Relaciones-Métricas-en-Triangulos-Oblicuangulos-para-Cuarto-de-Secundaria

Vista previa del material en texto

www.RecursosDidacticos.org 
 
 
R. MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS 
OBLICUÁNGULOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PROYECCIONES EN TRIÁNGULOS 
 
1. 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TEOREMA DE EUCLIDES 
 
 
Primer Teorema.- ............................ 
 ................................................ 
 ................................................ 
 
 
 
 
 
 
 
Segundo Teorema.- .......................... 
 ................................................ 
 ................................................ 
 
 
 
 
 
 
 
 TEOREMA DE HERÓN 
 
 ................................................ 
 ................................................ 
 ................................................ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TEOREMA DE LA MEDIANA 
 
 ................................................ 
 ................................................ 
 ................................................ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
H C 
D 
AH = proyección de ______ 
HC = Proyección de _______ 
A C 
B 
D 
BD = proyección de ______ 
DC = Proyección de _______ 
A H M C 
B 
HM = proyección de ______ 
m 
b 
H 
c a 


Si:   90º 
 a2 = b2 + c2 - 2b . m 
a b 
h 
c 
h = )cP)(bP)(aP(P
c
2
 
P  Semiperímetro 
P = 
2
cba 
 
a b 
m 
c/2 c/2 
a2 + b2 = 2m2 + 
2
c2
 
c 
m b 
a 
c 

Si: 90º 
  a2 = b2 + c2 + 2b.m 
www.RecursosDidacticos.org 
 
 
 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 
 
NIVEL I 
 
1. Del gráfico, calcular “x” 
 
a) 1,5 
b) 0,75 
c) 2,25 
d) 2,75 
e) 1,25 
 
2. Del gráfico, calcular “m” 
 
a) 1 
b) 1,5 
c) 0,5 
d) 0,25 
e) 0,75 
 
3. Del gráfico, si PQ = 10 cm. QR = 17cm y PR = 21cm 
Calcular “QH” 
 
a) 8cm 
b) 9 
c) 6 
d) 7 
e) 4 2 
 
4. En el triángulo ABC: AB = 6 , BC = 8 y AC = 12; 
Hallar: BM 
 
a) 11 
b) 13 
c) 15 
d) 14 
e) 17 
 
5. Los lados de un triángulo miden 5, 6 y 7. Hallar la 
longitud de la altura intermedia. 
 
a) 2 5 b) 2 6 c) 3 2 
d) 6 e) 6 6 
 
NIVEL II 
 
6. En un triángulo ABC, AB = 2, BC = 6 y AC = 5. 
Calcular de AB sobre AC 
 
a) 0,4 b) 0,5 c) 0,6 
d) 0,7 e) 0,8 
 
7. Si: OA = 10, AB = 9 y OB = 17 
Calcular R (T es punto de tangencia) 
 
 
a) 6 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 5 
 
8. Si: AB = 5 , BC = 7 y AD = 6; Calcular CD. 
 
a) 30 
b) 2 15 
c) 2 30 
d) 2 15 
e) 4 11 
 
9. En un triángulo ABC, AB = 3, BC = 5 y AC = 6. 
Calcular la longitud de la mediana relativa a AC 
 
a) 2 b) 2 2 c) 3 
d) 2 3 e) 5 
 
10. En un triángulo ABC se sabe que: a2 + b2 = 3c2. 
Siendo CM la mediana relativa a AB . Hallar : 
C
CM
 
 
a) 
2
3
 b) 
2
5
 c) 
4
7
 
d) 
3
3
 e) 
3
5
 
 
NIVEL III 
 
11. Dado el triángulo cuyos lados miden: 13, 14 y 15. 
Calcular el menor ángulo interior del triángulo. 
 
a) 37º b) 45º c) 60º 
d) 53º e) 30º 
 
12. En un triángulo ABC, se cumple: a2 = b2 + c2 + bc. 
Hallar: m∢BAC 
 
a) 120º b) 135º c) 127º 
d) 143º e) 105º 
 
13. En un triángulo isósceles ABC: AB = C y BC = AC = m. 
Hallar la proyección de AB sobre AC 
 
a) 
c
m2
 b) 
c
m2 2
 c) 
m
c2
 
d) 
m
c2 2
 e) 
m2
c2
 
 
14. En un romboide sus lados miden: 4 y 6 además una 
de sus diagonales mide 9. Calcular la longitud de la 
otra diagonal. 
 
