introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-226

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652 ❍ CAPÍTULO 15 ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
En el procedimiento de la prueba H de Kruskal-Wallis, el primer paso es ordenar las 
n � 23 observaciones de menor (rango 1) a mayor (rango 23). Estos rangos se muestran 
en paréntesis en la tabla 15.9. Observe cómo se manejan los empates. Por ejemplo, dos 
observaciones en 69 están empatadas para el rango 5. Por tanto, se les asigna el prome-
dio 5.5 de los dos rangos (5 y 6) que hubieran ocupado si hubieran sido ligeramente dife-
rentes. Las sumas de rango T1, T2, T3 y T4 para las cuatro muestras se ven en el renglón 
inferior de la tabla. Sustituyendo sumas de rango y tamaños muestrales en la fórmula 
para el estadístico H, obtenemos
H � 
n(n
1
 �
2
 1)
 S 
T
n
i
2
i
 � 3(n � 1)
 � 
23
1
(
2
24)
 �(636.5)
2
 � 
(8
7
9)2 
 � 
(45
6
.5)2
 � 
(7
4
8)2
 � � 3(24)
 � 79.775102 � 72 � 7.775102
La región de rechazo para el estadístico H para a � .05 incluye valores de H � x 2.05, 
donde x 2.05 está basada en (k � 1) � (4 � 1) � 3 grados de libertad. El valor de x
2 dado 
en la tabla 5 en el apéndice I es x 2.05 � 7.81473. El valor observado del estadístico H, 
H � 7.775102, no cae en la región de rechazo para la prueba. Por tanto, hay evidencia 
insuficiente para indicar diferencias en las distribuciones de calificaciones de examen de 
aprovechamiento para las cuatro técnicas.
FIGURA 15.6
Gráfi ca de probabilidad 
normal y una gráfi ca 
residual que siguen un 
análisis de varianza de una 
vía para el ejemplo 15.6
●
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
�20 �10 10 200
Residual
Gráfica de probabilidad normal de los residuales
(la respuesta es Calificaciones)
P
or
ce
nt
aj
e
15
10
5
0
�5
�10
70 75 80 85 90
Valor ajustado
Residuales contra valores ajustados
(la respuesta es Calificaciones)
R
es
id
ua
l
Probabilidad_Mendenhall_15.indd 652Probabilidad_Mendenhall_15.indd 652 5/14/10 8:22:25 AM5/14/10 8:22:25 AM
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En la figura 15.7 se da una salida impresa MINITAB de la prueba H de Kruskal-Wallis. 
Observe que el valor p, .051, es sólo ligeramente mayor que el nivel de 5% necesario 
para declarar significancia estadística.
Compare los resultados del análisis de la prueba F de varianza, para probar si hay dife-
rencias en las distribuciones de califi caciones del examen de aprovechamiento para las 
cuatro técnicas del ejemplo 15.6.
Solución La salida impresa MINITAB para un análisis de varianza de una vía para 
los datos de la tabla 15.9 se dan en la figura 15.8. El análisis de varianza muestra que la 
prueba F para probar si hay diferencias entre las medias para las cuatro técnicas es signi-
ficativo al nivel de .028. La prueba H de Kruskal-Wallis no detectó un cambio en distri-
buciones poblacionales al nivel de significancia de .05. Aun cuando estas conclusiones 
parecen estar muy separadas, los resultados de la prueba no difieren en mucho. El valor 
p � .028 correspondiente a F � 3.77, con df1 � 3 y df2 � 19, es ligeramente menor a 
.05, en contraste con el valor p � .051 para H � 7.78, df � 3, que es ligeramente mayor 
a .05. Alguien que vea los valores p para las dos pruebas vería poca diferencia en los 
resultados de las pruebas F y H. No obstante, si nos apegamos a la elección de a � .05, 
no se puede rechazar H0 usando la prueba H.
