introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-108

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298 ❍ CAPÍTULO 8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
8.1
8.2
Parámetro ⇔ población.
Estadística ⇔ muestra.
CONSEJOMIMI
DÓNDE HEMOS ESTADO
Los primeros siete capítulos de este libro han dado a usted el material que necesitará para 
entender una inferencia estadística y cómo puede aplicarse ésta en situaciones prácticas. 
Los primeros tres capítulos se refieren al uso de estadísticas descriptivas, tanto gráficas 
como numéricas, para describir e interpretar conjuntos de mediciones. En los siguientes 
tres capítulos vimos probabilidad y distribuciones de probabilidad, que son las herra-
mientas básicas empleadas para describir poblaciones de mediciones. Las distribuciones 
binomiales y normales se destacaron como importantes para aplicaciones prácticas. 
Numerosas estadísticas son sumas o promedios calculados de mediciones muestrales. El 
teorema del límite central dice que, incluso si las poblaciones muestrales no son norma-
les, las distribuciones muestrales de esas estadísticas serán aproximadamente normales 
cuando el tamaño muestral n es grande. Estas estadísticas son las herramientas que se 
usarán para estadísticas inferenciales, es decir, hacer inferencias acerca de una pobla-
ción usando información contenida en una muestra.
A DÓNDE VOY; 
INFERENCIA ESTADÍSTICA
La inferencia, específicamente la toma y predicción de decisiones, tiene siglos de anti-
güedad y desempeña un papel muy importante en la vida de casi todas las personas. 
Veamos a continuación algunas aplicaciones:
• El gobierno necesita predecir las tasas de interés a corto y largo plazos.
• Un corredor financiero desea pronosticar el comportamiento del mercado de 
acciones.
• Un metalurgista desea determinar si un nuevo tipo de acero es más resistente a 
altas temperaturas que el actual.
• Una consumidora desea estimar el precio de venta de su casa antes de ponerla en 
el mercado.
Hay muchas formas de tomar estas decisiones o predicciones, algunas son subjetivas y 
otras son objetivas por naturaleza. ¿Qué tan buenas serán las predicciones o decisiones? 
Aun cuando usted pueda pensar que su propia capacidad de tomar decisiones es muy 
buena, la experiencia sugiere que éste puede no ser el caso. Es la función del estadístico 
matemático dar métodos de toma de inferencia estadística son mejores y más confiables 
que únicamente cálculos subjetivos.
La inferencia estadística se ocupa de tomar decisiones o predicciones acerca de 
parámetros, es decir, las medidas numéricas descriptivas que caracterizan a una po-
blación. Tres parámetros que encontramos en capítulos anteriores son la media pobla-
cional m, la desviación poblacional estándar s y la proporción binomial p. En infe-
rencia estadística, un problema práctico se expone de otra forma en el marco de una 
población con un parámetro específico de interés. Por ejemplo, el metalurgista podría 
medir el promedio de coeficientes de expansión de ambos tipos de acero y luego com-
parar sus valores.
Los métodos para hacer inferencias acerca de parámetros poblacionales caen en una 
de dos categorías:
• Estimación: Estimar o predecir el valor del parámetro
• Prueba de hipótesis: Tomar una decisión acerca del valor de un parámetro, con 
base en alguna idea preconcebida acerca de cuál podría ser su valor
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 8.3 TIPOS DE ESTIMADORES ❍ 299
8.3
E J E M P L O 8.1
E J E M P L O 8.2
Los circuitos en computadoras y otros equipos electrónicos están formados por una o 
más tarjetas de circuito impreso (PCB) y es frecuente que las computadoras sean repara-
das con sólo cambiar una o más de estas tarjetas. En un intento por hallar el ajuste apro-
piado de un proceso de chapa aplicado a uno de los lados de una PCB, un supervisor de 
producción podría estimar el grosor aproximado de chapa de cobre en las PCB usando 
muestras de varios días de operación. Como no sabe del grosor promedio m antes de 
observar el proceso de producción, el suyo es un problema de estimación.
El supervisor del ejemplo 8.1 recibe instrucciones del propietario de la planta de que el 
grosor de la chapa de cobre no debe ser menor a .001 de pulgada, para que el proceso 
esté en control. Para decidir si el proceso está o no está en control, el supervisor debe 
formular una prueba. Podría hacer una hipótesis de que el proceso está en control, es 
decir, suponer que el grosor promedio de la chapa de cobre es .001 o más, y usar mues-
tras de varios días de operación para decidir si es o no es correcta su hipótesis. El método 
de la toma de decisión del supervisor se denomina prueba de hipótesis.