a) 21 b) 23 c) 29 
d) 52 e) 63 
 
6 9 
 
x 
10 
m 
2 
4 
3 
Q 
 
H 
R P 
A 
M C 
 B 
O 
R 
T A B 
A 
B 
D 
C 
www.RecursosDidacticos.org 
 
 
15. Las bases de un trapecio miden 10 y 24 y los lados 
laterales 13 y 15. Calcular la longitud de la altura del 
trapecio. 
 
a) 12 b) 10 c) 11 
d) 8 e) 14 
 
 
TAREA DOMICILIARIA 
 
1. En el triángulo mostrado, hallar la longitud de la 
altura que no es mayor ni menor. 
 
a) 10 
b) 12 
c) 14 
d) 6 
e) 8 
 
2. En el triángulo mostrado, calcular x siendo: 
AB = 8 2 ; BC = 10 y AC = 14 
 
a) 6 
b) 8 
c) 2 
d) 2 
e) 2 3 
 
3. Calcular “m” 
 
a) 5 
b) 6 
c) 4 
d) 7 
e) 3 
 
4. Calcular “h” 
 
a) 15
2
3
 d) 15
3
2
 
b) 15
4
3
 e) 15
3
4
 
c) 15
8
3
 
 
5. En el triángulo ABC: AB = 14, BC = 6 y AC = 10. 
Calcular la proyección de BC sobre AC. 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
6. Calcular la menor mediana de un triángulo cuyos 
lados miden 5, 7 y 8 
 
a) 13 b) 15 c) 17 
d) 
2
13
 e) 21 
7. Calcular la menor altura de un triángulo cuyos lados 
miden 17, 25 y 28 
 
a) 12 b) 13 c) 14 
d) 15 e) 16 
 
8. Si los lados de un romboide miden 2 y 3. Calcular la 
suma de los cuadrados de las longitudes de las 
diagonales. 
 
a) 22 b) 26 c) 34 
d) 49 e) 52 
 
9. El triángulo cuyos lados miden 12, 16 y 25 se puede 
clasificar como: 
 
a) Acutángulo b) Rectángulo c) Obtusángulo 
d) Isósceles e) No existe el ∆ 
 
10. En un triángulo ABC, la mediana BM y la bisectriz 
interior AF son perpendiculares. Hallar BM, si : 
AB = 6 y BC = 8 
 
a) 13 b) 14 c) 15 
d) 32 e) 4 
 
11. En un romboide ABCD 
AB = 3 , AD = 5 y AC = 7. Hallar :m∢A 
 
a) 90º b) 120º c) 75º 
d) 60º e) 45º 
 
12. En la figura ABCD es un cuadrado “M” es punto 
medio de AB . Calcular PM. Si: CP = 1 y PD = 2 
 
a) 
2
35
 d) 
2
41
 
b) 
2
37
 e) 
2
43
 
c) 
2
39
 
 
13. Calcular “x”, si : AB = 34 ; BC = 50 y AC = 56. 
BM = MC 
 
a) 15 d) 25 
b) 17 e) 27 
c) 21 
 
14. En un trapecio los lados no paralelos miden 3 y 5. 
Calcular la distancia entre los puntos medios de las 
bases si estas miden 4 y 10. 
 
a) 2 b) 2 2 c) 3 
d) 2 3 e) 5 
 
15. En el gráfico: AD = 14, DC = 6 y AC = 10. Hallar EC. 
 
a) 29 
b) 2 5 
c) 3 15 
d) 30 
e) 2 15 
14 
13 
15 
B 
 
H 
A C 
x 
7 9 
m 
14 
4 
A 
8 
6 
h 
B 
A C 
M 
B 
A D 
P 
C 
x 
A 
B 
C 
M 
D 
B A 
C 
E