ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERIOR

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ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERIOR 
 
 
No hay rama de la matemática, por abstracta que sea, 
que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real. 
Nicolai Lobachevski 
 
 
Un espacio vectorial o lineal es una estructura algebraica (abstracta) que ofrece el 
soporte científico adecuado para realizar combinaciones lineales entre elementos, 
llamados vectores del espacio. Por ejemplo, permite el tratamiento de los vectores 
Fuerzas utilizados en Física, los vectores Precios utilizados en Economía o los vectores 
de Preferencia en Sociología, etc. 
En las aplicaciones geométricas, es necesario medir la magnitud de los vectores, la 
distancia entre puntos y/o rectas y/o planos, el ángulo entre ellos, saber si los vectores o 
los planos son ortogonales, paralelos, calcular longitudes de curvas, áreas, volúmenes, 
etc. En otras aplicaciones no geométricas, también es necesario realizar ”mediciones” 
para procesar información y evaluar errores. Es decir, es necesario realizar mediciones 
en cualquier espacio de vectores. Para esto, hay que definir ¿cómo se mide?, ¿con qué 
se mide?,¿qué características harían confiable a una función definida en un espacio 
para medir?, entre otras preguntas. 
La función que permite “medir” en un espacio vectorial se llama función producto 
interior y su símbolo utiliza paréntesis angulares. La expresión <u, v> se lee “producto 
interior entre los vectores u y v” o, simplemente, “producto de u por v”. Se acostumbra a 
decir que existe una métrica en el espacio; trabajaremos sólo en espacios reales. En 
consecuencia, el resultado de la función producto interior entre dos vectores es un 
número real, que permitirá “medir” norma o longitud, distancia, ángulo, etc. 
 
Definición de función producto interior 
Sea V un espacio vectorial real, sean los vectores u, v y w de V y k un escalar real. Se 
llama función producto interior a una función que a cada par de vectores u y v le asocia 
un número real denotado por <u, v> que verifica los siguientes axiomas: 
1) Axioma de simetría: el producto interior entre los vectores u y v del espacio vectorial 
V es igual al producto interior entre los vectores v y u. En símbolos 
<u, v> = <v, u> 
2) Axioma de aditividad: <u + v, w> = <u, w> + <v, w> 
 2 
 
3) Axioma de homogeneidad: <k u, v> = k <u, v> 
4) Axioma de positividad: <u, u>  0 y <u, u> = 0 si y sólo si u = 0 
 
NOTA: el dominio de la función producto interior es el producto cartesiano del espacio 
V por sí mismo, VxV, y el codominio es IR. 
 
Ejemplo 1: Sea el espacio real IR2 con las operaciones estándares y los vectores 
genéricos u = (u1, u2) y v = (v1, v2), el producto escalar definido por 
<u, v> = u1 v1 + u2 v2 
es un ejemplo de producto interior pues satisface los cuatro axiomas de la definición que 
son, justamente, las propiedades del producto escalar vistas anteriormente en el plano. 
 
Ejemplo 2 Sea el espacio real IR3 con las operaciones estándares y los vectores 
genéricos u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3), el producto escalar definido por 
<u, v> = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 
visto anteriormente, es un ejemplo de producto interior pues satisface los cuatro 
axiomas de la definición que son las propiedades del producto escalar en el espacio de 
tres dimensiones. 
 
Ejemplo 3 Sea el espacio real IRn con las operaciones estándares y los vectores 
genéricos u = (u1, u2, …, un) y v = (v1, v2, …, vn). La función definida por 
 
<u, v> = u1 v1 + u2 v2 + … + un vn = 


ni
i
iu
1
iv 
 
es un ejemplo de producto interior pues satisface los cuatro axiomas de la definición (se 
deben probar todos). 
A modo de ejemplo, se demostrará el axioma 4, llamado axioma de positividad: 
<u, u> = u1 u1 + u2 u2 + … + un un 
<u, u> = u1
2
 + u2
2 + … + un
2 
 
Como la suma de cuadrados de números reales (componentes reales de los vectores) es 
un número real no negativo, <u, u>  0 y, si u = 0 = (0, 0,…., 0) entonces 
<0, 0> = 02 + 0
2 + … + 02 = 0, es decir, <u, u> = 0 si y sólo si u = 0. 
 
