introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-33

Vista previa del material en texto

2.28 Números del Seguro Social, continúa Consulte 
el conjunto de datos del ejercicio 2.27.
a. Encuentre el porcentaje de mediciones en los 
intervalos 
_
 x 
 s, 
_
 x 
 2s y 
_
 x 
 3s.
b. ¿Cómo se comparan los porcentajes obtenidos en el 
inciso a) con los dados por la Regla empírica? ¿Deben 
ser aproximadamente iguales? Explique.
2.29 Tiempos de supervivencia Un grupo de animales 
experimentales es infectado con una forma particular de 
bacterias, encontrándose que su tiempo de supervivencia 
es de 32 días con una desviación estándar de 36 días.
a. Visualice la distribución de tiempos de supervivencia. 
¿Piensa usted que la distribución es de forma 
relativamente de montículo, sesgada a la derecha o 
sesgada a la izquierda? Explique.
b. ¿Dentro de qué límites esperaría usted que se 
encuentren al menos 3/4 de las mediciones?
2.30 Tiempos de supervivencia, continúa Consulte 
el ejercicio 2.29. Puede usar la Regla empírica para ver 
por qué la distribución de tiempos de supervivencia 
no podría tener forma de montículo.
a. Encuentre el valor de x que sea exactamente una 
desviación estándar debajo de la media.
b. Si la distribución tiene en realidad forma de 
montículo, ¿aproximadamente qué porcentaje 
de las mediciones debe ser menor que el valor de 
x encontrado en el inciso a)?
c. Como la variable que se mide es tiempo, ¿es posible 
haya algunas mediciones que estén más de una 
desviación estándar debajo de la media?
d. Use sus respuestas a los incisos b) y c) para explicar 
por qué la distribución de datos no puede tener forma 
de montículo.
2.31 Terreno maderero Para calcular la 
cantidad de madera en un terreno maderero, un 
propietario determinó contar el número de árboles con 
diámetros mayores a 12 pulgadas en cuadrados de 50 � 
50 pies seleccionados al azar. Se escogieron 70 de estos 
cuadrados y se contaron los árboles seleccionados de 
cada extensión. Los datos aparecen en seguida:
 7 8 7 10 4 8 6 8 9 10
 9 6 4 9 10 9 8 8 7 9
 3 9 5 9 9 8 7 5 8 8
 10 2 7 4 8 5 10 7 7 7
 9 6 8 8 8 7 8 9 6 8
 6 11 9 11 7 7 11 7 9 13
 10 8 8 5 9 9 8 5 9 8
a. Construya un histograma de frecuencia relativa para 
describir los datos.
b. Calcule la media muestral 
_
 x como estimación de m, el 
número medio de árboles para todos los cuadrados de 
50 � 50 pies del terreno.
c. Calcule s para los datos. Construya los intervalos
 
