introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-142

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400 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
Suposiciones para la 
prueba t de dos muestras 
(independiente):
• Muestras aleatorias 
independientes
• Distribuciones normales
• s1 � s2
CONSEJOMIMI
En los capítulos 7 y 8 empleamos las varianzas muestrales, s21 y s
2
2, para calcular una 
estimación del error estándar, que entonces se utilizó para formar un intervalo de con-
fianza de muestra grande o una prueba de hipótesis basada en el estadístico z de muestras 
grandes:
z � 
(x�1 � x�2) � (m1 � m2)
���
��ns
2
1
1
� � �
n
s22
2
�
Desafortunadamente, cuando los tamaños muestrales son pequeños, este estadístico no 
tiene una distribución aproximadamente normal ni tiene una distribución t de Student. 
Para formar una estadística con una distribución de muestreo que pueda deducirse en 
forma teórica, es necesario hacer una suposición más.
Suponga que la variabilidad de la medición en las dos poblaciones normales es la 
misma y puede ser medida por una varianza común s 2. Esto es, ambas poblaciones 
tienen exactamente la misma forma, y s 21 � s
2
2 � s
2. Entonces el error estándar de la 
diferencia en las dos medias muestrales es
��sn1
2
1
� � �
s
n2
2
2
� � �s 2��n11� � �n
1
2
��
Se puede demostrar matemáticamente que, si se usa la estimación muestral apropiada s2 
para la varianza poblacional s 2, entonces el estadístico de prueba resultante,
t � 
(x�1 � x�2) � (m1 � m2)
���
�s2��n11� � �n
1
2
��
tiene una distribución t de Student. El único problema restante es hallar la estimación 
muestral s2 y el número apropiado de grados de libertad para el estadístico t.
Recuerde que la varianza poblacional s 2 describe la forma de las distribuciones nor-
males de donde provienen las muestras del experimentador, de modo que s21 o s
2
2 le 
darían una estimación de s 2. Pero, ¿por qué usar sólo una cuando ambas dan informa-
ción? Un mejor procedimiento es combinar la información en ambas varianzas mues-
trales usando un promedio ponderado, en el que los pesos están determinados por la 
cantidad relativa de información (el número de mediciones) en cada muestra. Por ejem-
plo, si la primera muestra contenía el doble de mediciones que la segunda, se podría 
considerar dar a la primera varianza muestral el doble de peso. Para obtener este resul-
tado, use esta fórmula:
s2 � 
(n1 � 1)s
2
1 � (n2 � 1)s
2
2
���
n1 � n2 � 2
Recuerde de la sección 10.3 que los grados de libertad para el estadístico t de una mues-
tra son (n � 1), el denominador de la estimación muestral s2. Como s21 tiene (n1 � 1) df 
y s22 tiene (n2 � 1) df, el número total de grados de libertad es la suma
(n1 � 1) � (n2 � 1) � n1 � n2 � 2
que se ve en el denominador de la fórmula para s2.
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10.4 INFERENCIAS DE MUESTRA PEQUEÑA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES: MUESTRAS ALEATORIAS INDEPENDIENTES ❍ 401
CÁLCULO DE s2
• Si dispone de una calculadora científi ca, calcule cada una de las dos desviaciones 
estándar muestrales s1 y s2 por separado, usando el procedimiento de entrada de 
datos para su calculadora particular. Estos valores son elevados al cuadrado y se 
usan en esta fórmula:
 s2 � 
(n1 � 1)s
2
1 � (n2 � 1)s
2
2
���
n1 � n2 � 2
Se puede demostrar que s2 es un estimador insesgado de la varianza poblacional 
común s 2. Si s2 se usa para estimar s 2 y si las muestras se han sacado al azar e indepen-
dientemente de poblaciones normales con una varianza común, entonces el estadístico
t � 
(x�1 � x�2) � (m1 � m2)
���
�s2��n11� � �n
1
2
��
tiene una distribución t de Student con (n1 � n2 � 2) grados de libertad. La estimación 
de muestra pequeña y procedimientos de prueba para la diferencia entre dos medias se 
dan a continuación.
