introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-120

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334 ❍ CAPÍTULO 8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
 Una o 
Tipo de dos Límite Resuelva esta 
datos muestras Margen de error p o s B desigualdad Tamaño muestral
Cuantitativo 2 s1 � s2 � 10 4 � 4 n1 � n2 � 
 1.96 �
___________
 p1q1 ____ n1 � 
p2q2 ____ n2 p1 � p2 � .5 .10 
 � .10 n1 � n2 � 
TÉCNICAS BÁSICAS
8.65 Encuentre un límite superior de confi anza de 
una cola al 90% para la media poblacional m para estos 
valores:
a. n � 40, s2 � 65, x� � 75
b. n � 100, s � 2.3, x� � 1.6
8.66 Encuentre un límite inferior de confi anza al 99% 
para la proporción binomial p cuando una muestra 
aleatoria de n � 400 intentos produjo x � 196 éxitos.
8.67 Muestras aleatorias independientes de tamaño 
50 son sacadas de dos poblaciones cuantitativas, 
produciendo la información muestral de la tabla. 
Encuentre un límite superior de confi anza de 95% para 
la diferencia en las dos medias poblacionales.
 Muestra 1 Muestra 2
Tamaño muestral 50 50
Media muestral 12 10
Desviación estándar muestral 5 7
8.68 Supongamos que usted desea estimar una media 
poblacional basada en una muestra aleatoria de n 
observaciones y experiencias anteriores sugieren que 
s � 12.7. Si desea estimar m correcta a no más de 1.6 
de variación, con probabilidad igual a .95, ¿cuántas 
observaciones deben estar incluidas en su muestra?
8.69 Supongamos que usted desea estimar un parámetro 
binomial p correcto a no más de .04 de variación, con 
probabilidad igual a .95. Si sospecha que p es igual a 
algún valor entre .1 y .3 y desea estar seguro que su 
muestra es sufi cientemente grande, ¿qué tan grande debe 
ser n? (sugerencia: Cuando calcule el error estándar, 
use el valor de p en el intervalo .1 < p < .3 que dará el 
tamaño muestral más grande.)
8.70 Muestras aleatorias independientes de n1 � n2 � n 
observaciones han de seleccionarse de cada una de las 
poblaciones 1 y 2. Si se desea estimar la diferencia entre 
las dos medias poblacionales correctas a no más de .17 de 
variación, con probabilidad igual a .90, ¿qué tan grande 
8.64 Llene los espacios en blanco de la tabla siguiente y encuentre los tamaños 
muestrales necesarios.
deben ser n1 y n2? Suponga que se conocen s
2
1 � s 22 � 
27.8.
8.71 Muestras aleatorias independientes de n1 � n2 � n 
observaciones han de seleccionarse de cada una de las 
poblaciones 1 y 2. Si se desea estimar la diferencia entre 
las dos medias poblacionales correctas a no más de .05 de 
variación, con probabilidad igual a .98, ¿qué tan grande 
deben ser n? Suponga que no hay información anterior 
en los valores de p1 y p2, pero que usted desea asegurarse 
de tener un número adecuado de observaciones en las 
muestras.
APLICACIONES
8.72 Gastos de operación Una muestra aleatoria de 
los costos mensuales de operación de una compañía para 
n � 36 meses produjo una media muestral de $5474 y 
una desviación estándar de $764. Encuentre un límite 
superior de confi anza para los gastos mensuales medios 
de la compañía.
8.73 Inmigración legal El ejercicio 8.17 analizó 
una encuesta de investigación realizada por Fox News 
by Opinion Dynamics respecto a opiniones acerca del 
número de inmigrantes legales que entran a Estados 
Unidos.3 Suponga que está usted diseñando una encuesta 
de este tipo.
a. Explique cómo seleccionaría su muestra. ¿Qué 
problemas podría encontrar en este proceso?
b. Si usted desea estimar el porcentaje de la población 
que está de acuerdo con una frase particular en su 
cuestionario de encuesta, correcto a no más de 1% con 
probabilidad .95, ¿aproximadamente cuántas personas 
tendrían que ser encuestadas?
8.74 Corrupción política Un cuestionario está 
diseñado para investigar actitudes acerca de corrupción 
política en el gobierno. Al experimentador le gustaría 
encuestar a dos grupos diferentes, republicanos 
y demócratas, y comparar las respuestas contra 
varias preguntas de “sí/no” para los dos grupos. El 
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experimentador requiere que el error muestral para la 
diferencia en la proporción de respuestas positivas para 
los dos grupos no sea más de � 3 puntos porcentuales. 