_
 x 
 s, 
_
 x 
 2s y 
_
 x 
 3s. Calcule el porcentaje de 
cuadrados que caen en cada uno de los tres intervalos 
y compare con los correspondientes porcentajes dados 
por la Regla empírica y el teorema de Chebyshev.
2.32 Atunes, otra vez Consulte el ejercicio 2.8 y el 
conjunto de datos EX0208. A continuación aparecen 
los precios de una lata de 6 onzas, o una bolsa de 7.06 
onzas, para 14 marcas diferentes de atún claro elaborado 
en agua basados en precios pagados nacionalmente en 
supermercados.4
 .99 1.92 1.23 .85 .65 .53 1.41
1.12 .63 .67 .69 .60 .60 .66
a. Use la aproximación de rango para hallar una 
estimación de s.
b. ¿Cómo se compara con el valor calculado de s?
2.33 El viejo fi el Los datos siguientes son 30 
tiempos de espera entre erupciones del géiser 
Old Faithful del parque nacional de Yellowstone.8
56 89 51 79 58 82 52 88 52 78 69 75 77 72 71
55 87 53 85 61 93 54 76 80 81 59 86 78 71 77
a. Calcule el rango.
b. Use la aproximación de rango para aproximar la 
desviación estándar de estas 30 mediciones.
c. Calcule la desviación estándar de la muestra s.
d. ¿Qué proporción de las mediciones se encuentra a no 
más de dos desviaciones estándar de la media? ¿Y 
a no más de tres desviaciones estándar de la media? 
¿Estas proporciones concuerdan con las proporciones 
dadas en el teorema de Chebyshev?
2.34 Hijos del presidente La tabla 
siguiente muestra los nombres de los 42 
presidentes de Estados Unidos, junto con el número de 
sus hijos.2
Washington 0 Van Buren 4 Buchanan 0
Adams 5 W.H. Harrison 10 Lincoln 4
Jefferson 6 Tyler* 15 A. Johnson 5
Madison 0 Polk 0 Grant 4
Monroe 2 Taylor 6 Hayes 8
J.Q. Adams 4 Fillmore* 2 Garfi eld 7
Jackson 0 Pierce 3 Arthur 3
Cleveland 5 Coolidge 2 Nixon 2
B. Harrison* 3 Hoover 2 Ford 4
McKinley 2 F.D. Roosevelt 6 Carter 4
T. Roosevelt* 6 Truman 1 Reagan* 4
Taft 3 Eisenhower 2 G.H.W. Bush 6
Wilson* 3 Kennedy 3 Clinton 1
Harding 0 L.B. Johnson 2 G.W. Bush 2
*Casado dos veces Fuente: Time Almanac 2007
DATOSMISMIS
EX0231
DATOSMISMIS
EX0233
DATOSMISMIS
EX0234
 2.5 UNA MEDICIÓN DEL CÁLCULO DE s ❍ 73
Probabilidad_Mendenhall_02.indd 73Probabilidad_Mendenhall_02.indd 73 5/14/10 8:15:58 AM5/14/10 8:15:58 AM
 www.FreeLibros.me
74 ❍ CAPÍTULO 2 DESCRIPCIÓN DE DATOS CON MEDIDAS NUMÉRICAS
a. Construya un histograma de frecuencia relativa para 
describir los datos. ¿Cómo describiría usted la forma 
de esta distribución?
b. Calcule la media y la desviación estándar para el 
conjunto de datos.
c. Construya los intervalos 
_
 x 
 s, 
_
 x 
 2s y 
_
 x 
 3s. 
Encuentre el porcentaje de mediciones que 
caen en estos tres intervalos y compare con los 
correspondientes porcentajes dados por el teorema de 
Chebyshev y la Regla empírica.
2.35 Un hallazgo arqueológico, otra vez Consulte 
el ejercicio 2.17. El porcentaje de óxido de hierro en cada 
una de cinco muestras de cerámica recolectadas en el 
sitio de Island Thorns fue:
1.28 2.39 1.50 1.88 1.51
a. Use la aproximación de rango para hallar una 
estimación de s, usando un divisor apropiado de la 
tabla 2.6.
b. Calcule la desviación estándar s. ¿Qué tan cerca 
estuvo su estimación respecto del valor real de s?
2.36 Brett Favre El número de pases 
completados por Brett Favre, mariscal de campo 
de los Empacadores de Green Bay, se registró en cada 
uno de los 16 juegos regulares de la temporada de verano 
de 2006 (www.espn.com)9.
15 31 25 22 22 19
17 28 24 5 22 24
22 20 26 21
a. Trace una gráfica de tallo y hoja para describir los 
datos.
b. Calcule la media y desviación estándar para los pases 
completados por juego de Brett Favre.
c. ¿Qué proporción de las mediciones está a no más de 
dos desviaciones estándar de la media?
CÁLCULO DE LA MEDIA 
Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR PARA 
DATOS AGRUPADOS (OPCIONAL)
2.37 Suponga que algunas mediciones se presentan más 
de una vez y que los datos x1, x2, …, xk están dispuestos 
en una tabla de frecuencia como vemos aquí:
Observaciones Frecuencia fi
 x1 f1
 x2 f2
 . .
 . .
 . .
 xk fk
Las fórmulas para la media y varianza para datos 
agrupados son
 
