introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-229

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Las dos variables de interés son calificación de juez y calificación de examen. La 
primera ya está en forma de rango y las calificaciones de examen se pueden ordenar 
de manera similar, como se ve en la tabla 15.12. Las calificaciones para observaciones 
empatadas se obtienen al promediar las calificaciones que habrían tenido las observa-
ciones empatadas si no se hubieran observado empates. El coeficiente de correlación de 
rango de Spearman, rs, se calcula usando los rangos de las mediciones pareadas en las 
dos variables x y y en la fórmula para r (véase el capítulo 12).
TABLA 15.11 
●
 Rangos y calificaciones de examen para ocho profesores
Profesor Califi cación de juez Califi cación de examen
1 7 44
2 4 72
3 2 69
4 6 70
5 1 93
6 3 82
7 8 67
8 5 80
TABLA 15.12 
●
 Rangos de datos de la tabla 15.11
Profesor Califi cación de juez, xi Califi cación de examen, yi
1 7 1
2 4 5
3 2 3
4 6 4
5 1 8
6 3 7
7 8 2
8 5 6
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE RANGO 
DE SPEARMAN
rs � 
Sxy _______ 
 �
_____
 SxxSyy 
 
donde xi y yi representan los rangos del i-ésimo par de observaciones y
Sxy � S (xi � x�)( yi � y�) � S xiyi � 
(S xi)
n
(S yi)
Sxx � S (xi � x�)
2 � S x i
2 � 
(S 
n
xi)
2
Syy � S (yi � y�)
2 � S y i
2 � 
(S 
n
yi)
2
Cuando no haya empates en las x observaciones o las y observaciones, la 
expresión para rs algebraicamente se reduce a la expresión más sencilla
rs � 1 � n(
6
n
 
2
S
 �
 d
 
i
2
1)
 donde di � (xi � yi)
Si el número de empates es pequeño en comparación con el número de pares de 
datos, resulta un pequeño error al usar esta fórmula breve.
 15.8 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE RANGO ❍ 661
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662 ❍ CAPÍTULO 15 ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
Calcule rs para los datos de la tabla 15.12.
Solución Las diferencias y cuadrados de diferencias entre las dos calificaciones se 
dan en la tabla 15.13. Sustituyendo valores en la fórmula para rs, tenemos
rs � 1 � n(
6
n
 
