PROBABILIDAD Y ESTADISTICA BASICA PARA INGENIEROS-98

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10.14 ANÁLISIS DE VARIANZA 
Esta prueba se utiliza para determinar si las medias muestrales provienen de poblaciones con 
medias iguales, cuando hay más de dos poblaciones en estudio. 
 
El análisis de varianza (ANOVA) permite comparar simultáneamente todas las medias, 
evitando tener que realizar pruebas en grupos de dos con las técnicas vistas anteriormente. 
 
La comparación de las medias muestrales se basa en las varianzas muestrales 
 
Suposiciones necesarias para el análisis de varianza 
1) Las poblaciones tienen distribución normal 
2) Las poblaciones tienen varianzas iguales 
3) Las muestras son independientes 
 
Definiciones: 
 
Tratamiento: Es la fuente de datos cuya variación proporciona las observaciones. 
 
Sean. k: Número de tratamientos 
 n: Número total de observaciones en todos los tratamientos combinados 
nj: Número total de observaciones en cada tratamiento j = 1, 2, ..., k 
 xi,j: Es la i-esima observación del tratamiento j 
 jX : Media muestral del tratamiento j (incluye las observaciones de cada 
 tratamiento) 
 X : Media muestral general (incluye a todas las observaciones de todos los 
 tratamientos) 
 
Variación Total: Es la variación total combinada de las observaciones de todos los 
tratamientos con respecto a la media general 
 Media muestral general: 
jnk
i,j
j 1 i 1
1X X
n = =
= ∑∑ 
 Variación total: 
jnk
2
i,j
j 1 i 1
SCT (X X)
= =
= −∑∑ (Suma cuadrática total) 
Variación de tratamientos: Es la variación atribuida a los efectos de los tratamientos 
 Media muestral del tratamiento j: 
jn
j i,j
j i 1
1X X
n =
= ∑ 
 Variación de tratamientos: 
k
2
jj
j 1
SCTr n (X X)
=
= −∑ (Suma cuadrática de tratamientos) 
Variación aleatoria o error: Es la variación dentro de cada tratamiento debido a errores en el 
experimento. 
 Variación aleatoria o error: SCE = SCT – SCTr (Suma cuadrática del error) 
 
La ecuación SCT = SCTr + SCE separa la variación total en dos componentes: el primero 
corresponde a la variación atribuida a los tratamientos y el segundo es la variación atribuida a 
la aleatoriedad o errores del experimento 
 
SCTr tiene k – 1 grados de libertad (varianza ponderada con k tratamientos) 
SCE tiene n – k grados de libertad (existen n datos y k tratamientos) 
SCT tiene n – 1 grados de libertad (suma de grados de libertad de SCTr y SCE) 
 
Si cada uno se divide por el número de grados de libertad se obtienen los cuadrados medios 
 
 
Todos estos resultados se los ordena en un cuadro denominado tabla de análisis de varianza 
291 
 
 
10.14.1 TABLA ANOVA (ANÁLISIS DE VARIANZA) 
 
Fuente de 
variación 
Grados de 
libertad 
Suma de 
cuadrados 
Cuadrados 
medios F0 
Tratamiento k – 1 SCTr SCTr/(k – 1) (SCTr/(k – 1))/(SCE/( n–k)) 
Error n – k SCE SCE/( n – k) 
Total n – 1 SCT 
 
El último cociente es el valor de una variable que tiene distribución F. Este estadístico se usa 
para la prueba de hipótesis 
 
10.14.2 PRUEBA DE HIPÓTESIS 
1) Hipotesis nula Ho: µ1 = µ2 = . . . = µk (las medias poblacionales son iguales) 
2) Hipótesis alterna: Ha:  Ho (al menos dos medias son iguales) 
3) Definir el nivel de significancia de la prueba α 
4) Elegir el estadístico de prueba: Distribución F con ν1 = k – 1, ν2 = n – k g. l. 
 Definir la región de rechazo de Ho 
5) Calcular Fo 
6) Decidir 
 
 
Ejemplo 
Para comparar las calificaciones promedio que obtienen los estudiantes en cierta materia que 
la imparten cuatro profesores, se eligieron 32 estudiantes que deben tomar esta materia y se 
los distribuyó aleatoriamente en los cuatro paralelos asignados a los cuatro profesores. 
 
