419420918-trabajo-algebra-lineal

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CLASE: algebra lineal
Trabajo 
PRACTICA 
GRUPO:8105
NOMBRE DEL PROFESOR: ALBERTO HIGUERA GARCIA
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: SEPTIEMBRE DEL 2021
INDICE
INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………………..3
Objetivos………………………………………………………………………………………………….3
Método de Hill……………………………………………………………………………………………4
Asignación numérica……………………………………………………………………………………5
1. Actividad 1…………………………………………………………………………………………….5
1.1 Encriptar mensaje………………………………………………………………………………5
2. Actividad 2……………………………………………………………………………………………7
2.1 Interceptar mensaje……………………………………………………………………………7
CONCLUSIONES………………………………………………………………………………………10
REFERENCIAS CIBERGRÁFICAS………………………………………………………………….12
INTRODUCCIÓN
Con este trabajo se pretende que el estudiante reconozca algunos aspectos que son fundamentales para abordar el estudio de la Algebra Lineal, por eso representa a través de ejercicios prácticos el afianzamiento de dichos conceptos.
En la unidad 1 del programa de Algebra Lineal se abordan temas como vectores, matrices y determinantes, y se explica los métodos de solución para estos sistemas.
Las matrices constituyen un instrumento muy poderoso para tratar con los modelos lineales. En esta unidad se hace la introducción a la teoría general de matrices, además se definen los determinantes estrechamente relacionados con ellas.
OBJETIVOS
1. Identificar los conceptos y los procesos del álgebra lineal involucrados en un sistema de cifrado y descifrado de mensajes.
2. Realizar una buena utilización de los procedimientos para cifrar y descifrar mensajes
3. Transferir ideas y conceptos del álgebra lineal para resolver las diferentes situaciones Afianzar mediante ejercicios prácticos los conocimientos adquiridos en launidad 1 del programa de Algebra Lineal.
4. Entender el concepto de matriz y reconocer los diferentes elementos que la componen.
5. Realizar las operaciones algebraicas básicas con matrices y sus propiedades.
6. Comprender e identificar la aplicación de los diferentes métodos para la resolución de los problemas propuestos.
MÉTODO DE HILL
El cifrado de Hill fue inventado, basándose en el álgebra lineal, por el matemático norteamericano Lester S. Hill en 1929, este esta explicado en su artículo Cryptography in an Algebraic Alphabet, publicado en The American Mathematical Monthly.
En este nos explica que el sistema de cifrado consiste en asignarle a una letra o un signo un valor diferente.
El cifrado de Hill consiste en que a cada letra del alfabeto se le asigna un valor numérico en el mejor de los casos esta asignación se realiza de una manera ordenada, siendo A=0, B=1, C=2,…..etc.
En el cifrado de Hill se utiliza una matriz cuadrada de números A como clave, la cual determina la transformación lineal Y = A ∙ X, donde Y, X son vectores columna y A y X se multiplican con la multiplicación de matrices.
Para poder descodificar los mensajes cifrados mediante el método de Hill se necesita que la matriz de la transformación lineal utilizada, la clave, sea una matriz inversible.
SITUACIÓN PROBLEMA: MENSAJES OCULTOS
ASIGNACIÓN NÚMERICA
	A
	B
	C
	D
	E
	F
	G
	H
	I
	J
	K
	L
	N
	M
	Ñ
	O
	P
	Q
	R
	S
	T
	U
	V
	W
	X
	Y
	Z
	_
	.
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	21
	22
	23
	24
	25
	26
	27
	28
ACTIVIDAD 1.
Cifrar con el método de Hill la palabra DEDICACION empleando la matriz clave y la asignación numérica dada en la parte superior
SOLUCIÓN:
ACTIVIDAD 1
	D
	E
	D
	I
	C
	A
	C
	I
	O
	N
	3
	4
	3
	8
	2
	0
	2
	8
	15
	12
Matriz clave 
Como nuestra matriz clave es de 2x2 realizaremos la distribución numérica según el tamaño de esta.
