ARITMETICA SEM 01 - 2022 II

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Aritmética S-1 Ingreso Directo 
 
 
 CICLO 2022 – II 
 ARITMÉTICA 
“TEORÍA DE CONJUNTOS I” 
 
 
Noción de Conjunto 
Concepto no definido del cual se tiene una idea 
subjetiva y se le asocian ciertos sinónimos tales 
como colección, agrupación o reunión de objetos 
abstractos o concretos denominados “integrantes” 
u elementos susceptibles de ser comparados. 
Ejemplos 01: 
 Los países del continente americano. 
 
Notación 
Ejemplo 02: A = los días de la semana 
 
Relación de Pertenencia () 
“....pertenece a .....” :  
“... no pertenece a ..”:  
 
Determinación de un Conjunto 
Puede hacerse de 2 formas: 
 
a) Por Extensión o forma tabular. 
Cuando se indica generalmente a todos y cada 
uno de los integrantes 
 
¡IMPORTANTE! No todos los conjuntos pueden ser 
expresados por extensión, entonces se recurre a 
otra forma de determinación. 
 
b) Por Comprensión o forma constructiva 
Cuando se enuncia una propiedad que 
caracteriza a todos los elementos del 
conjunto, de tal manera que cada objeto 
que goza de la propiedad pertenece al 
conjunto y todo elemento del conjunto 
goza de la propiedad mencionada. 
 
Esquema / 
 (se lee “tal que”) 
 
A = .......................... 
 
 Regla de Restricción 
 Correspondencia y/o característica 
 o forma general (propiedad común) 
 del elemento 
 
CONJUNTOS NUMERICOS 
1. Conjunto de los números naturales 
 IN = 1,2,3,4.... Ejemplo: 17  IN 
 IN O = IN* = 0,1,2,3,.... 
 
Observación: Cero (0) es natural 
 
2. Conjunto de los Números Enteros 
 ZZ = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... 
 
3. Conjunto de los Números Racionales 
 Q = a/b / a  ZZ  b ZZ  b  0 
 3  Q porque : 3 = 
1
3 
 0,5  Q porque 0,5 = 
10
5 
 = 3,141592...  Q porque   
b
a 
Aplicación I 
01. Dado el conjunto A={5; 6; {2; 3}; {3}}, determine 
si las siguientes proposiciones son verdaderas 
(V) o falsas (F) y elija la secuencia correcta. 
I. {3} ∉ A … ( ) II. {5; 6} ∈ A … ( ) 
III. 6 ∈ A … ( ) IV. {2; 3} ∈ A … ( ) 
 
A) FVFV B) FFVV C) FVVV 
D) FVFF E) FFVF 
 
02. Dado el conjunto B={2; 5; {4; 4}; {7}}, indique la 
secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) 
respecto de las siguientes proposiciones. 
 
I. 7 ∉ B … ( ) II. {4} ∈ B … ( ) 
III. 5 ∈ B … ( ) IV. {2; 4} ∉ B … ( ) 
 
A) VFVV B) VFFV C) VFVF 
D) VVVV E) FFVV 
 
Aplicación II 
03. Dado el conjunto M = {(x+1) ∈ Z+ / 3x < 15}, 
¿cuál de las siguientes proposiciones es 
incorrecta? 
 
A) 2 ∈ M B) 8 ∉ M C) 10 ∉ M 
D) 9 ∈ M E) 5 ∈ M 
 
04. Determine la suma de los elementos de M. 
 Semana Nº 1 
 
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M = {x ∈ Z/−10 ≤ 2x + 4 < 20} 
 
A) 7 B) 15 C) 8 D) 6 E) 0 
 
05. Determine la suma de los elementos de B. 
 
B = {x ∈ N /−6 ≤ 3x ≤ 18} 
 
A) 12 B) 21 C) 18 D) 16 E) 20 
 
06. Determine por comprensión el siguiente 
conjunto. 
 
M={9; 18; 29; 42; 57; ...; 218} 
 
A) M = {x2 / x ∈ Z ∧ 3 ≤ x < 16} 
B) M = {(x2 – 7) ∈ Z / 4 ≤ x < 15} 
C) M = {x2+5 / x ∈ Z ∧ 2 ≤ x ≤ 15} 
D) M = {x2 – 7 / x ∈ Z ∧ 4 ≤ x ≤ 15} 
E) M = {3x+3 / x ∈ Z ∧ 1 < x ≤ 71} 
 
