introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-103

Vista previa del material en texto

7.7 UNA APLICACIÓN MUESTRAL: CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS (OPCIONAL) ❍ 283
El valor calculado de s, la desviación muestral estándar de todas las nk � 4(25) � 100 
observaciones, es s � .011458 y el error estándar estimado de la media de n � 4 obser-
vaciones es
 s ___ 
 �
__
 n 
 � .011458 _______ 
 �
__
 4 
 � .005729
Los límites de control superior e inferior se encuentran como
UCL � x�� � 3 
s ___ 
 �
__
 n 
 � .9987 � 3(.005729) � 1.015887
y
LCL � x�� � 3 
s ___ 
 �
__
 n 
 � .9987 � 3(.005729) � .981513
La fi gura 7.15 muestra una salida impresa MINITAB de la gráfi ca x� construida a partir de 
los datos. Si se supone que las muestras empleadas para construir la gráfi ca x� se recolec-
taron cuando el proceso estaba en control, la gráfi ca se puede usar ahora para detectar 
cambios en la media del proceso. Las medias muestrales se grafi can periódicamente y, si 
una media muestral cae fuera de los límites de control, debe comunicarse una adverten-
cia. El proceso debe verifi carse para localizar la causa de la media anormalmente grande 
o pequeña.
Una gráfi ca de control para la proporción 
de piezas defectuosas: la gráfi ca p
A veces la observación hecha en un artículo es simplemente para saber si satisface o no 
las especifi caciones; entonces, se juzga como defectuosa o no defectuosa. Si la fracción 
de piezas defectuosas producidas por el proceso es p, entonces x, el número de defectuo-
sas en una muestra de n artículos, tiene una distribución binomial.
Para supervisar un proceso para ver si hay artículos defectuosos, se seleccionan mues-
tras de tamaño n a intervalos periódicos y se calcula la proporción muestral p̂. Cuando el 
proceso está en control, p̂ debe caer en el intervalo p � 3SE, donde p es la proporción de 
defectuosas en la población (o la fracción defectuosa del proceso) con error estándar
SE � �
___
 
pq
 ___ 
n
 � �
________
 
p(1 � p)
 ________ 
n
 
1.02
1.01
1.00
0.99
 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
Sample
UCL � 1.01589
X � 0.9987
LCL � 0.98151
Sa
m
pl
e 
M
ea
n
Xbar Chart of Diameter
0.98
FIGURA 7.15
Gráfi ca MINITAB x� para el 
ejemplo 7.8
●
Probabilidad_Mendenhall_07.indd 283Probabilidad_Mendenhall_07.indd 283 5/14/10 8:43:32 AM5/14/10 8:43:32 AM
 www.FreeLibros.me
284 ❍ CAPÍTULO 7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
La fracción defectuosa del proceso es desconocida pero puede calcularse por el prome-
dio de las proporciones muestrales k:
p� � 
Sp̂i ___ 
k
 
y el error estándar es estimado por
SE �
 
 �
________
 
p�(1 � p�) ________ n 
 La línea de centro para la gráfi ca p está ubicado en p�, y los límites de control superior 
e inferior son
UCL � p� � 3 �
________
 
p�(1 � p�) ________ n 
y
LCL � p� � 3 �
________
 
p�(1 � p�) ________ n 
Un fabricante de bolígrafos muestrea al azar 400 bolígrafos por día y prueba cada uno de 
ellos para ver si el fl ujo de tinta es aceptable. Las proporciones de bolígrafos juzgados 
como defectuosos por día, en un periodo de 40 días, se ven en la tabla 7.7. Construya una 
gráfi ca de control para la proporción p̂ de muestras defectuosas en n � 400 bolígrafos 
seleccionados del proceso.
E J E M P L O 7.9
TABLA 7.7 
●
 Proporciones de muestras defectuosas en n � 400 bolígrafos
Día Proporción Día Proporción Día Proporción Día Proporción
 1 .0200 11 .0100 21 .0300 31 .0225
 2 .0125 12 .0175 22 .0200 32 .0175
 3 .0225 13 .0250 23 .0125 33 .0225
 4 .0100 14 .0175 24 .0175 34 .0100
 5 .0150 15 .0275 25 .0225 35 .0125
 6 .0200 16 .0200 26 .0150 36 .0300
 7 .0275 17 .0225 27 .0200 37 .0200
 8 .0175 18 .0100 28 .0250 38 .0150
 9 .0200 19 .0175 29 .0150 39 .0150
10 .0250 20 .0200 30 .0175 40 .0225
Solución La estimación de la proporción de piezas defectuosas del proceso es el 
promedio de las k � 40 proporciones muestrales de la tabla 7.7. Por tanto, la línea 
del centro de la gráfi ca de control está ubicada en
p� � 
Sp̂i ___ 
k
 � .0200 � .0125 � � � � � .0225 _________________________ 
40
 � .7600 _____ 40
 � .019
Una estimación del SE, es decir el error estándar de las proporciones muestrales, es
 �
________
 