Distribución numérica
Ahora procederemos a realizar las operaciones correspondientes, vamos a multiplicar nuestra matriz clave, por cada una de las matrices obtenidas de nuestra palabra a cifrar
A este ultimo ejercicio le vamos a aplicar el módulo 27, teniendo en cuenta que solo se estarán teniendo en cuenta las 27 letras del alfabeto y de esta manera poder obtener nuestro resultado entonces nos quedaría así:
Ahora que tenemos los resultados numéricos vamos a asignarle la letra correspondiente 
	L
	E
	S
	I
	C
	A
	R
	I
	Ñ
	N
	11
	4
	19
	8
	2
	0
	18
	8
	14
	13
Lo que nos deja que el mensaje obtenido es 
LESICARIÑN
ACTIVIDAD 2.
Se intercepta el siguiente mensaje. 
.IBFQSZAGNAFVLNBVDFAVDLQ.FWSWY y la matriz clave que se logró obtener fue la siguiente
a. Descifrar el mensaje oculto
b. Detallar los procedimientos que se realizaron para descifrar el mensaje.
SOLUCIÓN:
Se tiene interceptado el siguiente mensaje.
.IBFQSZAGNAFVLNBVDFAVDLQ.FWSWY
Descifrar el mensaje teniendo en cuenta la matriz clave
Antes de iniciar debemos tener claro que para desencriptar un mensaje lo primero que debemos hacer es sacar la inversa de la matriz clave, entonces empezaremos con ese procedimiento.
Vamos a sacar la matriz clave por el método de determinantes cofactores.
Y tenemos que 
Lo primero que vamos a hacer es calcular la matriz de cofactores
 = 
= 
== matriz de cofactores 
Ya tenemos nuestra matriz de cofactores ahora vamos a hallar la matriz adjunta de nuestra matriz de cofactores.
Sea C= Adjunta de C == 
Ahora vamos a calcular nuestro determínate y eso lo haremos por medio de la ley de 
Sarrus
det= 
=( (8x2x1)+(3x1x2)+(2x5x1) ) – ( (3x5x1)+(8x1x1)+(2x2x2) )
= (16+6+10) – (15+8+8)
= 32 – 31= 1
Entonces tenemos que el det A= 1
Ahora procederemos a sacar nuestra inversa con la formula
 =
Ya tenemos nuestra matriz inversa ahora realizaremos la asignación numérica a nuestro mensaje a descifrar
	.
	I
	B
	F
	Q
	S
	Z
	A
	G
	N
	A
	F
	V
	L
	N
	B
	V
	D
	F
	A
	V
	D
	L
	Q
	.
	F
	W
	S
	W
	Y
	28
	8
	1
	5
	17
	19
	26
	0
	6
	13
	0
	5
	22
	11
	13
	1
	22
	3
	5
	0
	22
	3
	11
	17
	28
	5
	23
	19
	23
	25
Ahora vamos a realizar la distribución numérica según el tamaño de nuestra matriz que en este caso es de 3x3
Vamos a proceder a realizar los ejercicios y aplicaremos el módulo correspondiente que en este caso sería modulo 29 ya que estamos trabajando con una tabla de asignación numérica de 27 letras del alfabeto más 2 símbolos.
 = 
 =
 = 
 =
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
Ya tenemos los resultados ahora vamos a asignarle la letra correspondiente a los números obtenidos
	19
	8
	13
	27
	4
	19
	20
	21
	3
	8
	0
	18
	27
	4
	13
	5
	4
	18
	12
	0
	27
	4
	11
	27
	0
	11
	12
	0
	27
	27
	S
	I
	N
	_
	E
	S
	T
	U
	D
	I
	A
	R
	_
	E
	N
	F
	E
	R
	M
	A
	_
	E
	L
	_
	A
	L
	M
	A
	_
	_
Lo que nos deja que, el mensaje oculto en la frase:
.IBFQSZAGNAFVLNBVDFAVDLQ.FWSWY es:
SIN ESTUDIAR ENFERMA EL ALMA
REFERENCIAS DE CONSULTA
https://culturacientifica.com/2017/01/11/criptografia-matrices-cifrado-hill/
https://www.textoscientificos.com/criptografia/hill
https://www.youtube.com/watch?v=3X29bcufrOM
	Algebra lineal
	1
Trabajo colaborativo.