introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-119

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¿Cómo selecciono el tamaño muestral?
Determine el parámetro y el error estándar a estimarse de su estimador puntual. 
A continuación proceda como sigue:
1. Escoja B, el límite en el error de su estimación y un coefi ciente de confi anza 
(1 � a).
2. Para un problema de una muestra, de esta ecuación despeje el tamaño muestral n: 
za/2 × (error estándar del estimador) � B
 donde za/2 es el valor de z que tiene un área a/2 a su derecha.
3. Para un problema de dos muestras, haga n1 � n2 � n y resuelva la ecuación del 
paso 2.
[nota: Para casi todos los estimadores (todos presentados en este texto), el error 
estándar es una función del tamaño muestral n.]
Repertorio de ejercicios
Llene los espacios en blanco de la tabla siguiente y encuentre los tamaños muestrales 
necesarios. El primer problema ya ha sido resuelto.
ENTRENADOR PERSONALMIMI
E J E M P L O 8.13
 Una o 
Tipo de dos Límite Resuelva esta 
datos muestras Margen de error p o s B desigualdad Tamaño muestral
Binomio 1 1.96 �
___
 
pq ___ n 
 p � .4 .1 1.96 �
___
 pq ___ n � .1 n � ———
 1.96 s___ 
 �
__
 n 
 s � 6 1 � 1 n � 
Cuantitativo 2 s1 � s2 � 6 2 � 2 n1 � n2 � 
 1.96 �
________
 p1q1 ___ n1 � 
p2q2 ___ n2 p1 � p2 � .4 .05 � .05 n1 � n2 � 
Este método de seleccionar el tamaño muestral se puede usar para los cuatro procedi-
mientos de estimación presentados en este capítulo. El procedimiento general se des-
cribe a continuación.
Informe de progreso
• ¿Todavía tiene problemas? Trate de nuevo usando el Repertorio de ejercicios 
del fi nal de esta sección.
• ¿Ya domina la tabla z? Puede saltarse el Repertorio de ejercicios del fi nal de 
esta sección.
Las respuestas están al fi nal de este libro.
Los productores de tubo de plástico de polivinilo desean tener un suministro de tubos 
suficiente para satisfacer las necesidades del mercado. Desean encuestar mayoristas que 
compren tubos de polivinilo para estimar la proporción que planea aumentar sus com-
pras el año próximo. ¿Qué tamaño muestral se requiere si desean que su estimación se 
encuentre a no más de .04 de la proporción real con probabilidad igual a .90?
 8.9 SELECCIÓN DEL TAMAÑO MUESTRAL ❍ 331
93
Probabilidad_Mendenhall_08.indd 331Probabilidad_Mendenhall_08.indd 331 5/14/10 8:19:36 AM5/14/10 8:19:36 AM
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332 ❍ CAPÍTULO 8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
E J E M P L O 8.14
Solución Para este ejemplo particular, el límite B en el error de la estimación es .04. 
Como el coeficiente de confianza es (1 � a)� .90, a debe ser igual a .10 y a/2 es .05. 
El valor z correspondiente a un área igual a .05 en la cola superior de la distribución z es 
z.05 � 1.645. Entonces se requiere
1.645 SE � 1.645 �
___
 
pq
 ___ n � .04
Para despejar n de esta ecuación, se debe sustituir un valor aproximado de p en la ecua-
ción. Si se desea estar seguro que la muestra es suficientemente grande, debe usarse 
p � .5 (sustituir p � .5 dará la máxima solución posible para n porque el máximo valor 
de pq se presenta cuando p � q � .5). Entonces
1.645 �
_______
 