 
 3 
Observaciones 
- Este producto interior se llama producto escalar o producto euclideano o producto 
estándar o producto usual o producto interior o producto interno; es el que se utiliza 
cuando no se explicita otro producto interior en el espacio. 
- El producto euclideano es el que hemos usado hasta ahora en Geometría para trabajar 
con rectas, planos, triángulos, polígonos, perpendicularidad, etc. Esta Geometría se la 
conoce como Geometría euclídea o euclidiana, fundada por Euclides en el siglo II a.C y 
escrita en Los Elementos. El Teorema de Pitágoras es un ejemplo muy conocido en ella. 
- Existen las llamadas Geometrías no euclidianas en las que la función producto interior 
definida en el espacio, es no euclidiana y, su definición depende de las aplicaciones que 
deban ser estudiadas; se destacan la Geometría de Riemann (1826-1866) o Geometría 
elíptica o eférica en la que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor 
que 180º y la Geometría de Lobachensky (1792-1856) o Geometría hiperbólica en la 
que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor que 180º. Sin las 
geometrías no euclidianas hubiera sido imposible la Teoría de la Relatividad de Einstein 
(1879-1955). 
- ¿Cuántas geometrías existen? 
 
- No confundir el vector cero o vector nulo de un espacio V con el número cero. 
 
- En particular, en IR5, un ejemplo de producto euclídeo entre los vectores indicados 
siguientes es: <(1, -2, 0, 5, -1), (2, 0, -3, 4, 1)> = 1.2 +(-2) 0 + 0.(-3) +5.4 + (-1).1 = 21. 
 
Ejemplo 4 Sea el espacio real IR3 con las operaciones estándares y los vectores 
genéricos u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3). La función definida por 
 
<u, v> = u1 v1 + 2. u2 v2 + 3. u3 v3 
 
es un ejemplo de producto interior pues satisface los cuatro axiomas de la definición (se 
deben probar todos los axiomas). Es un producto interior no estándar (no euclidiano). 
A modo de ejemplo se demostrará el axioma 2, llamado axioma de aditividad. Se debe 
demostrar que: 
<u + v, w> = <u, w> + <v, w> (1) 
En efecto, aplicando la definición de suma de vectores en el primer miembro, se tiene 
<u + v, w> = <(u1 + v1, u2 + v2 , u3 +v3); (w1, w2, w3)> 
Aplicando la definición de la función dada, 
<u + v, w> = (u1+ v1) w1 + 2 (u2 + v2) w2 + 3 (u3 + v3) w3 
 4 
Aplicando propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición y luego, 
asociando en IR, se tiene 
<u + v, w> = (u1 w1 + 2 u2 w2 + 3 u3 w3) + (v1 w1 + 2 v2 w2 + 3 v3 w3) 
Aplicando nuevamente la definición de la función dada 
<u + v, w> = <u, w>+ <v, w> 
También se puede trabajar en cada miembro de (1) por separado y luego por 
comparación, concluir la igualdad. 
 
Ejemplo 5 Sea el espacio real P3 de polinomios de grado menor o igual que 3 unido al 
polinomio nulo con las operaciones estándares entre polinomios y los vectores 
(polinomios) genéricos p(x) = a0 + a1 x + a2 x
2 y q(x) = b0 + b1 x + b2 x
2. La función 
definida por la fórmula 
< p, q> = a0 b0 + a1 b1 + a2 b2 
es un producto interior pues satisface los cuatro axiomas de la definición. A modo de 
ejemplo, demostraremos el axioma de homogeneidad o axioma 2. Debemos probar que 
<k p, q> = k < p, q> para todo k real 
En efecto, 
 <k p, q> =<k (a0 + a1 x + a2 x
2), (b0 + b1 x + b2 x
2)>= 
 = (k a0) b0 +(k a1) b1 + (ka2) b2 = k (a0 b0 + a1 b1 + a2 b2) = k < p, q> 
 