Cardinal de un Conjunto 
Se llama Número Cardinal de un conjunto A a la 
clase de los conjuntos coordinables con A (es decir 
el número cardinal es una clase de equivalencia). 
Vulgarmente se acostumbra a señalar que el 
número cardinal, es el número de elementos del 
conjunto A y se denota como n(A) ó card(A) 
 
Ejemplo 03: 
A = 3, 6, 9, 12, 15 entonces n (A) = 5 
 
Número Ordinal 
Teniendo en cuenta una disposición de los 
elementos dentro del conjunto del cual forman 
parte, cada uno determina su número ordinal como 
el lugar que ocupa en el orden establecido. 
 
Notación: 
Ord (x) : número ordinal de x 
S = 7, a, , 13  ord (a) = 2, ord () = 3 
 
Aplicación III 
07. Dados los conjuntos: 
A = {x –1 / x es par, 2 < x ≤ 13} 
B = {2x / x ∈ Z, – 4 < x < 3} 
 
Calcule n(A)+n(B). 
 
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 
08. Dados los conjuntos 
 
A = {2x –1 / x ∈ Z+, 3 ≤ x < 8} 
B = {(2x –1) ∈ Z+ / 3 ≤ x < 8} 
 
Halle n(A)×n(B). 
 
A) 50 B) 25 C) 65 D) 75 E) 100 
 
Cuantificadores 
a. Universal: Se denota por “” y se lee “para 
todo” o “para cualquier” 
b. Existencial. Se denota por “” y se lee “existe 
por lo menos un” 
 
Aplicación IV 
09. Dado M={2; 3; 4; 5} señale la secuencia correcta 
de verdad (V) o falsedad (F). 
 
I. ∃ x ∈ M / 3x – 2 ≥ 3 
II. ∀ x ∈ M: 2x < 11 
III. ∀ x ∈ M: x+3 ≥ 6 
 
A) VVF B) VFF C) VFV D) FVF E) FVV 
 
10. Dado M={2; 3; 4; 5} indique la secuencia 
correcta de verdad (V) o falsedad (F). 
 
I. ∀ x ∈ M / 2x+1 < 11 
II. -∃x ∈ M: x+4 ≥ 8 
III. ∃ x ∈ M / ∀ y ∈ M: x+y > 5 
 
A) FVF B) VFF C) VFV D) FFV E) FVV 
 
Negación de los Cuantificadores 
 
(xA : P(x))   x A/ P(x) 
(xA / P(x))   x A:  P(x) 
 
Diagramas de Venn – Euler 
Es la representación geométrica de un conjunto 
mediante una región de plano limitado por una 
figura geométrica cerrada en cuyo interior se 
indican los “elementos” que forman el conjunto 
 
Diagrama (Lewis – Carroll) 
Su verdadero nombre es Charles-Dogston autor de 
“Alicia en el país de las Maravillas” utilizando un 
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lenguaje lógico – matemático utiliza el Diagrama en 
conjuntos disjuntos haciendo partición del universo. 
 
Ejemplo 04: 
H : Hombres 
M : Mujeres 
S : Solteros 
C : Casados 
F : Fuman 
 
 
Diagrama Lineal – Hasse 
Utiliza segmentos de línea y es utilizado en 
conjuntos transfinitos e infinitos. 
 
Ejemplo 05: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Diagrama Lineal Diagrama Hasse 
Relación de Inclusión () 
 
 
 
Se dice que un conjunto está incluido en un 
segundo conjunto, cuando todos los “elementos” 
del primero forman parte del segundo conjunto. 
 : “incluido o contenido” 
A  B: “A esta contenido en B” 
“A es subconjunto en B” 
“B contiene a A” 
 
A  B   x  A : x  A  x  B 
 
 
 
 
 
Observación: 
El vacío está incluído en cualquier conjunto. 
 
Conjuntos comparables 
Se dice que dos conjuntos son comparables cuando 
por lo menos uno de ellos está incluido en el otro. 
 
A  B  (A  B  A  B) v (B  A  B  A) 
 
 
Conjuntos Iguales 
Se dice que dos conjuntos son iguales cuando 
ambos poseen los mismos “elementos”. 
 
