Unidad N5 - Recta en el Plano

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
FACULTAD REGIONAL VILLA MARÍA 
Tecnicatura en Programación 
MATEMÁTICA 
 
Ing. Romina Verdoia – Ing. Paula Sicbaldi – Ing. Federico Rodríguez – Ing. Matías Corletti 
 
 
 
MATEMÁTICA 
Tecnicatura en Programación 
Unidad N°5: 
Recta en el Plano 
Ecuación de la recta – Pendiente - Cociente incremental – 
Ordenada al origen 
Rectas paralelas y perpendiculares – Representación gráfica 
Inecuaciones. Representación en el plano. Problemas de aplicación. 
Intersección de dos rectas – Resolución analítica de sistemas por 
Regla de Cramer. 
 
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4.1. Introducción: 
Uno de los conceptos básicos en geometría es el de una recta. En esta unidad restringiremos 
nuestro análisis a rectas que se encuentran en un plano de coordenadas, lo que nos permitirá 
usar métodos algebraicos para estudiar sus propiedades. 
4.2. Ecuación de la Recta: 
Toda función de la forma: 
 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
es una función lineal, cuya representación gráfica es una Recta en el Plano. En esta ecuación “x” 
es la variable independiente e “y” es la variable dependiente. 
A la constante “m” la denominaremos pendiente y a la constante “b” ordenada al origen. 
4.2.1. Pendiente 
Sea l una recta que no es paralela al eje “y” y sean P1=(x1,y1) y P2=(x2,y2) puntos distintos en l. La 
pendiente “m” de l es: 
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
Los puntos típicos y sobre la recta l se muestran en la siguiente figura. El numerador y2-y1 en la 
fórmula para m es el cambio vertical en dirección de P1 a P2 y puede ser positivo, negativo o cero. 
El denominador x2-x1 es el cambio horizontal de P1 a P2, y puede ser positivo o negativo, pero 
nunca cero, porque l no es paralela al eje y si existe una pendiente. En la figura 1(a) la pendiente 
es positiva y decimos que la recta sube. En la figura 1(b) la pendiente es negativa y la recta cae. 
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La definición de pendiente no depende de los dos puntos que se escojan en l. Si se usan otros 
puntos P’1=(x’1,y’1) y P’2=(x’2,y’2), entonces, como en la figura 2, el triángulo con vértices P’1, P’2, y 
P’3=(x’2,y’1) es semejante al triángulo con vértices P1, P2, y P3=(x2,y1). Como las razones entre 
lados correspondientes de triángulos semejantes son iguales, 
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
𝑦2
′ − 𝑦1
′
𝑥2
′ − 𝑥1
′ 
 
Teniendo en cuenta la expresión de la pendiente: 
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
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se puede expresar la ecuación de la recta en la forma de Punto pendiente. Así, para la recta con 
pendiente m que pasa por el punto P1=(x1,y1) la ecuación es: 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 
 
La forma de punto pendiente es sólo una posibilidad para una ecuación de una recta. Hay 
numerosas ecuaciones equivalentes. A veces simplificamos la ecuación obtenida usando la forma 
de punto pendiente para: 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 
 
Donde a, b y c son enteros. 
Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta en forma de Punto pendiente que pasa por los puntos 
P1=(1,7) y P2=(-3,2): 
La fórmula para la pendiente m nos da: 
𝑚 =
2 − 7
−3 − 1
=
5
4
 
Podemos usar las coordenadas de cualquiera de los dos puntos para obtener la ecuación de la 
recta en la forma de Punto Pendiente. Utilizando P1 = (1,7): 
𝑦 − 7 =
5
4
(𝑥 − 1) 
4(𝑦 − 7) = 5(𝑥 − 1) 
4𝑦 − 28 = 5𝑥 − 5 
−5𝑥 + 4𝑦 = 23 
5𝑥 − 4𝑦 = −23 
 