Luego, <k p, q> = k < p, q> 
 
Ejemplo 6 Sea el espacio real IR3 con las operaciones estándares y los vectores 
genéricos u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3). La función definida por la fórmula 
<u, v> = u1 v1 - 2. u2 v2 + u3 v3 
 
no es un ejemplo de producto interior pues no satisface, al menos, el axioma de 
positividad. En efecto, 
<u, u> = u1 u1 - 2. u2 u2 + u3 u3 = u1 
2
 - 2. u2 
2 + u3
2 
El resultado obtenido no es para todo vector u  0 (si u = (0, 8, 0),<u, u> < 0). 
 
Notas 
. Basta probar que un sólo axioma de la definición no se cumple para concluir que la 
función dada no es producto interior. 
 5 
 
. Sean u y v vectores de IRn, donde u = (u1, u2, …, un), v = (v1, v2, …, vn) y ki con 
i = 1, 2,…, n es un escalar real. Entonces la función definida por 
<u, v> = k1 u1 v1 + k2 u2 v2 + … + kn un vn = 


ni
i
ii uk
1
iv 
es un ejemplo de producto interior denominado producto interior ponderado. En 
particular, es usado en Estadística con el nombre de media aritmética (o promedio 
ponderado). 
 
 
Propiedades del producto interior 
En todo espacio vectorial V con función producto interior y siendo u, v y w vectores de 
V y k un escalar real, se verifica que: 
 
1) El producto interior entre u y 0 es el número 0. En símbolos, 
< 0, u > = < u, 0 > = 0 
2) <u, v + w> = <u, v> + <u, w> (Aditividad a derecha) 
 3) < u, kv> = k <u, v> (Homogeneidad a derecha) 
 
Demostración de 1) 
Para todo u, v y w vectores de V: <0, u> = <0v, w> = 0 <v, w> = 0 
Primero se aplica propiedad en el espacio V (el vector 0 es igual al producto del escalar 
0 por cualquier vector v); después axioma de homogeneidad o axioma 3 de la definición 
de producto interior y, por último, la propiedad en IR que el número 0 multiplicado por 
cualquier número real da 0. 
 
Norma o longitud de un vector 
Definición En un espacio vectorial real V con producto interior, se llama norma del 
vector u de V y, se anota u , a la raíz cuadrada no negativa del producto interior del 
vector por sí mismo. 
En símbolos 
u = <u, u>1/2 
 
 
 6 
Distancia entre dos puntos (o vectores) 
Definición Sea el espacio vectorial real V con producto interior, se llama distancia 
entre el vector u y el vector v y, se anota d(u, v), a la norma de la diferencia entre los 
vectores u y v. En símbolos 
d(u, v) = vu  
 
Además se puede expresar que d(u, v) es igual a la raíz cuadrada no negativa del 
producto interior del vector u - v por sí mismo, es decir. 
d(u, v) = <u - v, u - v>1/2  0 
 
Ejemplo 7 Sea el espacio real IR3 con las operaciones estándares y los vectores 
 u = (2, -3, -1) y v = (-1, 0, -2). Hallar la norma de 2u y la distancia entre u y v en los 
siguientes casos: 
a) producto interior definido por la función <u, v> = u1 v1 + 2. u2 v2 + 3. u3 v3, donde 
u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) y 
b) producto escalar o producto punto. 
Solución 
a) 
u2 = <2u, 2u>1/2 = <2 (2, -3, -1); 2 (2, -3, -1)>1/2 = <(4, -6, -2); (4, -6, -2)>1/2 = 
= (4.4 + 2 (-6) (-6) + 3 (-1) (-1))1/2 = (16 + 72 + 3)1/2 = 91 
 