Si las dos muestras son del mismo tamaño, ¿qué tan 
grandes deben ser las muestras?
8.75 ¡Menos carne roja! Muchos estadounidenses 
están ahora más conscientes de la importancia de una 
buena nutrición y algunos investigadores creen que 
podemos estar alterando nuestras dietas para incluir 
menos carne roja y más frutas y verduras. Para probar 
esta teoría, una investigadora decide seleccionar registros 
de nutrición en hospitales, para personas encuestadas 
hace 10 años y comparar el promedio de cantidad 
de carne consumida por año contra las cantidades 
consumidas por un número igual de personas a quienes 
ella entrevistará este año. Ella sabe que la cantidad de 
carne consumida anualmente por los estadounidenses 
varía de 0 a alrededor de 104 libras. ¿Cuántas personas 
debe seleccionar la investigadora de cada grupo si ella 
desea estimar la diferencia en el promedio anual de 
consumo de carne per cápita, correcto a no más de 5 
libras con 99% de confi anza?
8.76 Carne roja, continúa Consulte el ejercicio 8.75. 
La investigadora selecciona dos grupos de 400 personas 
cada uno y recolecta la siguiente información muestral en 
el consumo anual de carne de res ahora y hace 10 años:
 Hace 10 años Este año
Media muestral 73 63
Desviación muestral estándar 25 28
a. A la investigadora le gustaría demostrar que el 
consumo per cápita de carne ha disminuido en los 
últimos 10 años, de modo que necesita demostrar 
que la diferencia en los promedios es mayor a 0. 
Encuentre un límite inferior de confianza de 99% 
para la diferencia en el promedio de consumos per 
cápita de carne de res para los dos grupos.
b. ¿Qué conclusiones puede sacar la investigadora 
usando el límite de confianza del inciso a)?
8.77 Temporada de cacería Si una dependencia de 
fauna silvestre desea estimar el número medio de días de 
cacería por cazador, para todos los cazadores con licencia 
en el estado durante una temporada determinada, con 
un límite en el error de estimación igual a dos días de 
cacería, ¿cuántos cazadores deben estar incluidos en 
la encuesta? Suponga que los datos recolectados 
en encuestas anteriores han demostrado que s es 
aproximadamente igual a 10.
8.78 Lluvia contaminada Supongamos que usted 
desea estimar el pH medio de lluvia en una zona que 
sufre de fuerte contaminación debida a la descarga de 
humo de una planta generadora de electricidad. Se sabe 
que s está en la cercanía de .5 pH y que se desea 
estimar que se encuentre dentro de .1 de m, con una 
probabilidad cercana a .95. ¿Aproximadamente cuántas 
precipitaciones de lluvia deben incluirse en su muestra 
(una lectura de pH por lluvia)? ¿Sería válido seleccionar 
todos sus especímenes de una sola lluvia? Explique.
8.79 pH en lluvia Consulte el ejercicio 8.78. Suponga 
que se desea estimar la diferencia entre la acidez media 
para lluvias en dos lugares diferentes, uno en una zona 
relativamente no contaminada a lo largo del océano y 
la otra en una zona sujeta a fuerte contaminación del aire. 
Si usted desea que su estimación sea correcta al .1 
de pH más cercano, con probabilidad cercana a .90, 
¿aproximadamente cuántas lluvias (valores de pH) 
tendrían que incluirse en cada muestra? (Suponga que la 
varianza de las mediciones de pH es aproximadamente 
.25 en ambos lugares y que las muestras serán de igual 
tamaño.)
8.80 Promedios de califi caciones Se desea estimar 
la diferencia en promedios de califi caciones entre dos 
grupos de estudiantes universitarios, precisa a no más 
de .2 puntos, con probabilidad aproximadamente igual 
a .95. Si la desviación estándar de las mediciones de 
califi caciones es aproximadamente igual a .6, ¿cuántos 
estudiantes deben incluirse en cada grupo? (Suponga que 
los grupos serán de igual tamaño.)
8.81 Selenio, otra vez Refi érase a la comparaciónde la ingesta diaria de selenio, que toman adultos en 
dos regiones diferentes de Estados Unidos, que vimos 
en el ejercicio 8.41. Supongamos que se desea estimar 
la diferencia en las ingestas diarias medias entre las 
dos regiones, correcta a no más de 5 microgramos de 
variación, con probabilidad igual a .90. Si se planea 
seleccionar un número igual de adultos de entre las dos 
regiones (es decir, n1 � n2), ¿qué tan grandes deben ser 
n1 y n2?
