introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-104

Vista previa del material en texto

286 ❍ CAPÍTULO 7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
APLICACIONES
7.53 Veintiuno Un casino de juegos de azar registra 
y grafi ca la ganancia o pérdida diaria media, de cinco 
mesas de veintiuno, en una gráfi ca x�. La media general 
de las medias muestrales y la desviación estándar de los 
datos combinados de 40 semanas fueron x�� � $10 752 y 
s � $1 605, respectivamente.
a. Construya una gráfi ca x� para la ganancia diaria media 
por mesa de veintiuno.
b. ¿Cómo puede ser de valor esta gráfi ca x� al gerente del 
casino?
7.54 Remaches de latón Un fabricante de remaches 
de latón muestrea al azar 400 remaches cada hora y 
calcula la proporción de los defectuosos de la muestra. 
La proporción media muestral calculada de 200 muestras 
era igual a .021. Construya una gráfi ca de control para la 
proporción de defectuosos en muestras de 400 remaches. 
Explique la forma en que la gráfi ca de control puede ser 
de valor para un gerente.
7.55 Especifi caciones en madera El 
gerente de una compañía de materiales de 
construcción muestrea al azar la madera que recibe 
para ver si cumple con especifi caciones de calidad. De 
cada embarque, 100 piezas de madera de 2 � 4 son 
inspeccionadas y juzgadas de acuerdo a si son de primera 
(aceptable) o de segunda (defectuosa) clase. Las 
proporciones de piezas de madera de 2 � 4 de segunda 
registradas para 30 embarques fueron como sigue:
.14 .21 .19 .18 .23 .20 .25 .19 .22 .17
.21 .15 .23 .12 .19 .22 .15 .26 .22 .21
.14 .20 .18 .22 .21 .13 .20 .23 .19 .26
Construya una gráfi ca de control para la proporción de 
piezas de madera de 2 � 4 en muestras de 100 piezas 
de madera. Explique la forma en que la gráfi ca de control 
puede ser empleada por el gerente de la compañía de 
materiales de construcción.
7.56 Planta generadora de electricidad a base de 
carbón Una planta generadora de electricidad a base de 
carbón prueba y mide tres especímenes de carbón al día, 
para vigilar el porcentaje de ceniza en el carbón. La media 
general de 30 medias muestrales diarias y la desviación 
estándar combinada de todos los datos fueron x�� � 7.24 
y s � .07, respectivamente. Construya una gráfi ca x� para 
el proceso y explique la forma en que puede ser de valor 
para el gerente de la planta generadora de electricidad.
7.57 Planta nuclear de energía 
eléctrica Los datos de la tabla son medidas 
de la radiación en partículas de aire en una planta 
nuclear de energía eléctrica. Cuatro mediciones se 
registraron a intervalos semanales en un periodo de 26 
semanas. Use los datos para construir una gráfi ca x� y 
grafi que los 26 valores de x�. Explique la forma en que se 
puede usar la gráfi ca. 
Semana Radiación
 1 .031 .032 .030 .031
 2 .025 .026 .025 .025
 3 .029 .029 .031 .030
 4 .035 .037 .034 .035
 5 .022 .024 .022 .023
 6 .030 .029 .030 .030
 7 .019 .019 .018 .019
 8 .027 .028 .028 .028
 9 .034 .032 .033 .033
 10 .017 .016 .018 .018
 11 .022 .020 .020 .021
 12 .016 .018 .017 .017
 13 .015 .017 .018 .017
 14 .029 .028 .029 .029
 15 .031 .029 .030 .031
 16 .014 .016 .016 .017
 17 .019 .019 .021 .020
 18 .024 .024 .024 .025
 19 .029 .027 .028 .028
 20 .032 .030 .031 .030
 21 .041 .042 .038 .039
 22 .034 .036 .036 .035