_
 x � Sxifi _____ 
n
 , donde n � Sfi
y
 Sx2i fi – 
 (Sxi fi)
2
 _______ n 
 s2 � 
 n � 1
Observe que si cada uno de los valores se presenta una 
vez, estas fórmulas se reducen a las dadas en el texto. 
Aun cuando estas fórmulas para datos agrupados son 
básicamente de valor cuando tenemos un gran número de 
mediciones, demuestre su uso para la muestra 1, 0, 0, 1, 
3, 1, 3, 2, 3, 0, 0, 1, 1, 3, 2.
a. Calcule 
_
 x y s2 directamente, usando las fórmulas para 
datos no agrupados.
b. La tabla de frecuencia para las n � 15 mediciones es 
como sigue:
x f
0 4
1 5
2 2
3 4
Calcule 
_
 x y s2 usando las fórmulas para datos agrupados. 
Compare con sus respuestas al inciso a).
2.38 International Baccalaureate El programa 
International Baccalaureate (IB) es un programa 
académico acelerado ofrecido a un creciente número de 
secundarias en todo el país. Los estudiantes inscritos 
en este programa participan en cursos acelerados o 
avanzados y deben tomar exámenes IB en cada una de 
las seis materias al terminar su penúltimo o último año. 
Los estudiantes son califi cados en una escala de 1-7, con 
1-2 siendo malo, 3 mediocre, 4 promedio y 5-7 excelente. 
Durante su primer año de operación en la secundaria 
John W. North en Riverside, California, 17 estudiantes 
de penúltimo año trataron de pasar el examen IB de 
economía, con estos resultados:
Califi cación de examen Número de estudiantes
 7 1
 6 4
 5 4
 4 4
 3 4
DATOSMISMIS
EX0236
Probabilidad_Mendenhall_02.indd74Probabilidad_Mendenhall_02.indd 74 5/14/10 8:15:58 AM5/14/10 8:15:58 AM
 www.FreeLibros.me
Calcule la media y desviación estándar para estas 
califi caciones.
2.39 Una distribución sesgada Para ilustrar la 
utilidad de la Regla empírica, considere una distribución 
que está fuertemente sesgada a la derecha, como se 
muestra en la fi gura siguiente.
a. Calcule 
_
 x y s para los datos mostrados. (nota: Hay 10 
ceros, cinco unos, y así sucesivamente.)
b. Construya los intervalos 
_
 x 
 s, 
_
 x 
 2s y 
_
 x 
 3s y 
localícelos en la distribución de frecuencia.
c. Calcule la proporción de las n � 25 mediciones que 
caen en cada uno de tres intervalos. Compare con el 
teorema de Chebyshev y la Regla empírica. Observe 
que, aun cuando la proporción que cae en el intervalo 
_
 x 
 s no concuerda cercanamente con la Regla 
empírica, las proporciones que caen en los intervalos 
_
 x 
 2s y 
_
 x 
 3s concuerdan muy bien. Muchas veces 
esto es cierto, aun para distribuciones de datos que no 
tengan forma de montículo.
Distribución para el ejercicio 2.39
MEDICIONES DE POSICIÓN RELATIVA
A veces es necesario conocer la posición de una observación respecto a otras de un 
conjunto de datos. Por ejemplo, si usted se examina con un total de 35 puntos, podría 
desear saber cómo se compara su calificación de 30 con las calificaciones de los otros 
estudiantes del grupo. La media y desviación estándar de las calificaciones se pueden 
usar para calcular un puntaje z, que mide la posición relativa de una medición en un 
conjunto de datos.
Defi nición El puntaje z muestral es una medida de posición relativa defi nida 
por
puntaje z � x – 
_
 x ____ s 
Un puntaje z mide la distancia entre una observación y la media, medidas en uni-
dades de desviación estándar. Por ejemplo, suponga que la media y desviación están-
dar de los puntajes de examen (basados en un total de 35 puntos) son 25 y 4, respectiva-
mente. El puntaje z para su calificación de 30 se calcula como sigue:
puntaje z � x – 
_
 x ____ s � 
30 � 25 _______ 
4
 � 1.25
Su puntaje de 30 está a 1.25 desviaciones estándar arriba de la media (30 � 
_
 x 
 
1.25s).
n � 25
 0 2 4 6 8 10
10
8
6
4
2
F
re
cu
en
ci
a
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
2.6
Puntaje z positivo ⇔ x 
está arriba de la media. 
Puntaje z negativo ⇔ x está 
debajo de la media.
CONSEJOMIMI
 2.6 MEDICIONES DE POSICIÓN RELATIVA ❍ 75
Probabilidad_Mendenhall_02.indd 75Probabilidad_Mendenhall_02.indd 75 5/14/10 8:15:58 AM5/14/10 8:15:58 AM
 www.FreeLibros.me
	2 DESCRIPCIÓN DE DATOS CON MEDIDAS NUMÉRICAS
	2.6 Mediciones de posición relativa