d(u, v) = vu  = 2,0,1()1,3,2(  = )1,3,3(  = (3.3+ 2 (-3) (-3) + 3.1.1)1/2 = 30 
b) 
u2 = <2u, 2u>1/2 = <2 (2, -3, -1); 2 (2, -3, -1)>1/2 = <(4, -6, -2); (4, -6, -2)>1/2 = 
= (4.4 + (-6) (-6) + (-1) (-1))1/2 = (16 + 36 + 1)1/2 = 53 
 
d(u, v) = vu  = 2,0,1()1,3,2(  = )1,3,3(  = (3.3+ (-3)(-3) + 1.1)1/2 = 19 
 
 
Ejemplo 8 Hallar la norma de la función real f(x) = sen(x) en el espacio de funciones 
reales continuas en el intervalo cerrado [0,  ] con el producto interior definido por 
gf , = 

0
)()( dxxgxf (producto usado en Series de Fourier). 
 
 7 
Solución 
f 2 = ff , = 

0
)()( dxxfxf = 

0
2 dxxsen =  

0
1dx 


0
2
)2cos(1
dx
x
 = 
2

 
Respuesta: )(xsen = 
2

 
 
Ejemplo Si U = 





43
21
uu
uu
 y V = 





43
21
vv
vv
 son dos vectores cualesquiera del espacio 
real de matrices de 2x2, entonces VU , = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 + u4 v4, es un producto 
interior en el espacio. 
a) Hallar la norma de una matriz antisimétrica. 
b) Hallar la distancia entre una matriz simétrica y la matriz identidad. 
Solución 
a) 
2
0
0






 a
a
 = 












 0
0
,
0
0
a
a
a
a
 = 0.0 + a .a + (-a) .(-a) + 0.0 = 2 a2 
Rta: 





 0
0
a
a
= 2 a 
b) Sea A = 





cb
ba
 matriz simétrica, la distancia entre A e I es 
d(A, I) = IA = 







1
1
cb
ba
 = ((a-1)2 + 2b2 + (c-1)2) 1/2 
 
Rta: d(A, I) = ((a-1)2 + 2b2 + (c-1)2) 1/2 
 
 
Observación La norma, la distancia, el ángulo y todo lo que involucre “medidas” o 
“métricas” trabajando con vectores, dependen del producto interior definido en el 
espacio. Haciendo una analogía, la función producto interior “sería como mirar con 
distintos lentes que distorsionan una misma imagen”. 
 
Propiedades de norma 
Si u y v son vectores en un espacio V con producto interior y k es cualquier escalar real, 
entonces: 
1) u  0 y u = 0 si y sólo si u = 0 
 8 
2) ku = k u 
3) vu   u + v (Desigualdad triangular) 
Notas 
- Se observa que las propiedades dadas son las que verifica el valor absoluto en IR 
dadas en el curso de Análisis; en efecto, el valor absoluto de un número real es la 
norma del vector llamado frecuentemente número real el espacio IR con el producto 
euclídeo. 
 
Desigualdad de Cauchy- Schwarz 
Si u y v son vectores en un espacio real con producto interior, entonces 
vu,  u v 
Observaciones 
- La expresión también se puede escribir de la forma 
2
,vu  uu, . vv, o bien 
2
,vu  u 2 v 2. 
- Es interesante pensar en qué casos se verifica la igualdad en la desigualdad anterior. 
- Esta desigualdad tiene importancia teórica, entre otras cosas, permite probar que el 
ángulo entre vectores existe y es único. 
 
Ángulo entre vectores 
 
Sea el espacio real V con producto interior, se llama ángulo  entre el vector u y el 
vector v, no nulos, al ángulo cuya medida en radianes satisface que 0     y 
cos = 
vu
vu,
. 
Ejemplo 9 Sea IR5 con el producto euclidiano. Hallar el ángulo entre los vectores 
u = (4, 3, 1, -2, 0) y v = (0, 1, -3, 0, 5). 
 