 23 .021 .022 .024 .022
 24 .029 .029 .030 .029
 25 .016 .017 .017 .016
 26 .020 .021 .020 .022
7.58 Bates de béisbol Una planta fabricante de 
maderas duras tiene varias líneas de producción diferentes 
para hacer bates de béisbol de diferentes pesos. Una 
de esas líneas de producción está diseñada para producir 
bates que pesan 32 onzas. Durante un tiempo, cuando 
se sabe que el proceso de producción está en control 
estadístico, el peso promedio de un bate se encontró que 
era de 31.7 onzas. Los datos observados se reunieron de 50 
muestras, cada una de ellas formada de 5 mediciones. Se 
encontró que la desviación estándar de todas las muestras 
era s � .2064 onzas. Construya una gráfi ca x� para vigilar el 
proceso de producción de bates de 32 onzas.
7.59 Más bates de béisbol Consulte el ejercicio 
7.58 y suponga que, durante un día cuando el 
estado del proceso de producción de bates de 32 onzas 
era desconocido, se obtuvieron las siguientes mediciones 
a intervalos de una hora.
Hora x� Hora x�
 1 31.6 4 33.1
 2 32.5 5 31.6
 3 33.4 6 31.8
Cada medición representa una estadística calculada de una 
muestra de cinco pesos de bates seleccionados del proceso 
de producción durante cierta hora. Use la gráfi ca de control 
construida en el ejercicio 7.58 para supervisar el proceso.
DATOSMISMIS
EX0755
DATOSMISMIS
EX0757
Probabilidad_Mendenhall_07.indd 286Probabilidad_Mendenhall_07.indd 286 5/14/10 8:43:32 AM5/14/10 8:43:32 AM
 www.FreeLibros.me
 REPASO DEL CAPÍTULO ❍ 287
Conceptos y fórmulas clave
I. Planes muestrales y diseños 
experimentales
1. Muestreo aleatorio simple
a. Cada posible muestra de tamaño n es igual-
mente probable de ocurrir.
b. Use una computadora o tabla de números alea-
torios.
c. Los problemas son: sin respuesta, baja cober-
tura y sesgo verbal.
2. Otros planes muestrales con aleatorización
a. Muestreo aleatorio estratifi cado
b. Muestreo de conglomerado
c. Muestreo sistemático de 1 en k
3. Muestreo no aleatorio
a. Muestreo de conveniencia
b. Muestreo de juicio
c. Muestreo de cuota
II. Estadísticas y distribuciones 
muestrales
1. Las distribuciones muestrales describen los posi-
bles valores de una estadística y con qué frecuen-
cia se presentan en muestreo repetido.
2. Las distribuciones muestrales se pueden deducir 
matemáticamente, aproximarse en forma empírica 
o hallarse usando teoremas estadísticos.
3. El teorema del límite central dice que las sumas 
y promedios de mediciones de una población no 
normal, con media m fi nita y desviación estándar 
s, tienen distribuciones aproximadamente norma-
les para muestras grandes de tamaño n.
III. Distribución muestral de la media 
muestral
1. Cuando muestras de tamaño n se sacan al azar de 
una población normal con media m y varianza s2, 
la media muestral x� tiene una distribución normal 
con media m y desviación estándar s/ �
__
 n .
2. Cuando muestras de tamaño k se sacan al azar de 
una población no normal con media m y varianza 
s2, el teorema del límite central asegura que la 
media muestral x� tendrá una distribución aproxi-
madamente normal con media m y desviación 
estándar s/ �
__
 n cuando n es grande (n � 30).
3. Las probabilidades que contengan la media mues-
tral pueden calcularse al estandarizar el valor de x� 
usando z:
z � 
x� � m_____ 
s/ �
__
 n 
 