PRUEBA DE HIPÓTESIS RESPECTO A LA DIFERENCIA 
ENTRE DOS MEDIAS: MUESTRAS ALEATORIAS 
INDEPENDIENTES
1. La hipótesis nula: H0 : (m1 � m2) � D0, donde D0 es alguna diferencia especifi -
cada que el experimentador desea probar. Para numerosas pruebas, el experimen-
tador hará una hipótesis de que no hay diferencia entre m1 y m2; esto es, D0 � 0.
2. Hipótesis alternativa:
 Prueba de una cola Prueba de dos colas
 Ha : (m1 � m2) � D0 Ha : (m1 � m2) � D0
 [o Ha : (m1 � m2) � D0]
3. Estadístico de prueba: t � 
(x�1 � x�2) � D0
��
�s2��n11� � �n
1
2
��
 donde
 s2 � 
(n1 � 1)s
2
1 � (n2 � 1)s
2
2
���
n1 � n2 � 2
4. Región de rechazo: rechace H0 cuando
 Prueba de una cola Prueba de dos colas
 t � ta
 [o t � � ta cuando la hipótesis 
 alternativa es Ha : (m1 � m2) � D0]
 o cuando valor p � a (continúa)
Para la prueba t de dos 
muestras independientes
df � n1 � n2 � 2.
CONSEJOMIMI
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402 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
E J E M P L O 10.5
Solución Sean m1 y m2 las calificaciones medias para el grupo en línea y el grupo del 
salón de clase, respectivamente. Entonces, como se busca evidencia para apoyar la teoría 
de que m1 � m2, se puede probar la hipótesis nula
H0 : m1 � m2 [o H0 : (m1 � m2) � 0]
 Califi caciones de examen para presentaciones en línea
TABLA 10.2 
●
 y en salón de clase
En línea Salón de clase
32 35
37 31
35 29
28 25
41 34
44 40
35 27
31 32
34 31
PRUEBA DE HIPÓTESIS RESPECTO A LA DIFERENCIA 
ENTRE DOS MEDIAS: MUESTRAS ALEATORIAS 
INDEPENDIENTES (continúa)
Los valores críticos de t, ta y ta/2 están basados en (n1 � n2 � 2) df. Los valores 
tabulados se pueden hallar usando la tabla 4 del apéndice I o el applet Student’s t 
Probabilities.
Suposiciones: Las muestras se seleccionan al azar y en forma independiente de 
poblaciones distribuidas normalmente. Las varianzas de las poblaciones s 21 y s
2
2 
son iguales.
INTERVALO DE CONFIANZA (1 � a)100% DE MUESTRA 
PEQUEÑA PARA (m1 � m2) CON BASE EN MUESTRAS 
ALEATORIAS INDEPENDIENTES
(x�1 � x�2) 	 ta/2�s2��n11� � �n
1
2
��
donde s2 es la estimación agrupada de s 2.
Puede tomarse un curso con crédito ya sea asistiendo a sesiones de clases en horas y días 
fijos, o haciendo sesiones en línea que el estudiante puede hacer a su propio paso y en 
los tiempos que el estudiante escoja. El coordinador del curso desea determinar si estos 
dos días de tomar el curso resultaron en una diferencia significativa en rendimiento 
medido por el examen final para el curso. La siguiente información da las calificaciones 
en un examen con 45 puntos posibles para un grupo de n1 � 9 estudiantes que tomaron 
el curso en línea y un segundo grupo de n2 � 9 estudiantes que tomaron el curso de 
clases convencionales. ¿Estos datos presentan suficiente evidencia para indicar que las 
calificaciones para estudiantes que tomaron el curso en línea son significativamente 
más altas que las de quienes asistieron a una clase convencional?
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