introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-150

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424 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
mediciones 353, 351, 351 y 355. Pruebe la hipótesis nula 
de que s � .7 contra la alternativa de s � .7. Use a � .05.
10.52 Precisión de instrumentos, continúa
Encuentre un intervalo de confi anza de 90% para la 
varianza poblacional del ejercicio 10.51.
10.53 Potencia de medicamentos Para pacientes 
tratados debidamente, los medicamentos prescritos por 
médicos deben tener una potencia que sea defi nida con 
precisión. En consecuencia, los valores de distribución de 
potencia para envíos de un medicamento no sólo deben 
tener un valor medio como se especifi ca en el envase del 
medicamento, sino que también la variación en potencia 
debe ser pequeña. De otro modo, los farmacéuticos 
distribuirían recetas que serían peligrosamente potentes 
o tendrían una baja potencia y serían inefi caces. Un 
fabricante de medicinas dice que su medicina está 
marcada con una potencia de 5 	 .1 miligramos por 
centímetro cúbico (mg/cc). Una muestra aleatoria de 
cuatro envases dio lecturas de potencia iguales a 4.94, 
5.09, 5.03 y 4.90 mg/cc.
a. ¿Los datos presentan suficiente evidencia para indicar 
que la potencia media difiere de 5 mg/cc?
b. ¿Los datos presentan suficiente evidencia para indicar 
que la variación en potencia difiere de los límites de 
error especificados por el fabricante? [SUGERENCIA: 
A veces es difícil determinar con exactitud lo que se 
entiende por límites de potencia especificados por 
un fabricante. Como éste implica que los valores de 
potencia caerán en los intervalos 5 	 .1 mg/cc con 
muy alta probabilidad, es decir que la implicación es 
siempre, supongamos que el rango .2; o (4.9 a 5.1), 
representa 6s, como lo sugiere la Regla Empírica. 
Observe que hacer que el rango sea igual a 6s en lugar 
de 4s pone una interpretación rigurosa en lo dicho por 
el fabricante. Deseamos que la potencia caiga en el 
intervalo 5 	 .1 con muy alta probabilidad.] 
10.54 Potencia de medicamentos, continúa
Consulte el ejercicio 10.53. La prueba de 60 envases de 
medicamento adicionales seleccionados al azar dio 
una media muestral y varianza igual a 5.04 y .0063 (para 
el total de n � 64 envases). Usando un intervalo de 
confi anza de 95%, estime la varianza de las mediciones 
de potencia hechas por el fabricante.
10.55 Cascos de seguridad Un fabricante de cascos 
de seguridad para trabajadores de la construcción, está 
preocupado por la media y la variación de las fuerzas 
que transmiten los cascos a los usuarios cuando son 
sometidos a una fuerza externa estándar. El fabricante 
desea que la fuerza media transmitida por cascos sea de 
800 libras (o menos), muy por debajo del límite legal 
de 1000 libras y que s sea menor a 40. Se probó una 
muestra aleatoria de n � 40 cascos y se encontró que la 
media y varianza muestrales eran iguales a 825 libras y 
2350 libras2, respectivamente.
a. Si m � 800 y s � 40, ¿es probable que cualquier 
casco, sometido a la fuerza externa estándar, transmita 
una fuerza de más de 1000 libras al usuario? Explique.
b. ¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar que, 
cuando los casos son sometidos a la fuerza externa 
estándar, la fuerza media transmitida por los cascos 
excede de 800 libras?
10.56 Cascos de seguridad, continúa Consulte el 
ejercicio 10.55. ¿Los datos dan sufi ciente evidencia para 
indicar que s excede de 40?
10.57 Focos eléctricos A un fabricante 
de focos eléctricos industriales le gusta que 
éstos tengan una vida media que sea aceptable para sus 
clientes, además de tener una variación en vida que 
sea relativamente pequeña. Si algunos focos se funden 
demasiado pronto en su vida útil, los clientes se molestan 
y cambian a productos de la competencia. Grandes 
variaciones arriba de la media reducen las ventas de 
repuestos y una variación en general interrumpe los 
programas de reposición de los clientes. Una muestra de 
20 focos probados produjo las siguientes duraciones 
de vida útil (en horas):
2100 2302 1951 2067 2415 1883 2101 2146 2278 2019
1924 2183 2077 2392 2286 2501 1946 2161 2253 1827
El fabricante desea controlar la variabilidad en duración 
de vida útil para que s se menor a 150 horas. ¿Los datos 
dan sufi ciente evidencia para indicar que el fabricante 
está alcanzado su objetivo? Pruebe usando a � .01.
DATOSMISMIS
EX1057
COMPARACIÓN DE DOS VARIANZAS 
POBLACIONALES
Así como una sola varianza poblacional a veces es importante para un experimentador, 
usted también necesita comparar dos varianzas poblacionales. Puede tener que compa-
rar la precisión de un aparato de medición con la de otro, la estabilidad del proceso de 
manufactura con la de otro, o incluso la variabilidad en el procedimiento de calificacio-
nes de un profesor universitario con el de otro.
