Respuestas - PRIMER PARCIAL MATEMATICA 51 PRIMER TURNO TEMA 4 03-05-2023

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MATEMÁTICA (51) Cátedra A: NUÑEZ, MYRIAM 
1° PARCIAL 
 
 
 
03/05/2023 TEMA 4 
 Hoja 1 de 4 
 
 
 
Tabla de uso exclusivo para el docente 
 1 2 3 4 
 
Puntaje de cada 
ejercicio 2,50 2,50 2,50 2,50 
Duración del examen: 1h 40’. Completar los datos personales con letra clara, mayúscula e imprenta. 
No se aceptarán respuestas en lápiz. 
 
1. Hallar los valores de 𝒙 ∈ ℝ, tal que 
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
< 𝟎. Siendo 𝒇(𝒙) = √𝒙 𝒚 𝒈(𝒙) = −𝒙 + 𝟑 
 
(Tema: Inecuaciones) 
Teniendo en cuenta la inecuación pedida: 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
< 0 
Para que esta división sea menor a cero debe ocurrir que el numerador y el denominador tengan distinto signo. Esto 
ocurre si 𝑓(𝑥) > 0 𝑦 𝑔(𝑥) < 0 , o bien si 𝑓(𝑥) < 0 𝑦 𝑔(𝑥) > 0. 
Planteando estas posibilidades: 
 
𝑓(𝑥) > 0 𝑦 𝑔(𝑥) < 0 
√𝑥 > 0 𝑦 − 𝑥 + 3 < 0 
 3 < 𝑥 
En el caso de √𝑥, debemos hacer la salvedad que los 
valores posibles de la variable están en el intervalo 
[0; +∞). Luego, el resultado va a ser siempre mayor 
a cero, salvo cuando x es cero. 
Entonces: 
√𝑥 > 0 𝑦 − 𝑥 + 3 < 0 
 𝑥 > 0 y 3 < 𝑥 
(0; +∞) 𝑦 (3; +∞) 
El resultado de la intersección de estos intervalos es 
el intervalo: 
𝑆1 = (3; +∞) 
 
o 𝑓(𝑥) < 0 𝑦 𝑔(𝑥) > 0 
√𝑥 < 0 𝑦 − 𝑥 + 3 > 0 
 3 > 𝑥 
La raíz cuadrada de un número nunca va a dar menor a 
cero, por ende: 
√𝑥 < 0 𝑦 − 𝑥 + 3 > 0 
 3 > 𝑥 
∅ 𝑦 (−∞; 3) 
El resultado de la intersección de estos intervalos es el 
intervalo: 
𝑆2 = ∅ 
 
 
 
La unión de las soluciones S1 y S2 da como resultado: 
𝑆 = (3; +∞) 
 
 
 
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Hoja 2 de 4 
 
2. Hallar 𝒇−𝟏(𝒙) tal que 𝒇(𝒙) =
𝟐𝒙−𝟏
𝒙−𝒌
 , si: 𝒇−𝟏(𝟒) = −𝟐 con 𝒌 ∈ ℝ. 
Para la realización de este ejercicio, recomendamos ver apuntes de: Función inversa 
Para hallar la función inversa de 𝑓(𝑥), como nos dan de dato que 𝑓−1(4) = −2, basta con encontrar la imagen 
de 𝑓(𝑥), ya que la misma será el dominio de 𝑓−1(𝑥). 
Al despejar la “𝑥” de la función 𝑓, y realizando un cambio de variables (intercambiamos a cada “y” por “x” y la “x” 
por “y”), lograremos encontrar dicha función inversa: 
𝑦 =
2𝑥 − 1
𝑥 − 𝑘
 
𝑦 . (𝑥 − 𝑘) =
2𝑥−1
𝑥−𝑘
 . (𝑥 − 𝑘) multiplicamos miembro a miembro por (𝑥 − 𝑘), con 𝑥 ≠ 𝑘 
𝑦 . (𝑥 − 𝑘) = 2𝑥 − 1 
𝑦𝑥 − 𝑦𝑘 = 2𝑥 − 1 
𝑦𝑥 − 2𝑥 = −1 + 𝑦𝑘 
𝑥 . (𝑦 − 2) = 𝑦𝑘 − 1 
𝑥 =
𝑦𝑘 − 1
𝑦 − 2
 
Realizando el cambio de variables que mencionamos anteriormente, nos quedará: 
𝑦 =
𝑘𝑥 − 1
𝑥 − 2
 
Es decir que, la función inversa es: 
𝑓−1(𝑥) =
𝑘𝑥−1
𝑥−2
 (Con 𝑥 ≠ 2) 
Sabemos que 𝑓−1(4) = −2, si reemplazamos 4 en la función inversa hallada obtendremos: 
𝑓−1(4) =
𝑘. 4 − 1
4 − 2
 
𝑓−1(4) =
4𝑘 − 1
2
 
Como 𝑓−1(4) = −2 y a su vez, 𝑓−1(4) =
4𝑘−1
2
 . Podemos igualar ambas expresiones: 
4𝑘 − 1
2
= −2 
Despejando, obtendremos: 
4𝑘 − 1 = −2 . 2 
4𝑘 − 1 = −4 
4𝑘 = −4 + 1 
4𝑘 = −3 
𝑘 = −
3
4
 
Finalmente, reemplazamos el valor de k hallado en 𝑓−1(𝑥), obtendremos: 
𝑓−1(𝑥) =
−
3
4 𝑥 − 1
𝑥 − 2
 
Que, a su vez, puede expresarse como: 
𝑓−1(𝑥) =
−3𝑥 − 4
4𝑥 − 8
 
 
 