IV. Distribución muestral 
de la proporción muestral
1. Cuando muestras de tamaño n se toman de una 
población binomial con parámetro p, la propor-
ción muestral p̂ tendrá una distribución aproxi-
madamente normal con media p y desviación 
estándar �
____
 pq/n mientras np � 5 y nq � 5.
2. Las probabilidades que comprendan la proporción 
muestral se pueden calcular al estandarizar el 
valor p̂ usando z:
z � 
p̂ � p
 _____ 
 �
___
 
pq
 ___ n 
 
V. Control estadístico de un proceso
1. Para vigilar un proceso cuantitativo, use una 
gráfi ca x�. Seleccione k muestras de tamaño n y 
calcule la media general x�� y la desviación están-
dar s de todas las nk mediciones. Genere límites 
de control superiores e inferiores como
x�� � 3 
s ___ 
 �
__
 n 
 
 Si una media muestral excede de estos límites, el 
proceso está fuera de control.
2. Para vigilar un proceso binomial, use una gráfi ca 
p. Seleccione k muestras de tamaño n y calcule el 
promedio de las proporciones muestrales como
p� � 
S p̂i ___ 
k
 
 Genere límites de control superiores e inferiores 
como
p� � 3 �
___________
 
 p� (1 � p�)
 ___________ n 
 Si una proporción muestral excede de estos lími-
tes, el proceso está fuera de control.
REPASO DEL CAPÍTULO
Probabilidad_Mendenhall_07.indd 287Probabilidad_Mendenhall_07.indd 287 5/14/10 8:43:32 AM5/14/10 8:43:32 AM
 www.FreeLibros.me
288 ❍ CAPÍTULO 7 DISTRIBUCIONES MUESTRALESMINITABMIMI
El teorema del límite central en operación
El MINITAB es una herramienta perfecta para explorar la forma en que el teorema del 
límite central funciona en la práctica. Recuerde que, según el teorema del límite central, 
si muestras aleatorias de tamaño n se sacan de una población no normal con media m 
y desviación estándar s, entonces cuando n es grande, la distribución muestral de la 
media muestral x� será aproximadamente normal con la misma media m y con error es-
tándar s/ �
__
 n . Intentemos muestrear a partir de una población no normal con la ayuda 
del MINITAB.
En una hoja de trabajo MINITAB nueva, genere 100 muestras de tamaño n � 30 de una 
distribución no normal llamada distribución exponencial. Use Calc � Random Data 
� Exponential. Teclee 100 para el número de renglones de datos y guarde los resulta-
dos en C1-C30 (véase la fi gura 7.17). Deje la media en el valor predeterminado de 1.0, el 
umbral en 0.0 y dé un clic en OK. Los datos se generan y guardan en la hoja de trabajo. 
Use Graph � Histogram � Simple para ver la distribución de algunos de los datos, 
por ejemplo C1 (como en la fi gura 7.18). Observe que la distribución no tiene forma de 
montículo; está sumamente sesgada a la derecha.
Para la distribución exponencial que hemos empleado, la media y desviación estándar 
son m � 1 y s � 1, respectivamente. Verifi que las estadísticas descriptivas para una de 
las columnas (use Stat � Basic Statistics � Display Descriptive Statistics) y se verá 
que las 100 observaciones tienen una media muestral y desviación estándar que son cer-
canas pero no exactamente iguales a 1. A continuación, genere 100 valores de x� con base 
en muestras de tamaño n � 30 al crear una columna de medias para los 100 renglones. 
Use Calc � Row Statistics y seleccione Mean. Para promediar las entradas en todas las 
30 columnas, seleccione o teclee C1-C30 en la caja de variables de Entrada y guarde los 
resultados en C31 (véase la fi gura 7.19). Ahora podrá ver la distribución de las medias 
muestrales usando Graph � Histogram � Simple, seleccionando C31 y dando un clic 
en OK. La distribución de las 100 medias muestrales generadas para nuestro ejemplo se 
ilustran en la fi gura 7.20.
FIGURA 7.17
●
Probabilidad_Mendenhall_07.indd 288Probabilidad_Mendenhall_07.indd 288 5/14/10 8:43:32 AM5/14/10 8:43:32 AM
 www.FreeLibros.me
	7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
	Repaso del capítulo