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Cociente Incremental 
Dados dos puntos cualquiera en una recta P1=(x1,y1) y P2=(x2,y2). Se llama cociente incremental a 
la relación Δy/ Δx. El cociente incremental es igual a la pendiente de la recta. 
𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
= 𝑚 
Interpretación Geométrica del Cociente Incremental 
Considerando los dos puntos tomados en la recta P1=(x1,y1) y P2=(x2,y2). Se construye un triángulo 
rectángulo de modo que los catetos coincidan con los incrementos y la hipotenusa coincida con la 
recta. 
Teniendo en cuenta las razones trigonométricas: 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
ℎ𝑖𝑝
=
∆𝑦
𝑃1𝑃2
 
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
ℎ𝑖𝑝
=
∆𝑥
𝑃1𝑃2
 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
=
∆𝑦
∆𝑥
 
el cociente incremental es igual a la pendiente e igual a la tangente del ángulo. 
4.2.2. Ordenada al origen 
Sea l una recta que no es paralela al eje “y” la ordenada al origen es el cruce de la recta con el eje 
y. La ecuación de la recta expresada en la forma de Ordenada al Origen es: 
 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
donde b es el cruce con el eje “y. 
Ejemplo: Exprese la siguiente ecuación en la forma de Ordenada al Origen: 
α 
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2𝑥 − 5𝑦 = 8 
La meta es despejar “y” de la ecuación dada 
2𝑥 − 5𝑦 = 8 
−5𝑦 = −2𝑥 + 8 
𝑦 =
−2
−5
𝑥 +
8
−5
 
𝑦 =
2
5
𝑥 −
8
5
 
 
Forma General para la 
Ecuación de una Recta 
La gráfica de una ecuación lineal ax + by = c es una recta y, 
recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal. 
 
4.3. Trazar la recta de una Ecuación Lineal: 
Sabemos, de la exposición precedente, que la gráfica de una ecuación lineal es una recta y que 
es suficiente hallar dos puntos en la gráfica. Una forma es encontrar los puntos de intersección 
con los ejes “x” e “y” al sustituir y=0 y x=0, respectivamente, en la ecuación dada. 
Ejemplo: Trazar la gráfica de: 2𝑥 − 5𝑦 = 8 
𝐶𝑟𝑢𝑐𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥: 𝑆𝑖 𝑦 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 2𝑥 = 8, 𝑜 𝑥 = 4 
𝐶𝑟𝑢𝑐𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦: 𝑆𝑖 𝑥 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 − 5𝑦 = 8, 𝑜 𝑦 = −
8
5
 
 
Localizando los puntos (4,0) y (0,-8/5) y trazando la recta que pase por ellos se obtiene la gráfica: 
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4.4. Rectas Paralelas y Perpendiculares 
 
Teorema de pendientes de 
Rectas Paralelas 
Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si tienen la misma 
pendiente. 
 
Sean l1 y l2 rectas distintas de pendientes m1 y m2, respectivamente. Si los puntos de intersección 
con el eje y son b1 y b2, entonces, por la forma de ordenada en el origen, las rectas tienen 
ecuaciones: 
𝑦1 = 𝑚1𝑥 + 𝑏1 𝑦2 = 𝑚2𝑥 + 𝑏2 
𝑆𝑖 𝑚1 = 𝑚2, 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
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Teorema de pendientes de 
Rectas Perpendiculares 
Dos rectas con pendientes m1 y m2 son perpendiculares si y sólo si 
m1m2 = -1 
 
Si las pendientes de dos rectas no verticales no son iguales, entonces las rectas no son paralelas 
y se cruzan en exactamente un punto. 
El teorema antes descrito nos da información acerca de rectas perpendiculares (rectas que se 
cruzan a un ángulo recto). 
Una forma cómoda de recordar las condiciones sobre pendientes de rectas perpendiculares es 
notar que m1 y m2 deben ser recíprocos negativos entre sí, esdecir, m1 = -1/ m2 y m2 = -1/ m1. 
 