 8.9 SELECCIÓN DEL TAMAÑO MUESTRAL ❍ 335
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336 ❍ CAPÍTULO 8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
REPASO DEL CAPÍTULO
Conceptos y fórmulas clave
I. Tipos de estimadores
1. Estimador puntual: un solo número se calcula 
para estimar el parámetro poblacional.
2. Estimador de intervalo: dos números se calculan 
para formar un intervalo que, con cierta cantidad 
de confi anza, contiene al parámetro.
II. Propiedades de buenos estimadores
1. Insesgado: el valor promedio del estimador es 
igual al parámetro a ser estimado.
2. Varianza mínima: de todos los estimadores inses-
gados, el mejor estimador tiene una distribución 
muestral con el error estándar más pequeño.
3. El margen de error mide la distancia máxima 
entre el estimador y el verdadero valor del 
parámetro.
III. Estimadores puntuales 
de muestra grande
Para estimar uno de cuatro parámetros poblacionales 
cuando los tamaños muestrales sean grandes, use los 
siguientes estimadores puntuales con los márgenes 
de error apropiados.
Parámetro Estimador puntual 95% de margen de error
m x� �1.96� s ___ �__ n �
p p̂ � 
n
x
 �1.96�p̂nq̂
m1 � m2 x�1 � x�2 �1.96�sn1
2
1
 � n
s
 
2
2
p1 � p 2 ( p̂1 � p̂ 2) � �n
x1
1
 � 
n
x2
2
 � �1.96�p̂n1q 1
ˆ1 � p̂n2q 2
ˆ2
IV. Estimadores de intervalo 
de muestra grande
Para estimar uno de cuatro parámetros poblacionales 
cuando los tamaños muestrales son grandes, use los 
siguientes estimadores de intervalo.
Parámetro Intervalo de confi anza (1 � a)100%
m x� � za/2� s ___ �__ n �
p p̂ � za/2�
p̂nq̂
m1 � m2 (x�1 � x�2) � za/2�sn1
2
1
 � n
s
 
2
2
p1 � p2 (p̂ 1 � p̂ 2) � za/2�p̂n1 q1
ˆ1
 � 
p̂
n
2q 
2
ˆ2
1. Todos los valores del intervalo son posibles 
valores para el parámetro poblacional 
desconocido.
2. Es improbable que algunos valores fuera del 
intervalo sean el valor del parámetro desconocido.
3. Para comparar dos medias poblacionales o 
proporciones, busque el valor 0 en el intervalo de 
confi anza. Si 0 está en el intervalo, es posible que 
las dos medias poblacionales o proporciones sean 
iguales y no debería declararse una diferencia. 
Si 0 no está en el intervalo, es improbable que 
las dos medias o proporciones sean iguales y se 
puede declarar con seguridad una diferencia.
V. Límites de confi anza de una cola
Utilice ya sea el límite superior (+) o el inferior 
(�) de dos colas, con el valor crítico de z 
cambiado de za/2 a za.
VI. Selección del tamaño muestral
1. Determine el tamaño del margen de error, B, que 
esté usted dispuesto a tolerar.
2. Seleccione el tamaño muestral al despejar n o 
n � n1 � n2 en la desigualdad: za/2 � B, donde 
SE (error estándar) es una función del tamaño 
muestral n.
3. Para poblaciones cuantitativas, estime la 
desviación poblacional estándar usando un valor 
previamente calculado de s o la aproximación de 
rango s � Margen/4.
4. Para poblaciones binomiales, use el método 
conservativo y aproxime p usando el valor p � .5.
Ejercicios suplementarios
8.82 Exprese el teorema del límite central. ¿De qué 
valor es el teorema del límite central en estimación 
estadística de muestra grande?
8.83 Una muestra aleatoria de n � 64 observaciones 
tiene una media de 
_
 x y una desviación estándar s � 3.9.
a. Dé la estimación puntual de la media poblacional m y 
encuentre el margen de error para su estimación.
b. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para m. 
¿Qué significa “90% seguro”?
c. Encuentre un límite inferior de confianza de 90% 
para la media poblacional m. ¿Por qué este límite es 
diferente del límite inferior de confianza del inciso b)?
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	8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
	Repaso del capítulo