introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-94

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256 ❍ CAPÍTULO 7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
Defi nición Si una muestra de n elementos se selecciona de entre una población de 
N elementos, usando un plan muestral en el que cada una de las posibles muestras tiene 
la misma probabilidad de selección, entonces se dice que el muestreo es aleatorio y la 
muestra resultante es una muestra aleatoria simple.
Un muestreo aleatorio perfecto es difícil de obtener en la práctica. Si el tamaño N 
de la población es pequeño, se podría escribir cada uno de los N números en una fi cha, 
mezclar las fi chas y seleccionar una muestra de n fi chas. Los números que seleccione 
corresponden a las n mediciones que aparecen en la muestra. Como este método no 
siempre es práctico, un método más sencillo y confi able utiliza números aleatorios, es 
decir, dígitos generados de modo que los valores de 0 a 9 se presentan al azar y con igual 
frecuencia. Estos números pueden ser generados por computadora o pueden incluso apa-
recer en una calculadora científi ca. De manera opcional, la tabla 10 del apéndice I es una 
tabla de números aleatorios que se pueden usar para seleccionar una muestra aleatoria.
Una base de datos de computadora en una empresa urbana de abogados contiene archi-
vos para N � 1000 clientes. La empresa desea seleccionar n � 5 archivos para revisión. 
Seleccione una muestra aleatoria simple de cinco archivos de esta base de datos.
Solución Primero debe marcar cada archivo con un número de 1 a 1000. Quizá los 
archivos se guarden alfabéticamente y la computadora ya ha asignado un número a cada 
uno. A continuación genere una secuencia de 10 números aleatorios de tres dígitos. Si 
está usando la tabla 10 del apéndice I, seleccione un punto inicial aleatorio y use una 
parte de la tabla similar a la de la tabla 7.2. El punto inicial aleatorio asegura que usted 
no use la misma secuencia una y otra vez. Los primeros tres dígitos de la tabla 7.2 indi-
can el número del primer archivo a revisarse. El número aleatorio 001 corresponde al 
archivo #1 y el último archivo, #1000 corresponde al número aleatorio 000. Usando la 
tabla 7.2, se escogerían los cinco archivos numerados 155, 450, 32, 882 y 350 para revi-
sión. De manera opcional, podría escoger leer en sentido horizontal las líneas y escoger 
los archivos 155, 350, 989, 450 y 369 para revisión.
E J E M P L O 7.1
TABLA 7.2 
●
 Parte de una tabla de números aleatorios
15574 35026 98924
45045 36933 28630
03225 78812 50856
88292 26053 21121
La situación descrita en el ejemplo 7.1 se denomina estudio observacional, porque 
los datos ya existían antes que usted decidiera observar o describir las características 
de ellos. La mayor parte de los estudios muestrales, en los que la información se capta 
con un cuestionario, caen en esta categoría. Las bases de datos de computadora hacen 
posible asignar números de identifi cación a cada elemento aun cuando la población sea 
grande y seleccionar una muestra aleatoria simple. Tenga cuidado al efectuar un estudio 
muestral y esté atento a estos problemas que se presentan con frecuencia:
• No respuesta: Usted ha seleccionado su muestra aleatoria y enviado sus cues-
tionarios, pero sólo 50% de los entrevistados devolvió sus cuestionarios. ¿Las 
respuestas que usted recibió son representativas de toda la población o están 
sesgadas porque sólo quienes eran particularmente obstinados en el tema fueron 
escogidos para responder?
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 7.2 PLANES DE MUESTREO Y DISEÑOS EXPERIMENTALES ❍ 257
• Cobertura demasiado baja: Usted ha seleccionado su muestra aleatoria usando 
registros telefónicos como una base de datos. ¿La base de datos que usó siste-
máticamente excluye ciertos segmentos de la población, quizá aquellos que no 
tienen teléfono?
• Sesgo verbal: El cuestionario de usted puede tener preguntas que son demasiado 
complicadas o tienden a confundir al lector. Posiblemente las preguntas son sen-
sibles por naturaleza, por ejemplo, “¿Alguna vez ha consumido usted drogas?” o 
“¿Alguna vez ha engañado en su declaración de impuestos?” y quienes respon-
den no contestan con la verdad. 
Se han diseñado métodos para resolver algunos de estos problemas, pero sólo si usted 
sabe que existen. Si su encuesta está sesgada por cualquiera de estos problemas, enton-
ces sus conclusiones no serán muy confi ables, aunque haya seleccionado una muestra 
aleatoria.
Alguna investigación realizada comprende la experimentación, en la que una con-
dición experimental o tratamiento se impone en las unidades experimentales. Seleccio-
nar una muestra aleatoria simple es más difícil en esta situación.
Una química investigadora está sometiendo a prueba un nuevo método para medir la 
cantidad de titanio (Ti) en muestras de mineral. Ella selecciona 10 muestras de mine-
ral del mismo peso para su experimento. Cinco de las muestras se medirán usando un 
método estándar y las otras cinco usando el nuevo método. Use números aleatorios para 
asignar las 10 muestras de mineral a los grupos nuevo y estándar. ¿Estos datos represen-
tan una muestra aleatoria simple de entre la población?
