fueron como 
sigue:
 Lugar 1 Lugar 2
Tamaño muestral 40 40
Media muestral 2980 ft 3205 ft
Desviación estándar muestral 1140 ft 963 ft
a. Si no usted no tiene una razón preconcebida para 
pensar que una media poblacional es más grande que 
otra, ¿qué escogería para su hipótesis alternativa? 
¿Y para su hipótesis nula?
b. ¿Su hipótesis alternativa del inciso a) implica una 
prueba de una o de dos colas? Explique.
c. ¿Los datos dan sufi ciente evidencia para indicar que 
las distancias medias difi eren para los dos lugares 
geográfi cos? Pruebe usando a � .05.
9.62 Modelos femeninasEn un estudio para evaluar 
varios efectos de usar una modelo femenina para anun-
ciar automóviles, a cien hombres se les mostraron fotogra-
fías de dos automóviles de precio, color y tamaño semejan-
tes, pero de marcas diferentes. Uno de los automóviles se 
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 EJERCICIOS SUPLEMENTARIOS ❍ 381
exhibió con una modelo femenina a 50 de los hombres 
(grupo A), y ambos automóviles se exhibieron sin la 
modelo a los otros 50 hombres (grupo B). En el grupo A, 
el automóvil exhibido con la modelo fue juzgado como 
más costoso por 37 hombres; en el grupo B, el mismo 
automóvil fue considerado como el más costoso por 23 
hombres. ¿Estos resultados indican que usar una modelo 
femenina infl uye en el costo percibido de un automóvil? 
Use una prueba de una cola con a � .05.
9.63 Tornillos Muestras aleatorias de 200 tornillos 
fabricados por una máquina tipo A y 200 fabricados 
por una máquina tipo B, mostraron 16 y ocho tornillos 
defectuosos, respectivamente. ¿Estos datos presentan 
sufi ciente evidencia para sugerir una diferencia en la 
operación de los tipos de máquina? Use a � .05. 
9.64 Biomasa El ejercicio 7.63 informó que la 
biomasa para bosques tropicales, considerada como de 
35 kilogramos por metro cuadrado (kg/m2), puede de 
hecho ser demasiado alta y que los valores de biomasa 
tropical varían de una región a otra, de unos 5 a 55 kg/m2.20 
Supongamos que usted mide la biomasa tropical en 400 
lugares de un metro cuadrado, seleccionados al azar 
y obtiene x� � 31.75 y s � 10.5. ¿Los datos presentan 
sufi ciente evidencia para indicar que los científi cos están 
valorando en exceso la biomasa media para bosques 
tropicales y que la media es de hecho más baja de lo 
estimado?
a. Indique las hipótesis nula y alternativa a probar.
b. Localice la región de rechazo para la prueba con 
a � .01.
c. Realice la prueba y exprese sus conclusiones.
9.65 Adolescentes y estrés social En un estudio 
para comparar diferencias étnicas en estrés social en 
adolescentes, unos investigadores reclutaron personas de 
tres escuelas de enseñanza media en Houston, Texas.21 
El estrés social entre cuatro grupos étnicos se midió 
usando la escala llamada Social Attitudinal Familial and 
Environment Scale for Children (SAFE-C). Además, 
se recolectó información demográfi ca acerca de los 
316 estudiantes usando cuestionarios administrados 
por sí mismos. Una tabulación de respuestas de 
estudiantes a una pregunta relacionada con su condición 
socioeconómica (SES), comparada con otras familias en 
las que los estudiantes escogieron una de cinco respuestas 
(mucho peor, un poco peor, más o menos igual, mejor o 
mucho mejor) resultó en la tabulación que sigue.
 Euro- Afroame- De origen De origen
 americanos ricanos hispano asiático
Tamaño muestral 144 66 77 19
Más o menos igual 68 42 48 8
a. ¿Estos datos apoyan la hipótesis de que la proporción de 
afroamericanos adolescentes, que dicen que su condición 
socioeconómica es “más o menos igual”, es mejor que la 
de adolescentes estadounidenses de origen hispano?
b. Encuentre el valor p para la prueba.
c. Si usted planea probar usando a � .05, ¿cuál es su 
conclusión?
9.66* Adolescentes y estrés social, 
continúa Consulte el ejercicio 9.65. Debió haberse 
pensado en diseñar una prueba para la cual b es 
tolerablemente baja cuando p1 excede de p2 en una 
cantidad importante. Por ejemplo, encuentre un tamaño 
muestral común n para una prueba con a � .05 y b � .20 
cuando de hecho p1 excede a p2 en 0.1. (SUGERENCIA: El 
valor máximo de p(1 � p) � .25.)
9.67 Bajar de peso En una comparación de la 
reducción media de peso en 1 mes, para mujeres de 20 a 
30 años, estos datos muestrales se obtuvieron para cada 
una de dos dietas:
 Dieta I Dieta II
Tamaño muestral n 40 40
Media muestral x� 10 lb 8 lb
Variancia muestral s 2 4.3 5.7
¿Los datos dan sufi ciente evidencia para indicar que la 
dieta I produce una mayor reducción media de peso que 
la dieta II? Use a � .05.
9.68 Mayor producción A un agrónomo se le 
demostró experimentalmente que un nuevo régimen de 
irrigación/fertilización produce un aumento de 2 bushels 
por cuadrado (signifi cante al nivel de 1%), cuando se 
compara con el régimen por ahora en uso. El costo de 
poner en práctica y usar el nuevo régimen no será un 
factor si el aumento en producción pasa de 3 bushels por 
cuadrado. ¿La signifi cancia estadística es igual que la 
importancia práctica en esta situación? Explique.
9.69 Resistencia de cables a la ruptura Una 
prueba de las resistencias a la ruptura, en dos tipos 
diferentes de cables, fue realizada usando muestras de 
n1 � n2 � 100 trozos de cada tipo de cable.
Cable I Cable II
x�1 � 1925 x�2 � 1905
s1 � 40 s2 � 30
¿Los datos dan sufi ciente evidencia para indicar una 
diferencia entre la resistencia media a la ruptura de los 
dos cables? Use a � .05.
9.70 Aplique los frenos La capacidad de frenado 
se comparó para dos modelos de automóvil del 2008. 
Muestras aleatorias de 64 automóviles se probaron 
para cada tipo. La medición registrada fue la distancia 
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	9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
	9.7 Algunos comentarios sobre las hipótesis de prueba
	Repaso del capítulo