10.7
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 10.7 COMPARACIÓN DE DOS VARIANZAS POBLACIONALES ❍ 425
Una forma de comparar dos varianzas poblacionales, s 21 y s
2
2, es usar la razón entre 
las varianzas muestrales, s21/s
2
2. Si s
2
1/s
2
2 es casi igual a 1, se encuentra poca evidencia 
para indicar que s 21 y s
2
2 son iguales. Por otra parte, un valor muy grande o muy peque-
ño para s21/s
2
2 da evidencia de una diferencia en las varianzas poblacionales.
¿Qué tan grande debe ser s21/s
2
2 para que haya evidencia suficiente para rechazar la 
siguiente hipótesis nula?
H0 : s
2
1 � s
2
2
La respuesta a esta pregunta puede hallarse al estudiar la distribución de s21/s
2
2 en un 
muestreo repetido.
Cuando muestras aleatorias se sacan de entre dos poblaciones normales con varian-
zas iguales, es decir, s 21 � s
2
2; entonces s
2
1/s
2
2 tiene una distribución de probabilidad en 
un muestreo repetido que los estadísticos conocen como distribución F, que se ilustra 
en la figura 10.20.
SUPOSICIONES PARA QUE s21/s
2
2 TENGA 
UNA DISTRIBUCIÓN F
• Muestras aleatorias e independientes se sacan de cada una de dos poblaciones 
normales.
• La variabilidad de las mediciones en las dos poblaciones es igual y puede ser 
medida por una varianza común, s 2; esto es, s 21 � s
2
2 � s
2.
No es importante que usted conozca la ecuación compleja de la función de densidad 
para F. Para nuestros fines, sólo se necesita usar los valores críticos bien tabulados de F 
dados en la tabla 6 en el apéndice I.
Los valores críticos de F y valores p para pruebas de significancia también se pueden 
hallar usando el applet F Probabilities (Probabilidades F ) que se ve en la figura 10.21.
Al igual que la distribución x2, la forma de la distribución F es no simétrica y 
depende del número de grados de libertad asociados con s21 y s
2
2, representados como 
df1 � (n1 � 1) y df2 � (n2 � 1), respectivamente. Esto complica la tabulación de valo-
res críticos de la distribución F porque se requiere de una tabla para cada combinación 
diferente de df1, df2 y a.
En la tabla 6 del apéndice I, los valores críticos de F para áreas de cola derecha 
correspondientes a a � .100, .050, .025, .010 y .005 están tabulados para varias com-
binaciones de df1 grados de libertad del numerador y df2 grados de libertad del deno-
minador. Una parte de la tabla 6 se reproduce en la tabla 10.6. El número de grados 
de libertad df1 del numerador aparece en el margen superior y el número de grados de 
libertad del denominador df2 aparece a lo largo del margen lateral. Los valores de a se 
encuentran en la segunda columna. Para una combinación fija de df1 y df2, los valores 
críticos apropiados de F se encuentran en la línea indizada por el valor de a requerido.
F
f(F)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a 
Fa
FIGURA 10.20
Una distribución F con 
df1 � 10 y df2 � 10
●
Prueba de dos varianzas: 
df1 � n1 � 1 y 
df2 � n2 � 1
CONSEJOMIMI
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426 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑASCompruebe su capacidad para usar la tabla 6 del apéndice I al verificar los siguientes 
enunciados:
1. El valor de F con área .05 a su derecha para df1 � 6 y df2 � 9 es 3.37.
2. El valor de F con área .05 a su derecha para df1 � 5 y df2 � 10 es 3.33.
3. El valor de F con área .01 a su derecha para df1 � 6 y df2 � 9 es 5.80.
Estos valores están sombreados en la tabla 10.6.
FIGURA 10.21
Applet F Probabilities
●
TABLA 10.6 
●
 Formato para la tabla F de la tabla 6 del apéndice I
df1
df2 a 1 2 3 4 5 6
 1 .100 39.86 49.50 53.59 55.83 57.24 58.20
 .050 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0
 .025 647.8 799.5 864.2 899.6 921.8 937.1
 .010 4052 4999.5 5403 5625 5764 5859
 .005 16211 20000 21615 22500 23056 23437
 2 .100 8.53 9.00 9.16 9.24 9.29 9.33
 .050 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33
 .025 38.51 39.00 39.17 39.25 39.30 39.33
 .010 98.50 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33
 .005 198.5 199.0 199.2 199.2 199.3 199.3
 3 .100 5.54 5.46 5.39 5.34 5.31 5.28
 .050 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94
 .025 17.44 16.04 15.44 15.10 14.88 14.73
 .010 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91
 .005 55.55 49.80 47.47 46.19 45.39 44.84
. . . .
. . . .
. . . .
 9 .100 3.36 3.01 2.81 2.69 2.61 2.55
 .050 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37
 .025 7.21 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32
 .010 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80
 .005 13.61 10.11 8.72 7.96 7.47 7.13
10 .100 3.29 2.92 2.73 2.61 2.52 2.46
 .050 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22
 .025 6.94 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07
 .010 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39
 .005 12.83 9.43 8.08 7.34 6.87 6.54
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	10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
	10.7 Comparación de dos varianzas poblacionales