Solución Hay realmente dos poblaciones en este experimento. Están formadas por 
mediciones de titanio, usando ya sea el método nuevo o el estándar, para todas las posi-
bles muestras de mineral de este peso. Estas poblaciones no existen en realidad; son 
poblaciones hipotéticas, imaginadas en la mente de la investigadora. Entonces, es impo-
sible seleccionar una muestra aleatoria simple usando los métodos del ejemplo 7.1. En 
cambio, la investigadora selecciona lo que ella cree que son 10 muestras re presentativas 
de mineral y espera que estas muestras se comportarán como si se hubieran seleccio-
nado al azar de las dos poblaciones.
La investigadora puede, no obstante, seleccionar al azar las cinco muestras a medir 
con cada método. Numere las muestras del 1 al 10. Las cinco muestras seleccionadas 
para el nuevo método pueden corresponder a cinco números aleatorios de un dígito. Use 
esa secuencia de dígitos aleatorios generados en una calculadora científi ca:
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Como no se puede seleccionar dos veces la misma muestra de mineral, hay que sal-
tarse cualquier dígito que ya haya sido escogido. Las muestras 9, 4, 8, 2 y 7 se medirán 
usando el nuevo método. Las otras muestras, es decir 1, 3, 5, 6 y 10, se medirán usando 
el método estándar.
Además del muestreo aleatorio simple, hay otros planes muestrales con carácter alea-
torio y, por tanto, dan una base probabilista para hacer inferencias. Tres de esos planes 
están basados en muestreo estratifi cado, conglomerado y sistemático.
Cuando la población está formada por dos o más subpoblaciones, llamadas estratos, 
un plan muestral que asegura que cada subpoblación está representada en la muestra se 
denomina muestra aleatoria estratifi cada.
Defi nición Un muestreo aleatorio estratifi cado comprende seleccionar una mues-
tra aleatoria simple de cada uno de un número dado de subpoblaciones o estratos.
E J E M P L O 7.2
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258 ❍ CAPÍTULO 7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
Las opiniones de la ciudadanía, acerca de la construcción de un centro de artes inter-
pretativas, podrían ser recolectadas usando una muestra aleatoria estratifi cada con dis-
tritos de votación urbanos como estratos. Las votaciones nacionales suelen comprender 
alguna forma muestral aleatorio estratifi cado con estados como estratos.
Se utiliza otra forma muestral aleatorio cuando las unidades muestrales disponibles 
son grupos de elementos, llamados conglomerados. Por ejemplo, una familia es un 
conglomerado de personas que viven juntas. Una manzana o vecindario de una ciudad 
podrían ser una cómoda unidad muestral y podría ser considerada un conglomerado para 
un plan determinado muestral.
Defi niciónUna muestra de conglomerados es una simple muestra aleatoria 
tomada de los conglomerados disponibles en la población. 
Cuando un conglomerado particular se incluye en la muestra, se toma un censo de cada 
uno de los elementos del conglomerado.
A veces la población a ser muestreada está ordenada, por ejemplo una lista alfabeti-
zada de personas con licencias de manejo, una lista de usuarios de la compañía de luz 
por direcciones de servicio o una lista de clientes por números de cuenta. En estas y otras 
situaciones, se escoge un elemento al azar de los primeros k elementos y, a continuación, 
cada k-ésimo elemento de ahí en adelante se incluye en la muestra.
Defi nición Una muestra aleatoria sistemática 1 en k involucra la selección alea-
toria de uno de los primeros k elementos de una población ordenada y luego la selección 
sistemática de cada k-ésimo elemento de ahí en adelante.
No todos los planes muestrales, sin embargo, comprenden una selección aleatoria. 
Es probable que usted haya oído de las encuestas telefónicas no aleatorias, en las que 
las personas que desean expresar apoyo a una pregunta llaman a un “número 900” y 
los que se oponen llaman a un segundo “número 900”. Cada persona debe pagar por 
su llamada. Es obvio que quienes llaman no representan la población en general. Este 
tipo muestral es una forma de una muestra de conveniencia, es decir, una muestra que 
se puede obtener de manera fácil y sencilla sin selección aleatoria. Hacer publicidad a 
personas a quienes se les pagará una cuota por participar en un experimento produce 
una muestra de conveniencia. El muestreo de juicio permite que la persona que haga el 
muestreo decida quién estará o no incluido en la muestra. El muestreo de cuota, en el 
que la composición de la muestra debe refl ejar la composición de la población en alguna 
característica preseleccionada, con frecuencia tiene un componente no aleatorio en el 
proceso de selección. Recuerde que las muestras no aleatorias se pueden describir 
pero no se pueden usar para hacer inferencias.
Todos los planes muestral 
empleados para hacer 
inferencias comprenden el 
proceso aleatorio.
CONSEJOMIMI
 EJERCICIOS7.2
TÉCNICAS BÁSICAS
7.1 Una población está formada por N � 500 unidades 
experimentales. Use una tabla numérica aleatoria para 
seleccionar una muestra aleatoria de n � 20 unidades 
experimentales. (SUGERENCIA: Como es necesario usar 
números de tres dígitos, se pueden asignar dos números 
de tres dígitos a cada una de las unidades muestrales en 
la forma ilustrada en la tabla.) ¿Cuál es la probabilidad de 
que cada unidad experimental sea seleccionada para su 
inclusión en la muestra?
Unidades 
experimentales
Números 
aleatorios
 1 001, 501
 2 002, 502
 3 003, 503
 4 004, 504
 . .
 . .
 . .
499 499, 999
500 500, 000
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	7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
	7.2 Planes muestrales y diseños experimentales
	Ejercicios