PL Taller 1

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Universidad de Córdoba
Facultad de Ingenieŕıa de Sistemas
Programación Lineal
Ejercicios de Optimización
Autor:
Dilan Ortega Pinzón
Sebastián Ricardo Cárdenas
Roosevelt Daniel Santos Vanegas
Mayo 2022
1. Una Empresa especializada en la fabricación y distribución de dispositivos NFC, los producen de distintas
formas, anillos con tecnoloǵıa NFC con una fabricación de 12$ con precio de venta de 15$ y tags básicas en
5$ y se venden en 10$. Se dispone de 1000$ para la fabricación de todos. En todos los casos se usa cierta
cantidad de cobre para la fabricación del chip, para los anillos y tags se usan 8gr y 5gr respectivamente y
solo se dispone de 1500gr de cobre para la fabricación. ¿Que tanta cantidad de dispositivos NFC se deben
fabricar para maximizar las ganancia?
Variables: X1 → Cantidad de anillos NFC
X2 → Cantidad de tags NFC
Función Objetivo ⇒ Zmax = 15x1 + 10x2
Recursos
Variables
x1 x2
Disponibilidad
Cobre (gr) 8 5
12 5
1500
Dinero ($) 1000
Inecuaciones:
1)8x1 + 5x2 ≤ 1500
2)12x1 + 5x2 ≤ 1000
x1, x2 ≥ 0
Resolvemos:
1)x2 ≤
1500− 8x1
5
2)x2 ≤
1000− 12x1
5
Ahora procedemos a graficar:
Procedemos a calcular los vértices: como tenemos 1 sola gráfica hallamos sus puntos de corte con los ejes:
Para x1 = 0
12(0) + 5x2 ≤ 1000
x2 = 200
Para x2 = 0
12x1 + 5(0) ≤ 1000
x1 =
250
3
Tenemos los puntos : (0, 200), (
250
3
, 0)
Ahora, se determina el vector: v(−B,A) con los coeficientes de la función objetivo: Zmax = 15x1 + 10x2,
el vector queda de la siguiente forma: v(-10,15)
1
0
-x x
v(-10,15)
La solución gráfica es (0, 200)
Ahora comprobamos:
Puntos Resultado
( 2503 , 0) 1250
(0, 200) 2000
Finalmente, la cantidad optima de fabricacion para obtener más ganancias es que se deben fabricar 200
tags NFC y 0 anillos
2
2. En una fábrica de productos domésticos se producen 2 tipos de placa base de computadores el A 
y el B, de los cuales para el A se necesitan 20kg de materia prima, para el B serian 40kg de materia 
prima, disponiendo de una cantidad de 5tons, se gastan 100$ y 80$ por placa base respectivamente 
teniendo en cuenta que se dispone de 6000$. Se desea minimizar el gasto de dinero al producir las 
placas base 
 
Definimos variables. 
1. 𝑥1 = Placa base A 
2. 𝑥2 = Placa base B 
FO definimos el tipo de ecuación 
𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 100𝑥1 + 80𝑥2 
Tabla de comprensión de recursos 
RECURSOS VARIABLES 
X1 X2 
 
DISPONIBILIDAD 
Dinero 100$ 80$ 
 
6000$ 
Materia prima 20kg 40kg 
 
5000kg 
 
Establecimiento de las inecuaciones
100𝑥1 + 80𝑥2 ≤ 6000 
20𝑥1 + 40𝑥2 ≤ 5000 
No nulidad 
𝑥1 𝑦 𝑥2 ≥ 0 
Despejamos las inecuaciones 
𝑥2 =
6000 − 100𝑥1
80
 
Siguiente 
𝑥2 =
5000 − 20𝑥1
40
 
 
 
 
 
Procedemos a buscar los puntos de corte, en esta ocasión solo tenemos una gráfica, entonces 
proseguimos a encontrar estos puntos que se cruzan con los ejes. 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥1 = 0 
100(0) + 80𝑥2 ≤ 6000 
80𝑥2 ≤ 6000 
𝑥2 ≤
6000
80
= 75 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥2 = 0 
100𝑥1 + 80𝑥2 ≤ 6000 
100𝑥1 + 80(0) ≤ 6000 
100𝑥1 ≤ 6000 
𝑥1 ≥
6000
100
= 60 
Ahora teniendo los puntos ya formados con nuestras dos inecuaciones podemos decir punto A 
(0,75) B (60,0). 
Al tener estos puntos, procedemos a buscar el vector (-B, A) con los coeficientes de nuestra 
ecuación objetivo de minimización 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 100𝑥1 + 80𝑥2. El vector queda de la siguiente 
forma (-80,100) al simplificar podemos denotarlo como (-8,10). 
 
 
Debido a la pendiente del vector y la gráfica son igual, no tenemos una solución concreta ya que 
ambos puntos de corte cumplen con el método del vector al moverlo hacia dichos puntos. 
Ahora comprobemos los dos puntos con nuestra 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 100𝑥1 + 80𝑥2 para saber 
exactamente cuál sería el mínimo. 
Puntos Resultado 
(0,75) 7500 
(60,0) 4800 
 
Finalmente, la solución óptima para minimizar los gastos de fabricación de las placas base seria de 
60 placas tipo A y 0 de tipo B. 
3. Una empresa de procesamiento de datos posee 2 super computadoras para dicho trabajo, la 
PC1 y PC2. Para procesar 1TB de información, la PC1 demora 120 minutos Mientras que la PC2 se 
demora 80 Minutos Cada TB de información procesada por PC1 cuesta a 50$ y deja un beneficio 
de 150$ y por PC2 un gasto de 70$ y un beneficio de 200$ 
La empresa solo cuenta con 1000 minutos diarios para procesamiento de datos y cuenta con 900$ 
diarios para procesamiento. 
 
¿Qué PCs deberían ser usadas para maximizar el beneficio? 
Organizamos los datos. 
 PC1 PC2 Disponible 
Tiempo 120m 80m 1000 
Costo 50 70 900 
Beneficio 150 200 
 
Nombramos las variables: 
X1 = TB procesados por PC1 
X2 = TB procesados por PC2 
Función objetivo a maximizar 
Max Z = 150x1 + 200x2 
Inecuaciones: 
120𝑥1 + 80𝑥2 ≤ 1000 
50𝑥1 + 70𝑥2 ≤ 900 
150𝑥1 + 200𝑥2 ≥ 0 
Resolvemos: 
𝑥2 ≤
1000 − 120𝑥1
80
 
𝑥2 ≤ 
900 − 50𝑥1 
70
 
 
 
 
Hallamos los puntos de corte con los ejes: 
Para X1 = 0 
120(0) + 80𝑥2 ≤ 1000 
𝑥2 =
1000
80
=
25
2
 
 
Para x_2 = 0 
120𝑥1 + 80(0) ≤ 1000 
𝑥1 =
1000
120
=
25
3
 
Determinamos el vector: 𝑣(−𝐵, 𝐴) 
 𝑍 = 150𝑥1 + 200𝑥2 
𝑉(−200,150) 
 
La solución grafica es: (0,
25
2
) 
Comprobamos; 
 𝑍 = 150(
25
3
) + 200(0) = 1250$ 
 𝑍 = 150(0) + 200(
25
2
) = 2500$ 
 
En conclusión, se deberían procesar 12,5TB de información con la PC2 y 0 TB de información con la 
PC1 para maximizar los beneficios para así obtener una ganancia de 2500$ con la PC2 en lugar de 
1250 con la PC1