Solución 
 
cos  = 
vu
vu,
 = 
3530
0.50).2()3.(11.30.4 
 = 0,  = 
2

 
 
 
 
 9 
Ortogonalidad 
 
Dos vectores no nulos u y v, en un espacio real V con producto interior se denominan 
ortogonales si <u, v> = 0. 
 
Ejemplo 10 Los vectores del ejercicio anterior u = (4, 3, 1, -2, 0) y v = (0, 1, -3, 0, 5) 
son ortogonales con el producto euclidiano. 
 
 
Bases ortogonales y ortonormales 
 
Definiciones 
i) Una base en un espacio con producto interior se denomina base ortogonal si todos 
los pares de vectores distintos en la base son ortogonales. 
 
ii) Una base ortogonal en un espacio con producto interior se denomina base 
ortonormal si todos los vectores de la base tienen norma igual a 1. 
 
Ejemplo 11 En IR3 con el producto euclidiano: 
 
a) B = {(2, 0, 0); (0, 0, -1); (0, 3, 0)} es base ortogonal porque el producto euclidiano 
entre todos los pares distintos de vectores, es 0. 
 
b) C = {(2, 0, 0); (0, 0, -1); (1, 3, 0)} es base no ortogonal porque el producto euclidiano 
entre el primer y el tercer vector no da 0. 
 
c) D = {(1, 0, 0); (0, 0, -1); (0, -1, 0)} es base ortonormal pues es base ortogonal y todos 
los vectores tiene norma 1. 
 
 
Ejemplo 12 En el subespacio W de dimensión finita de funciones continuas reales en el 
intervalo cerrado [0,2 ] con el producto interior dado por <f, g> = 
2
0
)()( dxxgxf , la 
base determinada por el conjunto de funciones {1, cos(x), cos(2x)} es una base 
ortogonal de W de dimensión 3. En efecto, 
<1, cos(x) > = 
2
0
)cos(1 dxx = 0, entonces f(x) = 1 es ortogonal a g(x) = cos(x); 
<1, cos(2x)> = 
2
0
)2cos(1 dxx = 0, entonces f(x) = 1 es ortogonal a h(x) = cos(2x) y 
<cos(x), cos(2x)> = 
2
0
)2cos()cos( dxxx = 0, entonces g(x) = cos(x) es ortogonal a 
 10 
h(x) = cos(x). 
Luego, la base dada es ortogonal, no es ortonormal, pues la norma de los vectores 
(funciones) de la base no es unitaria (con el producto interior dado). Sin embargo, se 
podrían obtener vectores unitarios o versores, realizando el procedimiento de 
normalización ya estudiado, esto es f ´ = 
f
f
. 
 
Proyecciones ortogonales 
Teoremade Proyección Si W es un subespacio de dimensión finita en un espacio V 
con producto interior, entonces u de V se puede expresar de manera única como 
u = w1 + w2 
donde w1 es un vector en W y w2 es un vector en el conjunto ortogonal a W, denotado 
por W* (puede ser espacio); 
w1 se denomina proyección ortogonal de u sobre W, se anota se anota w1 = proy W u 
y w2 es la componente de u ortogonal a W o proyección de u sobre el conjunto 
ortogonal a W, W*, se anota se anota w2 = proy W* u 
 
Teorema 
Sea W un subespacio de dimensión finita en un espacio V con producto interior. 
a) Si {v1, v2, …, vr}es una base ortonormal para W y u es cualquier vector en V, 
entonces 
proy W u = <u, v1> v1 + <u, v2> v2 + ... +<u, vr> vr 
 
b) b) Si {v1, v2, …, vr}es una base ortogonal para W y u es cualquier vector en V, 
entonces 
proy W u = 2
1
1
v
 vu, 
 v1 + 2
2
2
v
 vu, 
 v2 + ... + 2
r
r
v
 vu, 
vr 
 
 
 
 
 
Ana María Narvaez