E J E M P L O 15.7
LA PRUEBA H DE KRUSKAL-WALLIS PARA 
COMPARAR MÁS DE DOS POBLACIONES: 
DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO 
(MUESTRAS ALEATORIAS INDEPENDIENTES)
1. Hipótesis nula: H0 : Las k distribuciones poblacionales son idénticas.
2. Hipótesis alternativa: Ha : Al menos dos de las k distribuciones poblacionales 
difi eren en ubicación.
3. Estadístico de prueba: H � 
n(n
1
 �
2
 1)
 S 
T
n
i
2
i
 � 3(n � 1)
(continúa)
 15.6 LA PRUEBA H DE KRUSKAL-WALLIS PARA DISEÑOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS ❍ 653
FIGURA 15.7
Salida impresa MINITAB 
para la prueba Kruskal-
Wallis para el ejemplo 
15.6
● Prueba Kruskal-Wallis: calificaciones contra técnicas
Kruskal-Wallis Test on Scores
Techniques N Median Ave Rank Z
1 6 76.00 10.6 -0.60
2 7 79.00 12.7 0.33
3 6 71.50 7.6 -1.86
4 4 88.50 19.5 2.43
Overall 23 12.0
H = 7.78 DF = 3 P = 0.051
H = 7.79 DF = 3 P = 0.051 (adjusted for ties)
* NOTE * One or more small samples
FIGURA 15.8
Salida impresa MINITAB 
para el ejemplo 15.7
● ANOVA de una vía: calificaciones contra técnicas
Source DF SS MS F P
Techniques 3 712.6 237.5 3.77 0.028
Error 19 1196.6 63.0
Total 22 1909.2
Probabilidad_Mendenhall_15.indd 653Probabilidad_Mendenhall_15.indd 653 5/14/10 8:22:25 AM5/14/10 8:22:25 AM
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654 ❍ CAPÍTULO 15 ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
LA PRUEBA H DE KRUSKAL-WALLIS PARA 
COMPARAR MÁS DE DOS POBLACIONES: 
DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO 
(MUESTRAS ALEATORIAS INDEPENDIENTES) (continuación)
donde
ni � Tamaño muestral para la población i
Ti � Suma de rango para la población i
 n � Número total de observaciones � n1 � n2 � � � � � nk
4. Región de rechazo para una a determinada: H � x 2a con (k � 1) df
Suposiciones
• Todos los tamaños muestrales son mayores o iguales a 5.
• Los empates toman el promedio de los rangos que hubieran ocupado de no haber 
estado empatados.
La prueba H de Kruskal-Wallis es una valiosa alternativa para un análisis de varianza 
de una vía cuando son violadas las suposiciones de normalidad e igualdad de varianza. De 
nuevo, gráficas normales de probabilidad de residuales y gráficas de residuales por 
grupo de tratamiento son útiles para determinar si estas suposiciones han sido violadas. 
Recuerde que una gráfica de probabilidad normal debe aparecer como línea recta con 
pendiente positiva; las gráficas de residuales por grupos de tratamiento deben exhibir la 
misma dispersión arriba y abajo de la línea 0.
 EJERCICIOS15.6
TÉCNICAS BÁSICAS
15.32 Se compararon tres tratamientos usando 
un diseño completamente aleatorizado. Los 
datos se muestran en la tabla siguiente.
 Tratamiento
1 2 3
26 27 25
29 31 24
23 30 27
24 28 22
28 29 24
26 32 20
 30 21
 33
¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar 
una diferencia en lugar para al menos dos de las 
distribuciones poblacionales? Pruebe usando el 
estadístico H de Kruskal-Wallis con a � .05.
15.33 Se compararon cuatro tratamientos 
usando un diseño completamente aleatorizado. 
Los datos se muestran en la tabla siguiente:
 Tratamiento
1 2 3 4
124 147 141 117
167 121 144 128
135 136 139 102
160 114 162 119
159 129 155 128
144 117 150 123
133 109
¿Los datos aportan suficiente evidencia para indicar 
una diferencia en lugar para al menos dos de las 
distribuciones poblacionales? Pruebe usando el 
estadístico H de Kruskal-Wallis con a � .05.
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