2
S
 �
 d
 
i
2
1)
 � 1 � 
8(
6
6
(
4
1
 
4
�
4
 
)
1)
 � �.714
El coeficiente de correlación de rango de Spearman se puede usar como estadístico 
de prueba para probar la hipótesis de que no haya asociación entre dos poblaciones. Se 
puede suponer que los n pares de observaciones (xi, yi) han sido seleccionadas al azar y, 
por tanto, ninguna asociación entre las poblaciones implica una asignación aleatoria de 
los n rangos dentro de cada muestra. Cada asignación aleatoria (para las dos muestras) 
representa un evento sencillo asociado con el experimento, y un valor de rs se puede calcu-
lar para cada una. Entonces, es posible calcular la probabilidad de que rs tome un valor 
absoluto grande debido sólo a una probabilidad y, por tanto, sugiere una asociación entre 
poblaciones cuando no existe ninguna.
La región de rechazo para una prueba de dos colas se muestra en la figura 15.12. Si la 
hipótesis alternativa es que la correlación entre x y y sea negativa, se rechazaría H0 para 
valores negativos de rs cercanos a �1 (en la cola inferior de la figura 15.12). Del mismo 
modo, si la hipótesis alternativa es que la correlación entre x y y es positiva, se rechazaría 
H0 para valores positivos grandes de rs (en la cola superior de la figura 15.12).
 Diferencias y cuadrados de diferencias
TABLA 15.13 
●
 para las calificaciones del profesor
Profesor xi yi di d i2
1 7 1 6 36
2 4 5 �1 1
3 2 3 �1 1
4 6 4 2 4
5 1 8 �7 49
6 3 7 �4 16
7 8 2 6 36
8 5 6 �1 1
Total 144
Los valores críticos de rs se dan en la tabla 9 del apéndice I. Una versión abreviada se 
muestra en la tabla 15.14. En sentido horizontal en la tabla 15.14 (y la tabla 9 del apén-
dice I) están los valores registrados de a que podrían usarse para una prueba de una cola 
de la hipótesis nula de no asociación entre x y y. El número de pares de rango n aparece 
en el lado izquierdo de la tabla. Las entradas de la tabla dan el valor crítico r0 para una 
prueba de una cola. Entonces, P(rs � r0) � a.
FIGURA 15.12
Región de rechazo para 
una prueba de dos colas 
de la hipótesis nula de 
no asociación, usando la 
prueba de correlación de 
rango de Spearman
●
10–r0–1 r0
Región de 
rechazo
Región de 
rechazo
rs = Coeficiente de correlación de rango de Spearman
E J E M P L O 15.10
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Por ejemplo, supongamos que tenemos n � 8 pares de rango y la hipótesis alternativa 
es que la correlación entre los rangos es positiva. Se desearía rechazar la hipótesis nula 
de no asociación sólo para valores positivos grandes de rs y se usaría una prueba de 
una cola. Si se consulta la tabla 15.14 y se usa el renglón correspondiente a n � 8 y la 
columna para a � .05, se lee r0 � .643. Por tanto, se puede rechazar H0 para todos los 
valores de rs mayores o iguales a .643.
La prueba se realiza exactamente en la misma forma si se desea probar sólo la hipó-
tesis alternativa de que los rangos tienen correlación negativa. La única diferencia es 
que se rechazaría la hipótesis nula si rs � �.643. Esto es, se usa el negativo del valor 
tabulado de r0 para obtener el valor crítico de cola inferior.
Para efectuar una prueba de dos colas, se rechaza la hipótesis nula si rs � r0 o rs � 
�r0. El valor de a para la prueba es el doble del valor que se ve en la parte superior de 
la tabla. Por ejemplo, si n � 8 y se escoge la columna .025, se rechaza H0 si rs � .738 o 
rs � �.738. El valor a para la prueba es 2(.025)� .05.
PRUEBA DE CORRELACIÓN DE RANGO 
DE SPEARMAN
1. Hipótesis nula: H0 : No hay asociación entre los pares de rangos.
2. Hipótesis alternativa: Ha : Hay asociación entre los pares de rangos (una 
prueba de dos colas); o bien, Ha : La correlación entre los pares de rangos 
es positiva o negativa (una prueba de una cola).
3. Estadístico de prueba: rs � 
Sxy _______ 
 �
_____
 SxxSyy 
 
 donde xi y yi representan las fi las de la pareja ith de las observaciones.
4. Región de rechazo: Para una prueba de dos colas, rechace H0 se rs � r0 o rs � 
�r0, donde r0 se da en la tabla 9 del apéndice I. Duplique la probabilidad tabu-
lada para obtener el valor de a para la prueba de dos colas. Para una prueba de 
una cola, rechace H0 si rs � r0 (para una prueba de cola superior) o rs � �r0 
(para una prueba de cola inferior). El valor a para una prueba de una cola es el 
valor que se muestra en la tabla 9 del apéndice I.
 Versión abreviada de la tabla 9 del apéndice I; para la prueba
TABLA 15.14 
●
 de correlación de rango de Spearman
n a � .05 a � .025 a � .01 a � .005
 5 .900 — — —
 6 .829 .886 .943 —
 7 .714 .786 .893 —
 8 .643 .738 .833 .881
 9 .600 .683 .783 .833
10 .564 .648 .745 .794
11 .523 .623 .736 .818
12 .497 .591 .703 .780
13 .475 .566 .673 .745
14 .457 .545
15 .441 .525
16 .425
17 .412
18 .399
19 .388
20 .377
 15.8 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE RANGO ❍ 663
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