A = B  A  B  B  A 
 
Conjuntos Disjuntos o Ajenos 
Dos conjuntos se denominan disjuntos cuando no 
poseen ningún elemento en común 
Ejemplo 06: 
C = x / x es un hombre 
D = x / x es una mujer 
 C y D son disjuntos 
 
- Si dos conjuntos son disjuntos ambos serán 
diferentes. 
- Si dos conjuntos son diferentes entonces no 
siempre serán disjuntos. 
Ejemplo 07: 
E = 5, 2, a, b , F = 4, 3,c, d 
E y F son disjuntos  E  F 
 
G = 1, 3, c, d, 7, H = 2, 8, e, f, c 
G  H pero G y H no son disjuntos 
 
Conjuntos Coordinables o Equipotentes 
Dos conjuntos serán coordinables cuando se pueda 
establecer una correspondencia uno a uno entre 
todos y cada uno de los elementos del primer 
conjunto con los del segundo conjunto. A dicha 
correspondencia se le denomina biunívoca y como 
consecuencia de estos se tiene que las cardinales 
de estos conjuntos son iguales (si son finitos). 
Ejemplo 08: 
A = Lima, Caracas, Bogotá, Santiago 
B = Perú, Venezuela, Colombia, Chile 
 
Se observa que es posible establecer la 
correspondencia biunívoca: 
“.... es capital de ....” 
De ahí que A y B son coordinables, luego: n(A)=n(B) 
H M 
S 
C 
F 
Subconjunto  Conjunto 
 Conjunto  Conjunto 
C 
IR 
Q 
Q́ 
ZZ 
IN 
P 
IIm 
A 
B 
P 
C 
 IR 
Q Q́ 
ZZ 
IN 
 IIm 
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Aplicación V 
11. Si se sabe que el conjunto es singleton: 
 
A = {2a+b; 2b – a; 25} 
 
Calcule el valor de a×b. 
 
A) 45 B) 60 C) 70 D) 90 E) 75 
 
12. ¿Cuántos subconjuntos tiene el siguiente 
conjunto? 
A={2; 3; {2}; 3; {3; 2}; {2}; 3} 
 
A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64 
 
13. Determine cuántos subconjuntos binarios tiene 
A. 
A={x+2 / x ∈ Z+, x2 < 45} 
 
A) 24 B) 18 C) 16 D) 21 E) 15 
 
14. Dado el conjunto B={4; 6; 8; 4; 8; 4} indique la 
secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F). 
 
I. {8} ∈ P(B) … ( ) II. {6; 4} ⊄ P(B) … ( ) 
III. n[P(B)]=32 … ( ) IV. f ⊄ P(B) … ( ) 
V. {4; 4; 4; 4; 4} ⊂ P(B) … ( ) 
 
A) VFVVF B) FFVVF C) VVFFF 
D) VFFFV E) VFFVV 
 
Clases de Conjuntos 
Los conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la 
cantidad de elementos diferentes que poseen 
según esto tenemos: 
 
Finito: Si posee una cantidad limitada de 
“elementos” es decir el proceso de contar sus 
diferentes elementos termina en algún momento. 
 
Infinito: Si posee una cantidad ilimitada de 
“elementos”. 
 
Conjuntos Especiales 
1. Vacío o Nulo. Es aquel conjunto que carece de 
“elementos”. 
Notación ;  . 
 
2. Unitario o Singleton (singular) 
Es aquel cnjunto que tiene un solo elemento. 
B = x/x > 0  x² = 9 = 3 
 
Aplicación VI 
15. Dado el conjunto: 
 
M={3; {{7}}; 8; {9; 6}; 10; {{5}}} 
 
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son 
correctas? 
• {6} ⊂ M …( ) • f ⊂ M …( ) 
• {7} ⊄ M …( ) • {10; {5}} ⊂ M …( ) 
• {5} ⊄ M …( ) • {7; {{5}}} ⊄ M …( ) 
• {3; {7}} ⊂ M …( ) • {{5}} ⊄ M …( ) 
 
A) 3 B) 5 C) 7 D) 6 E) 4 
 
16. Dados los conjuntos: A={x ∈ N / 1 < x ≤ 9} y 












 
 50/
3
12
yZ
y
B , determine si las 
siguientes proposiciones son verdaderas (V) o 
falsas (F) y elija la secuencia correcta. 
 
