introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-143

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10.4 INFERENCIAS DE MUESTRA PEQUEÑA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES: MUESTRAS ALEATORIAS INDEPENDIENTES ❍ 403
contra la hipótesis alternativa
Ha : m1 � m2 [o Ha : (m1 � m2) � 0]
Para efectuar la prueba t para estas dos muestras independientes, se debe suponer que 
las poblaciones muestreadas son normales y tienen la misma varianza s 2. ¿Es esto razo-
nable? Las gráficas de tallo y hoja de la figura 10.10 muestran al menos un patrón de 
“montículo”, de modo que la suposición de normalidad no es irracional.
En línea Salón de clase
2 8 2 579
3 124 3 1124
3 557 3 5
4 14 4 0
FIGURA 10.10
Gráfi cas de tallo y hoja 
para el ejemplo 10.5
●
f(t)
0 t1.746
Rechazar H0
α = .05
FIGURA 10.11
Región de rechazo para el 
ejemplo 10.5
●
Las gráfi cas de tallo y hoja 
pueden ayudar a decidir si la 
suposición de normalidad es 
razonable.
CONSEJOMIMI
Si usa calculadora, no 
redondee sino hasta el paso 
fi nal.
CONSEJOMIMI
Además, las desviaciones estándar de las dos muestras, calculadas como 
s1 � 4.9441 y s2 � 4.4752
no son diferentes lo suficiente para que dudemos de que las dos distribuciones pueden 
tener la misma forma. Si se hacen estas dos suposiciones y se calcula (usando precisión 
total) la estimación agrupada de la varianza común como
s2 � 
(n1 � 1)s
2
1 � (n2 � 1)s
2
2
���
n1 � n2 � 2
 � 
8(4.9441)2 � 8(4.4752)2
���
9 � 9 � 2
 � 22.2361
se puede calcular entonces el estadístico de prueba,
t � 
 x�1 � x�2
��
�s2��n11� � �n
1
2
��
 � 
35.22 � 31.56
���
 �22.236 1��19� � �19��
 � 1.65
La hipótesis alternativa Ha : m1 � m2 o, lo que es equivalente, Ha : (m1 � m2) � 0 implica 
que el experimentador debe usar una prueba de una cola en la cola superior de la distribu-
ción t con (n1 � n2 � 2) � 16 grados de libertad. Se puede hallar el valor crítico apropiado 
para una región de rechazo con a � .05 en la tabla 4 del apéndice I, y H0 será rechazada si 
t � 1.746. Comparando el valor observado del estadístico de prueba t � 1.65 con el valor 
crítico t.05 � 1.746, no se puede rechazar la hipótesis nula (véase la figura 10.11). Hay 
insuficiente evidencia para indicar que las calificaciones del curso en línea sean más altas 
que las calificaciones del curso convencional al nivel de significancia de 5%.
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404 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
Encuentre el valor p que sería reportado para la prueba estadística del ejemplo 10.5.
Solución El valor observado de t para esta prueba de una cola es t � 1.65. Por 
tanto,
valor p � P(t � 1.65)
para un estadístico t con 16 grados de libertad. Recuerde que no se puede obtener esta 
probabilidad directamente de la tabla 4 del apéndice I; sólo se puede limitar el valor p 
usando los valores críticos de la tabla. Como el valor observado, t � 1.65, está entre 
t.100 � 1.337 y t.050 � 1.746, el área de cola a la derecha de 1.65 está entre .05 y .10. El 
valor p para esta prueba se informaría como
.05 � valor p � .10
Como el valor p es mayor a .05, casi todos los investigadores informarían los resulta-
dos como no signifi cativos.
E J E M P L O 10.6
APPLETMIMI
Se puede usar el applet Two-Sample t-Test: Independent Samples (Prueba t para 
dos muestras: Muestras independientes), que se ve en la figura 10.12, para visua-
lizar los valores p para pruebas ya sea de una o de dos colas de la diferencia entre 
dos medias poblacionales. El procedimiento sigue el mismo patrón que en applets 
previos. Es necesario introducir un resumen estadístico, es decir, los valores de x�1, x�2, 
n1, n2, s1 y s2 y presionar “Enter” después de cada entrada; el applet calculará t (supo-
niendo varianzas iguales) y dará la opción de escoger valores p de una o de dos colas 
(Área a la Izquierda, Área a la Derecha o Dos Colas), así como un área Central que 
no se necesitará.
Para los datos del ejemplo 10.5, el valor p es el área de una cola a la derecha de t � 
1.65. ¿El valor p confirma las conclusiones para la prueba en el ejemplo 10.5?
FIGURA 10.12
Applet Two-Sample 
t-Test: Independent 
Samples
●
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10.4 INFERENCIAS DE MUESTRA PEQUEÑA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES: MUESTRAS ALEATORIAS INDEPENDIENTES ❍ 405
E J E M P L O 10.7
Mayor s 2/menor s 2 � 3
 ⇔
suposición de varianza es 
razonable.
CONSEJOMIMI
(x�1 � x�2) � D0
��
��ns
2
1
1
� � �
n
s22
2
�
Use un límite inferior de confianza de 95% para estimar la diferencia (m1 � m2) en el 
ejemplo 10.5. ¿El límite de confianza inferior indica que el promedio en línea es signifi-
cativamente más alto que el promedio de salón de clase?
Solución El límite inferior de confianza toma una forma familiar, es decir, el estima-
dor puntual (x�1 � x�2) menos una cantidad igual a ta por el error estándar del estimador. 
Sustituyendo en la fórmula, se puede calcular el límite inferior de confianza de 95%:
 (x�1 � x�2) � ta�s2��n11� � �n
1
2
��
(35.22 � 31.56) � 1.746�22.236 1��19� � �19��
 3.66 � 3.88
o (m1 � m2) � �.22. Como el valor (m1 � m2) � 0 está incluido en el intervalo de 
confi anza, es posible que las dos medias sean iguales. Hay insufi ciente evidencia para 
indicar que el promedio en línea sea más alto que el promedio en salón de clase.
El procedimiento de dos muestras que usa una estimación agrupada de la varianza 
común s 2 se apoya en cuatro importantes suposiciones:
• Las muestras deben ser seleccionadas al azar. Las muestras no seleccionadas al 
azar pueden introducir sesgo en el experimento y así alterar los niveles de signifi -
cancia que el experimentador informe.
• Las muestras deben ser independientes. Si no es así, éste no es el procedimiento 
estadístico apropiado. En la sección 10.5 analizamos otro procedimiento para 
muestras dependientes.
• Las poblaciones de las cuales se muestrea deben ser normales. No obstante, las 
desviaciones moderadas desde la normalidad no afectan seriamente la dis-
tribución del estadístico de prueba, en especial si los tamaños muestrales son 
casi iguales.
• Las varianzas poblacionales deben ser iguales o casi iguales para asegurar que 
los procedimientos sean válidos.
Si las varianzas poblacionales están lejos de ser iguales, hay un procedimiento alter-
nativo para estimación y prueba que tiene una distribución t aproximada en muestreo 
repetido. Como regla práctica, se debe usar este procedimiento si la razón entre las dos 
varianzas muestrales
 
Mayor s 2
 ________ 
Menor s 2
 � 3
Como las varianzas poblacionales no son iguales, el estimador agrupado s2 ya no es apro-
piado, y cada varianza poblacional debe ser estimada por su correspondiente varianza 
muestral. El estadístico de prueba resultante es
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