 
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Hoja 3 de 4 
 
 
3. Calcular los valores de 𝜶 y 𝜷, para que los polinomios 𝑷(𝒙) y 𝑸(𝒙) sean iguales, donde, 
𝑷(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑 y 𝑸(𝒙) = (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝜶)(𝒙 + 𝜷) 
 
Si los polinomios son iguales, tienen coeficientes iguales para los términos del mismo grado. 
Desarrollemos 𝑸(𝒙) aplicando propiedad distributiva del producto respecto de la suma: 
𝑸(𝒙) = (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝜶)(𝒙 + 𝜷) 
𝑸(𝒙) = (𝒙𝟐 + 𝜶𝒙 − 𝟑𝒙 − 𝟑𝜶)(𝒙 + 𝜷) 
𝑸(𝒙) = (𝒙𝟑 + 𝜷𝒙𝟐 + 𝜶𝒙𝟐 + 𝜶𝒙𝜷 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝜷 − 𝟑𝜶𝒙 − 𝟑𝜶𝜷) 
𝑸(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐(𝜶 − 𝟑 + 𝜷) + 𝒙(𝜶𝜷 − 𝟑𝜷 − 𝟑𝜶) − 𝟑𝜶𝜷 
 
Por lo tanto deben ser: 
𝟐𝒙𝟑 = 𝒙𝟑 
−𝟕𝒙𝟐 = (𝜶 − 𝟑 + 𝜷) 𝒙𝟐 
𝟐𝒙 = ( 𝜶𝜷 − 𝟑𝜷 − 𝟑𝜶)x 
𝟑 = −𝟑𝜶𝜷 
 
En la primera ecuación, que corresponde a los términos de grado 3, vemos que debería ser 2=1, lo cual es 
absurdo. Por lo tanto, ningún valor de 𝛼 y 𝛽, harán posible que los polinomios 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) sean iguales. 
 
 
 
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Hoja 4 de 4 
 
 
4. Hallar, si existen, las asíntotas vertical y horizontal de 𝒇(𝒙) =
𝒙𝟑−𝟑
𝒙𝟑−𝒙
 . 
Para realizar un estudio de las asíntotas de una función es fundamental determinar el dominio de la 
misma. En el caso de la función 𝒇 , al ser un cociente, debemos analizar para qué valores se anula el 
denominador: 
𝒙𝟑 − 𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝒙(𝒙𝟐 − 𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) = 𝟎 
Para factorizar el denominador primero sacamos factor común y luego escribimos la diferencia de 
cuadrados en forma factorizada. La expresión tendrá como resultado 𝟎 si alguno de los factores es 𝟎, por 
lo tanto los valores que anulan el denominador serán: 
𝒙 = 𝟎 ∨ 𝒙 = −𝟏 ∨ 𝒙 = 𝟏 
Por lo tanto: 
𝑫𝒐𝒎(𝒇) = ℝ − {−𝟏, 𝟎, 𝟏} 
Estos valores excluidos del dominio pueden ser los que correspondan a las asíntotas verticales, para 
determinar si lo son debemos evaluar el límite de la función cuando la variable se aproxima a dichos 
valores. 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→−𝟏
𝒇(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→−𝟏
𝒙𝟑 − 𝟑
𝒙𝟑 − 𝒙
= ∞ ⟹ 𝒙 = −𝟏 𝒆𝒔 𝑨𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 
Cuando la variable toma valores cercanos a −𝟏, el numerador se aproxima a −𝟒 y el denominador a 𝟎, 
por lo tanto la función toma valores infinitamente grandes en valor absoluto. 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝒇(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝒙𝟑 − 𝟑
𝒙𝟑 − 𝒙
= ∞ ⟹ 𝒙 = 𝟎 𝒆𝒔 𝑨𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 
Cuando la variable toma valores cercanos a 𝟎, el numerador se aproxima a −𝟑 y el denominador a 𝟎, por 
lo tanto la función toma valores infinitamente grandes en valor absoluto. 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏
𝒇(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏
𝒙𝟑 − 𝟑
𝒙𝟑 − 𝒙
= ∞ ⟹ 𝒙 = 𝟏 𝒆𝒔 𝑨𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 
Cuando la variable toma valores cercanos a 𝟏, el numerador se aproxima a −𝟐 y el denominador a 𝟎, por 
lo tanto la función toma valores infinitamente grandes en valor absoluto. 
Para analizar si la función tiene asíntota horizontal debemos evaluar el límite de la función cuando la 
variable toma valores infinitamente grandes en valor absoluto. 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒇(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒙𝟑 − 𝟑
𝒙𝟑 − 𝒙
 
Tanto numerador como denominador toman valores infinitamente grandes en valor absoluto, por lo tanto 
se presenta una indeterminación que debemos resolver, para ello dividimos numerador y denominador 
por 𝒙𝟑 : 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒙𝟑 − 𝟑
𝒙𝟑 − 𝒙
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒙𝟑 − 𝟑
𝒙𝟑
𝒙𝟑 − 𝒙
𝒙𝟑
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏 −
𝟑
𝒙𝟑
𝟏 −
𝟏
𝒙𝟐
= 𝟏 
Cuando la variable toma valores infinitamente grandes en valor absoluto, las expresiones 
𝟑
𝒙𝟑
 y 
𝟏
𝒙𝟐
 toman 
valores cercanos a 𝟎, por lo tanto numerador como denominador se aproximan a 𝟏, por esto el límite de 
la función es 𝟏. 
De acuerdo a la definición, la recta 𝒚 = 𝟏 es Asíntota Horizontal. 
En este ejercicio trabajamos con la definición de Asíntota Vertical y Asíntota Horizontal.