I. ∃ x ∈ A / ∀ y ∈ B: x+y ≠ 5 
II. ∀ x ∈ A: ∃ y ∈ B / 2x+y=6 
III. ∀ x ∈ A: ∀ y ∈ B: x – y < 3 
 
A) VFV B) VVF C) VVV D) FVF E) VFF 
 
17. Los conjuntos B y C son iguales y el conjunto A 
es unitario. 
 
A={2a+3b+2; 30; 4b – 2} 
B={37; 3x; 16} 
C={2n+4; m2+1; 81} 
 
Calcule el valor de a×b+n×m+x; m ∈ Z+. 
 
A) 80 B) 64 C) 56 D) 40 E) 72 
 
18. Dados los conjuntos: 
A={a; b; c} y B={m2+1; –1; 5; n – 3; 2}, además, 
{m; n}, ⊂ Z, 3 < n < 8 y A y B son equipotentes. 
Calcule la suma de valores de m + n. Considere 
que a ≠ b ≠ c. 
 
A) 18 B) 16 C) 11 D) 20 E) 40 
 
19. Los conjuntos A y B son unitarios, donde: 
A = {3a+b –11; 4m – 4} y B = {5m+2n – 3; 4}. 
Determine el número de subconjuntos propios 
de C si C = {(– m)2; n; 3a+b; (– n)2} y {a; b; m; n} 
⊂ Z+. 
 
A) 7 B) 15 C) 1 D) 3 E) 31 
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20. Determine el número de subconjuntos de A. 
 
A = {x/√7x ∈ Z  27 < x −1 < 62} 
 
A) 8 B) 4 C) 1 D) 2 E) 0 
 
3. Universal: Es un conjunto referencial para el 
estudio de una situación particular, que 
contiene a todos los conjuntos considerados. 
No existe un conjunto universal absoluto y se le 
denota generalmente por U. 
 
4. Conjunto de Conjuntos: También se le 
denomina familia de conjuntos o clase de 
conjuntos y es aquel conjunto cuyos elementos 
son todos conjuntos. 
 
Ejemplo 09: 
C = 2,3, 3, a, 6,b,  
D = a,b,c, 2,3,6, 6, c, 8 
Se observa que: 
C es familia de conjuntos 
D no es familia de conjuntos 
 
5. Potencia 
El Conjunto de Potencia de A, llamado también 
“Conjunto de Partes de A”, es aquel que está 
formado por todos los subconjuntos posibles 
que posee el conjunto A. 
Notación: P(A) 
 
Ejemplo 10: 
Sea A = x,y 
P(A) = , x, y, x,y n (P(A)) = 4 
* Los subconjuntos , x, y son 
denominados propios. 
 
Nº subconj. = n (P(A)) = 2n(A) 
 A 
 
 
 Nº subconj. = 2n(A) - 1 
 Propios A 
 
 
6. Par Ordenado 
Es un conjunto de 2 elementos para los cuales 
se considera el orden en que están indicados. 
Notación (a, b) 
Se lee “par ordenado a, b” 
a: 1º componente 
b: 2º componente 
(a,b) = (c,d)  a = c  b = d 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
01. Dado el conjunto A={8; 12; {5; {3}}; {8}; {1; 2}}, 
¿cuántas de las siguientes proposiciones son 
correctas? 
I. 2 ∉ A …( ) II. {3; 5} ∈ A …( ) 
III. {8} ∈ A …( ) IV. {2; 2; 2; 1} ∈ A …( ) 
V. {12} ∈ A …( ) VI. {1; 5} ∉ A …( ) 
VII. 5 ∈ A …( ) 
 
A) 4 B) 5 C) 3 D) 6 E) 2 
 
02. Determine la suma de los elementos de B. 
 
B = {(2x+1) ∈ N / – 8 ≤ 3x < 21} 
 
A) 91 B) 150 C) 82 D) 105 E) 120 
 
03. Dado el siguiente conjunto, determine la suma 
de los elementos de M. 
 
M = { 
2
22 x / x ∈ N  4 ≤ 
5
34 x < 8} 
 
A) 160 B) 162 C) 185 D) 176 E) 168 
 
04. Dados los conjuntos: 
A = {a/a ∈ N ∧ 6 < a ≤ 19} 
B = {2b / b ∈ Z ∧ –1 ≤ 2b+1 < 9} 
C = { 




 
3
12c ∈ N/ 2 < c < 9 } 
Calcule n(A)+n(B)+n(C). 
 
A) 20 B) 22 C) 18 D) 19 E) 23 
 
05. Dados los conjuntos: 
A = 












 
1915/
2
13
xN
x 
B = 












  )(4/
2
AnxAxZ
n 
 
Calcule la suma de los elementos de B. 
 