Al finalizar el semestre los 32 estudiantes obtuvieron las siguientes calificaciones 
 
Profesor A Profesor B Profesor C Profesor D 
68 80 87 56 
90 73 82 80 
67 68 92 71 
85 67 72 91 
86 49 45 80 
53 67 74 56 
64 63 85 67 
71 60 93 53 
 
Con una significancia de 5% determine si existe evidencia de que hay diferencia en las 
calificaciones promedio entre los cuatro paralelos. 
 
1) Hipotesis nula Ho: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 (Las 4 medias de las notas son iguales) 
2) Hipótesis alterna: Ha:  Ho (Al menos en dos paralelos son diferentes) 
3) Nivel de significancia α = 0.05 
4) Estadístico de prueba 
 F con ν1 = 4 – 1 = 3, ν2 = 32 – 4 = 28 g. l. 
 Región de rechazo 
 
1 2, ,Fα ν ν = 0.05, 3, 28F = 2.95 (tabla F) 
 Rechazar Ho si Fo > 2.95 
5) Calcular Fo 
 
j jn nk 4
i,j i,j
j 1 i 1 j 1 i 1
1 1 1X X X (68 90 ... 67 53) 71.7188
n 32 32= = = =
= = = + + + + =∑∑ ∑∑ 
jnk
2 2 2
i,j
j 1 i 1
SCT (X X) (68 71.7188) (90 71.7188) ... 5494.5
= =
= − = − + − + =∑∑ 
292 
 
 
1n
1 i,1
1 i 1
1 1X X (68 90 ... 64 71) 73
n 8=
= = + + + + =∑ 
2n
2 i,2
2 i 1
1 1X X (80 73 ... 63 60) 65.875
n 8=
= = + + + + =∑ 
3n
3 i,3
3 i 1
1 1X X (87 82 ... 85 93) 78.75
n 8=
= = + + + + =∑ 
4n
4 i,4
4 i 1
1 1X X (56 80 ... 67 53) 69.25
n 8=
= = + + + + =∑ 
k
2 2 2
jj
j 1
SCTr n (X X) 8(73 71.7188) 8(65.875 71.7188) ... 730.6
=
= − = − + − + =∑ 
 SCE = SCT – SCTr = 5494.5 – 730.6 = 4763.9 
 
 
730.6SCTr
3k 1Fo 1.4314SCE 4763.9
n k 28
−= = =
−
 
 
6) Decisión: Fo no cae en la región de rechazo. Por lo tanto no se puede rechazar la 
hipótesis de que las medias de las calificaciones de los cuatro paralelos son iguales 
 
 
 
10.14.3 EJERCICIOS 
 
Para comparar la efectividad de cuatro tipos de fertilizantes para cierto tipo de producto, se 
dividió una zona de cultivo en veinte parcelas de igual tamaño y se administraron cada uno de 
los fertilizantes en cinco parcelas elegidas aleatoriamente. 
 
Al finalizar el periodo de cultivo se registraron las cantidades del producto obtenidas en las 
parcelas asignadas a cada tipo de fertilizante con los siguientes resultados, en las unidades de 
medida que corresponda: 
 
Fertilizante A Fertilizante B Fertilizante C Fertilizante D 
27 26 24 23 
21 23 26 27 
24 20 27 26 
23 26 22 23 
28 23 24 25 
 
Con una significancia de 5% determine si existe evidencia de que hay diferencia en las 
cantidades promedio del producto que se obtuvieron con los cuatro tipos de fertilizante. 
	10 ESTADÍSTICA INFERENCIAL
	10.14 ANÁLISIS DE VARIANZA
	10.14.1 TABLA ANOVA (ANÁLISIS DE VARIANZA)
	10.14.2 PRUEBA DE HIPÓTESIS
	10.14.3 EJERCICIOS