¿Cuál método de inferencia debe usarse? Esto es, ¿el parámetro debe ser estimado o 
se debe probar una hipótesis respecto a su valor? La respuesta está dictada por la pre-
gunta práctica planteada y a veces es determinada por preferencias personales. Como 
la estimación y las pruebas de hipótesis se usan con frecuencia en literatura científica, 
incluimos ambos métodos en éste y el siguiente capítulo.
Un problema estadístico, que comprende planeación, análisis y toma de inferencias, 
está incompleto sin una medida de la bondad de la inferencia. Esto es, ¿qué tan preciso 
o confiable es el método empleado? Si una corredora financiera predice que el precio 
de una acción será de $80 el próximo lunes, ¿estaría usted dispuesto a tomar acciones 
para comprar o vender su acción sin saber qué tan confiable es la predicción de ella? ¿La 
predicción estará a no más de $1, $2 o $10 del precio real el próximo lunes? Los proce-
dimientos estadísticos son importantes porque dan dos tipos de información:
• Métodos para hacer la inferencia
• Una medida numérica de la bondad o confiabilidad de la inferencia
TIPOS DE ESTIMADORES
Para estimar el valor de un parámetro poblacional, se puede usar información de la 
muestra en la forma de un estimador. Los estimadores se calculan usando información 
de las observaciones muestrales y, en consecuencia, por definición son también estadís-
ticas.
Defi nición Un estimador es una regla, generalmente expresada como fórmula, que 
nos dice cómo calcular una estimación basada en información de la muestra.
Los estimadores se usan en dos formas diferentes:
• Estimación puntual: Con base en datos muestrales, se calcula un solo número 
para estimar el parámetro poblacional. La regla o fórmula que describe este 
cálculo se denomina estimador puntual y el número resultante recibe el 
nombre de estimación puntual.
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300 ❍ CAPÍTULO 8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
E J E M P L O 8.3
8.4
Parámetro = diana del 
blanco.
Estimador = bala o fl echa.
CONSEJOMIMI
FIGURA 8.1
¿Cuál tirador es el mejor?
●
Consistentemente 
debajo de 
la diana
Consistentemente 
arriba de 
la diana
Fuera de la diana 
por un amplio 
margen
El mejor 
tirador
• Estimación de intervalo: Con base en datos muestrales, dos números se calcu-
lan para formar un intervalo dentro del cual se espera esté el parámetro. La regla 
o fórmula que describe este cálculo se denomina estimador de intervalo y el par 
de números resultantes se llama estimación de intervalo o intervalo de con-
fi anza.
Un veterinario desea estimar el aumento mensual promedio en el peso de cachorros de 
raza golden retriever, de 4 meses de edad, que han sido puestos a dieta de carne de cor-
dero y arroz. La población está formada por los aumentos mensuales en el peso de todos 
los cachorros de raza golden retriever a los que se da esta dieta particular. El veterinario 
desea estimar el parámetro desconocido m, el aumento mensual promedio en el peso 
para esta población hipotética. Un posible estimador basado en datos muestrales es la 
media muestral, 
_
 x � Sxi/n. Podría usarse en la forma de un solo número o estimación 
puntual, por ejemplo 3.8 libras, o podría usarseuna estimación de intervalo y estimar 
que el aumento promedio en el peso será entre 2.7 y 4.9 libras.
Los procedimientos de estimación tanto puntuales como de intervalo usan informa-
ción dada por la distribución muestral del estimador específico que se haya escogido 
para usarse. Empezaremos por exponer la estimación puntual y su uso para estimar 
medias poblacionales y proporciones.
ESTIMACIÓN PUNTUAL
En una situación práctica, puede haber varias estadísticas que podrían usarse como esti-
madores puntuales para un parámetro poblacional. Para determinar cuál de las opciones 
es mejor, usted necesita saber cómo se comporta el estimador en muestreo repetido, 
descrito por su distribución muestral.
Por medio de analogía, considere en disparar un revólver a un blanco. El parámetro 
de interés es la diana a la cual se disparan balas. Cada bala representa una sola estima-
ción muestral, disparada por el revólver, que representa el estimador. Suponga que un 
amigo dispara una sola bala y acierta en la diana. ¿Se puede concluir que él es un exce-
lente tirador? ¿Se pondría usted de pie junto al blanco cuando él dispare una segunda 
bala? Es probable que no, porque no tiene medida de lo bien que él dispare en intentos 
repetidos. ¿Siempre acierta en el blanco o sus tiros son demasiado altos o demasiado 
bajos en forma consistente? ¿Sus tiros se agrupan alrededor del blanco o fallan acertar 
en el blanco por un amplio margen? La figura 8.1 muestra varias configuraciones del 
blanco. ¿Cuál blanco escogería usted como perteneciente al mejor tiro?
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	8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
	8.1 Dónde hemos estado
	8.2 A dónde voy; inferencia estadística
	8.3 Tipos de estimadores
	8.4 Estimación puntual