A) 36 B) 41 C) 37 D) 39 E) 43 
 
06. Sean los conjuntos: 
A =   129616/2 2  nZn 
B = {(3m–2) ∈ A / 4 ≤ 4m+3 ≤ 17} 
M. Loyola
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M. Loyola
Máquina de escribir
V
M. Loyola
Máquina de escribir
F
M. Loyola
Máquina de escribir
F
M. Loyola
Máquina de escribir
F
M. Loyola
Máquina de escribir
V
M. Loyola
Máquina de escribir
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M. Loyola
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M. Loyola
Máquina de escribir
n
M. Loyola
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Calcule el valor de n(A)×n(B). 
 
A) 20 B) 32 C) 30 D) 48 E) 40 
 
07. Determine por compresión el siguiente 
conjunto. 
C={2; 6; 12; 20; ...; 420} 
 
A) C={n(n+1)/ n ∈ Z ∧ 1 ≤ n < 20} 
B) C={(n+1)(n+2) / n ∈ Z+ ∧ 0 ≤ n ≤ 18} 
C) C={n(n –1) / n ∈ Z ∧ 0 ≤ n ≤ 20} 
D) C={(n+1)(n+2) / n ∈ Z+ ∧ 1 ≤ n < 20} 
E) C={n(n+1) / n ∈ Z ∧ 0 < n < 21} 
 
08. Se cumple que: 

9:4:3:2:1:
9494
x
oxxxxZx   
Determine la suma de los elementos de M. 












 
 117/
3
14
nnN
n
M 
 
A) 45 B) 55 C) 48 D) 50 E) 60 
 
09. Dados los conjuntos: 













 85/
2
xxN
x
A 
 












 

2
)(/
3
12
AnxN
x
B 
Calcule el valor de n(A)+n(B). 
 
A) 8 B) 9 C) 12 D) 6 E) 7 
 
10. Sean los conjuntos: 












 
  19/
5
13 2xZx
x
A 












 
  19/
5
13 2xZxZ
x
B 












 
  191/
5
13
xZ
x
C 
Calcule n(A)+n(B)+n(C). 
 
A) 15 B) 19 C) 20 D) 24 E) 18 
 
 
11. Respecto a los siguientes conjuntos, señale lo 
correcto. 
 
    501/1  xNxxM 












 
 132/
3
12
nZ
n
N 
 
A) n(M)+n(N)=15 
B) M y N son disjuntos 
C) M y N son comparables 
D) M y N son equipotentes 
E) n(P(M))=64 
 
12. Si A={2; {4}; {{7; 9}}; φ}, ¿cuántas de las 
siguientes proposiciones son correctas? 
 
• 4 ∈ A …( ) • 7 ∉ A …( ) 
• f ∈ A …( ) • {2} ∈ A …( ) 
• {2; f} ⊂ A …( ) • f ⊂ A …( ) 
• {A} ⊂ A …( ) • {{{7; 9}}} ⊂ A …( ) 
• {2; 7; f} ⊄ A …( ) 
 
A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 7 
 
13. Determine si las siguientes proposiciones son 
verdaderas (V) o falsas (F) y elija la secuencia 
correcta. 
 
I. Si A={{3}; {8}}, entonces {3; 8} ⊂ P(P(A)). 
II. Si A={f}, entonces A ⊂ P(A); P(A) es la potencia 
de A. 
III. {f} es el conjunto vacío. 
 
A) FVF B) VVV C) VFV D) VVF E) VFF 
 
14. Sean los siguientes conjuntos, indique la 
secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). 
A={x ∈ N / 0 < x < 8} 
B={y ∈ N / 0 < y < 7} 
 
I. ∃ x ∈ A / ∀ y ∈ B: x+y ≠ 8 
II. ∀ x ∈ A: ∃ y ∈ B / x+y=5 
III. ∃ x ∈ A / ∀ y ∈ B: x+y > 6 
IV. ∀ x ∈ A: ∃ y ∈ B / xy ≠ 0 
 
A) VFFF B) VFVF C) FVFV 
D) VVVF E) VFVV 
M. Loyola
Resaltar
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Rectángulo
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F)25
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Rectángulo
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F)16
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Máquina de escribir
n(A)=4
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n(B)=1
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n(C)=11
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F
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V
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F
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V
M. Loyola
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V
M. Loyola
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V
M. Loyola
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M. Loyola
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V
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F
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V
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V
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F
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V
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V
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