(.5)(.5)
 ______ n � .04
o bien
 �
__
 n � 
(1.645)(.5)
 _________ 
.04
 � 20.56
n � (20.56)2 � 422.7
Por tanto, los productores deben incluir al menos 423 mayoristas en su encuesta si desean 
estimar la proporción p correcta a no más de .04.
Un director de personal desea comparar la efectividad de dos métodos de capacitar 
empleados industriales a realizar cierta operación de ensamble. Un número de emplea-
dos se ha de dividir en dos grupos iguales: el primero recibiendo capacitación del 
método 1 y, el segundo, el método de capacitación 2. Cada uno efectuará la operación 
de ensamble y el tiempo de ensamblado se registrará. Se espera que las mediciones para 
ambos grupos tendrán una variación de alrededor de 8 minutos. Para que la estimación 
de la diferencia en tiempos medios de ensamble sea correcta a no más de 1 minuto de 
variación, con una probabilidad igual a .95, ¿cuántos trabajadores deben estar incluidos 
en cada grupo de capacitación?
Solución Haciendo B � 1 minuto, tenemos
1.96 �
_______
 
 s 1 
2 
 __ n1 � 
 s 2 
2 
 __ n2 � 1
Como se desea que n1 sea igual a n2, se puede hacer n1 � n2 � n y obtener la ecuación
1.96 �
_______
 
 s 1 
2 
 __ n � 
 s 2 
2 
 __ n � 1
Como ya observamos, la variabilidad (intervalo) de cada método de ensamble es aproxi-
madamente igual y, por lo tanto, s 21 � s
2
2 � s
2. Como el intervalo, igual a 8 minutos, 
es aproximadamente igual a 4s, tenemos
4s � 8 o sea s � 2
Probabilidad_Mendenhall_08.indd 332Probabilidad_Mendenhall_08.indd 332 5/14/10 8:19:37 AM5/14/10 8:19:37 AM
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TABLA 8.7 
●
 Fórmulas para tamaño muestral
Parámetro Estimador Tamaño muestral Suposiciones
m x� n � 
z 2a
B
/2 
2
s 2
m1 � m2 x�1 � x�2 n � 
z 2a/2(s
B
2
1 
2
� s 22) n1 � n2 � n
 n � 
z 2a
B
/2
2
pq
p p̂ o
 n � 
(.25
B
)z
2
2
a/2 p � .5
 n � 
z 2a/2(p1q
B
1 
2
� p2q2) n1 � n2 � n
p1 � p2 p̂1 � p̂2 o
 n � 
2(.2
B
5)
2
z 2a/2 n1 � n2 � n y
p1 � p2 � .5
	
	
 EJERCICIOS8.9
 Una o 
Tipo de dos Límite Resuelva esta 
datos muestras Margen de error p o s B desigualdad Tamaño muestral
Binomio 1 p � .5 .05 � .05 n � 
 1.96 s___ 
 �
_
 n 
 s � 10 2 � 2 n � 
Sustituyendo este valor por s1 y s2 en la ecuación anterior, se obtiene
1.96 �
__________
 
(2)2
 ____ n � 
(2)2
 ____ n � 1
 1.96 �
__
 8 __ n � 1
 �
__
 n � 1.96 �
__
 8 
Resolviendo, tenemos n � 31. Por tanto, cada grupo debe contener al menos n � 31 
trabajadores.
La tabla 8.7 contiene un resumen de las fórmulas empleadas para determinar los 
tamaños muestrales requeridos para estimación, con un límite dado en el error de la esti-
mación o ancho de intervalo de confianza W (W � 2B). Observe que para estimar p, la 
fórmula del tamaño muestral usa s2 � pq, en tanto que para estimar (p1 � p2), la fórmu-
la del tamaño muestral usa s 21 � p1q1 y s
2
2 � p2q2.
REPERTORIO DE EJERCICIOS
Estos ejercicios se refi eren a la sección Mi entrenador personal de la página 331.
8.63 Llene los espacios en blanco de la tabla siguiente y encuentre los tamaños muestrales 
necesarios.
 8.9 SELECCIÓN DEL TAMAÑO MUESTRAL ❍ 333
Probabilidad_Mendenhall_08.indd 333Probabilidad_Mendenhall_08.indd 333 5/14/10 8:19:37 AM5/14/10 8:19:37 AM
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	8.9 Selección del tamaño muestral
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