p�(1 � p�) ________ 
n 
 � �
___________
 
(.019)(.981)
 __________ 
400
 � .00683
y 3SE � (3)(.00683) � .0205. Por tanto, los límites de control superior e inferior para 
la gráfi ca p están ubicados en
límite superior de control � p� � 3SE � .0190 � .0205 � .0395
y
límite inferior de control � p� � 3SE � .0190 � .0205 � �.0015
Probabilidad_Mendenhall_07.indd 284Probabilidad_Mendenhall_07.indd 284 5/14/10 8:43:32 AM5/14/10 8:43:32 AM
 www.FreeLibros.me
 7.7 UNA APLICACIÓN MUESTRAL: CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS (OPCIONAL) ❍ 285
O bien, como p no puede ser negativa, el límite inferior de control o LCL � 0.
La gráfi ca de control p se muestra en la fi gura 7.16. Observe que las 40 proporciones 
muestrales caen dentro de los límites de control. Si una proporción muestral recolectada 
en algún tiempo futuro cae fuera de los límites de control, el fabricante debe ocuparse 
de un aumento en el porcentaje de piezas defectuosas, además de tomar las medidas 
necesarias para buscar las posibles causas de este aumento.
Otras gráfi cas de control que por lo general se utilizan son la gráfi ca R, que se usa 
para vigilar la variación de la variable del proceso por medio del intervalo muestral y la 
gráfi ca c, que se usa para vigilar el número de defectos por pieza.
 EJERCICIOS7.7
TÉCNICAS BÁSICAS
7.48 Las medias muestrales se calcularon para 30 
muestras de tamaño n � 10 para un proceso que se juzgó 
en control. Las medias de los 30 valores x� y la desviación 
estándar de las 300 mediciones combinadas fueron 
x�� � 20.74 y s � .87, respectivamente.
a. Use los datos para determinar los límites superior e 
inferior de control para una gráfi ca x�.
b. ¿Cuál es el propósito de una gráfi ca x�?
c. Construya una gráfi ca x� para el proceso y explique 
cómo se puede usar.
7.49 Las medias muestrales se calcularon para 40 
muestras de tamaño n � 5 para un proceso que se juzgó 
en control. Las medias de los 40 valores y la desviación 
estándar de las 200 mediciones combinadas fueron 
x�� � 155.9 y s � 4.3, respectivamente.
a. Use los datos para determinar los límites superior e 
inferior de control para una gráfi ca x�.
b. Construya una gráfi ca x� para el proceso y explique 
cómo se puede usar.
7.50 Explique la diferencia entre una gráfi ca x� y una 
gráfi ca p.
7.51 Muestras de n � 100 artículos se seleccionaron 
cada hora durante un periodo de 100 horas y la 
proporción muestral de defectuosas se calculó cada hora. 
La media de las 100 proporciones muestrales fue de .035.
a. Use los datos para determinar los límites superior e 
inferior de control para una gráfi ca p.
b. Construya una gráfi ca p para el proceso y explique 
cómo se puede usar.
7.52 Muestras de n � 200 artículos se seleccionaron 
cada hora durante un periodo de 100 horas y la 
proporción muestral de defectuosas se calculó cada hora. 
La media de las 100 proporciones muestrales fue de .041.
a. Use los datos para determinar los límites superior e 
inferior de control para una gráfi ca p.
b. Construya una gráfi ca p para el proceso y explique 
cómo se puede usar.
0.04
0.03
0.02
 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37
Day
UCL � 0.03948
p � 0.019
LCL � 0
P
ro
po
rt
io
n
P Chart of Defects
0.01
0.00
FIGURA 7.16
Gráfi ca p del MINITAB 
para el ejemplo 7.9
●
Probabilidad_Mendenhall_07.indd 285Probabilidad_Mendenhall_07.indd 285 5/14/10 8:43:32 AM5/14/10 8:43:32 AM
 www.FreeLibros.me
	7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
	7.7 Una aplicación muestral: control estadístico de procesos (opcional)
	Una gráfica de control para la proporción de piezas defectuosas: la gráfica p
	Ejercicios