4.5. Representación Gráfica: 
En esta sección examinamos cómo representar geométricamente una ecuación, por una gráfica 
en un plano de coordenadas. La gráfica puede entonces usarse para descubrir propiedades de las 
cantidades que no son evidentes sólo de la ecuación. 
Para una ecuación lineal la gráfica se puede trazar localizando las intersecciones de la recta con 
los ejes cuando la ecuación está en su forma de Punto Pendiente o utilizando información 
brindada por la ecuación en su forma de Ordenada al Origen. 
Ejemplo: Trace la gráfica de la ecuación: 
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2𝑥 − 𝑦 = 1 
Primero expresamos la ecuación en su forma de Ordenada al Origen 
𝑦 = 2𝑥 − 1 
Luego procedemos como sigue: 
- Ubicamos en el sistema de ejes el corte de la recta con el eje “y” dado por la ordenada al 
origen. En el ejemplo: -1 (punto A) 
- Luego, desplazamos hacia la derecha tanto como indica el valor del denominador del 
cociente incremental, y, desde ahí hacia arriba (positivo) o abajo (negativo) tanto como 
indique el valor del numerador del cociente incremental. En el ejemplo el cociente 
incremental es 2, por lo tanto, desde la ordenada al origen nos desplazamos en 1 hacia la 
derecha y en 2 hacia arriba (punto B). 
- Se unen ambos puntos y se traza la recta. 
 
 
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4.6. Intersección de dos rectas 
La intersección de dos rectas es aquel punto en el que las coordenadas “x” e “y” son iguales para 
ambas rectas. En sistema de ecuaciones este punto de intersección representa la solución del 
sistema. 
La intersección o solución de un sistema de ecuaciones se puede obtener por el método de 
Cramer, también mediante igualación, sustitución, reducción o gráficamente. 
4.6.1. Regla de Cramer 
Es un método utilizado en el álgebra para solucionar sistemas de ecuaciones lineales o encontrar 
la intersección de dos rectas, mediante el uso de determinantes. 
Los sistemas de ecuaciones lineales deben cumplir las siguientes condiciones para poder 
resolverse mediante la regla de Cramer: 
 El número de ecuaciones debe ser igual al número de incógnitas. 
 El determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas debe ser distinto de cero. 
Los pasos a seguir para resolver un sistema de ecuaciones según la regla de Cramer son los 
siguientes: 
Sean las rectas 
 
1- Se debe calcular el determinante de la matriz de los coeficientes de x e y. La matriz de 
los coeficientes la llamaremos D. 
𝐷 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
] , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝐷| = 𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12 
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El determinante de la matriz de los coeficientes debe ser distinto de cero. 
2- Luego calcular el determinante de la matriz Dx que es la matriz que resulta de sustituir 
la columna de los coeficientes de x por los términos independientes k1 y k2. 
𝐷𝑥 = [
𝑘1 𝑎12
𝑘2 𝑎22
] , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝐷𝑥| = 𝑘1𝑎22 − 𝑘2𝑎12 
3- En tercer lugar, calcular el determinante de la matriz Dy que es la matriz que resulta de 
sustituir la columna de los coeficientes de y por los términos independientes k1 y k2. 
𝐷𝑥 = [
𝑎11 𝑘1
𝑎21 𝑘2
] , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝐷𝑦| = 𝑎11𝑘2 − 𝑎21𝑘1 
4- Por último, se calculan las coordenadas x e y pertenecientes al punto de intersección 
de las rectas: 
𝑥 =
 |𝐷𝑥|
|𝐷|
 𝑦 =
 |𝐷𝑦|
|𝐷|
 
 
4.6.2. Ejercicio de aplicación 
Encuentre el punto de intersección de las siguientes rectas mediante la Regla de Cramer: 
−2𝑥 + 𝑦 = 1 3𝑥 + 𝑦 = 6 
1- Determinante de la matriz de los coeficientes de x e y. 
𝐷 = [
−2 1
3 1
] , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝐷| = −2 ∙ 1 − 3 ∙ 1 = −5 
2- Determinante de la matriz Dx. 
𝐷𝑥 = [
1 1
6 1
] , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝐷𝑥| = 1 ∙ 1 − 6 ∙ 1 = −5 
 
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3- Determinante de la matriz Dy. 
𝐷𝑦 = [
−2 1
3 6
] , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝐷𝑦| = −2 ∙ 6 − 3 ∙ 1 = −15 
4- Coordenadas x e y pertenecientes al punto de intersección de las rectas: 
𝑥 =
 |𝐷𝑥|
|𝐷|
=
−5
−5
= 1 𝑦 =
 |𝐷𝑦|
|𝐷|
=
−15
−5
= 3 
Gráficamente: