01_Complemento teórico de Límite

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Límites de funciones reales 
Definición: Sea 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 ; sea 𝑓 una función real definida en 𝑎, 𝑏 , salvo quizás en 𝑥0, y 
sea ℓ ∈ ℝ. Decimos que 𝑓 𝑥 tiende a ℓ cuando 𝑥 tiende a 𝑥0, o que 𝑓 𝑥 tiene límite ℓ 
cuando 𝑥 tiende a 𝑥𝟎 si se verifica: 
C alq ie a ea 𝜀 0, existe 𝛿 0 (que depende de 𝑥0 y de 𝜀) tal que, 
si 0 |𝑥 𝑥0| 𝛿, entonces |𝑓 𝑥 ℓ| 𝜀. 
En ese caso escribimos 
lím
→
𝑓 𝑥 ℓ 
e e lee: el l mi e de 𝑓 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑥0 es igual a ℓ . 
Observación: De ahora en adelante, cada vez que escribamos lím
→
𝑓 𝑥 ℓ entenderemos 
que el límite en cuestión existe y que el valor del límite es ℓ. 
Para comprender el concepto de límite, lo primero que debe quedar claro es que no importa 
qué le sucede a la función en 𝑥0, lo in e e a oc e ce ca de 𝑥0. Más aún, la función 
podría no estar definida en 𝑥0. Para ver qué ocurre cerca, se estudian los límites laterales, es 
decir que sólo consideramos valores de 𝑥 ce ca de 𝑥0 pero mayores que 𝑥0 
(geom icamen e po la de echa del 𝑥0) y menores que 𝑥0 (geom icamen e po la 
i ie da del 𝑥0). Es decir: 
Límite por derecha: lím
→
𝑓 𝑥 
Límite por izquierda: lím
→
𝑓 𝑥 
Proposición 1: Sean 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 , ℓ ∈ ℝ y 𝑓 una función real definida en 𝑎, 𝑏 salvo quizás 
en 𝑥0. Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes: 
x lím
→ 
𝑓 𝑥 ℓ 
x lím
→
𝑓 𝑥 ℓ lím
→
 𝑓 𝑥 
Proposición 2: Si 𝑓 𝑥 toma valores positivos cada vez más grandes a medida que 𝑥 se 
acerca 𝑥0 por derecha (es decir lím→ 𝑓 𝑥 ∞); y si 𝑓 𝑥 es cada vez más grande en valor 
absoluto pero negativos a medida que 𝑥 se acerca 𝑥0 por izquierda, diremos entonces que el 
límite de 𝑓 𝑥 es simplemente ∞ (infinito) cuando 𝑥 tiende a 𝑥0, y escribiremos: 
lím
→
 𝑓 𝑥 ∞ 
Análogamente si 𝑓 𝑥 es cada vez más grande en valor absoluto pero negativos a medida 
que 𝑥 se acerca 𝑥0 por derecha; y si 𝑓 𝑥 toma valores positivos cada vez más grandes a 
medida que 𝑥 se acerca 𝑥0 por izquierda. 
Veamos un ejemplo de lo visto en la Proposición 2: Consideremos la función real ℎ dada 
por ℎ 𝑥 1, notemos que el 𝐷𝑜𝑚 ℎ ℝ 0. Estudiemos qué sucede con la función a 
medida que 𝑥 se acerca a 0. 
El gráfico de ℎ es: 
 
Podemos observar que a medida que 𝑥 se acerca a 0 los valores ℎ 𝑥 se hacen cada vez más 
grandes positivos si 𝑥 0, y cada vez más grandes en valor absoluto pero negativos si 
𝑥 0, es decir: 
lím
→0
 1 ∞ y lím
→0
 1 ∞ 
Por la Proposición 2 se tiene: 
lím
→0
 
1
𝑥
 ∞ 
Indeterminaciones 
Hasta aquí vimos las determinaciones del tipo ∞
∞
 y 1∞. Una nueva indeterminación con la 
que vamos a trabajar es la del tipo 0
0
. 
Veamos un ejemplo con esta indeterminación: 
lím
→ 0
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
 
Realizando el cálculo de los límites del numerador y del denominador se tiene: 
x lím
→0
 𝑠𝑒𝑛 𝑥 0 
x lím
→0
 𝑥 0 
Notamos que es una indeterminación de la forma 0
0
. Mediante cuentas relativamente sencillas, 
se puede demostrar que el lím
→0 
1, de donde obtenemos que 
lím
→ 0
 1 y resulta la siguiente propiedad: 
lím
→ 0
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
 1 
Yop
Yop
Bibliografía:
Aragón, A., Pinasco, J., Schifini, C., Varela, A. (2007). 
Yop
Introducción a la matemática para 
Yop
 el Primer Ciclo Universitario. 
Yop
 Buenos Aires: Universidad Nacional de General Sarmiento.