introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-179

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12.4 UN ANÁLISIS DE VARIANZA PARA REGRESIÓN LINEAL ❍ 511
La salida impresa MINITAB también da alguna información acerca de la variación en 
el experimento. Cada una de las estimaciones de mínimos cuadrados, a y b, tiene un 
error estándar asociado, marcado “SE Coef” en la fi gura 12.6. Hacia la mitad de la salida 
impresa se encuentra la mejor estimación insesgada de s —S � �
_____
 MSE � �
_______
 75.7532 � 
8.70363—, que mide el error residual, la variación no explicada o “sobrante” del expe-
rimento. No sorprenderá saber que las estadísticas t y F y sus valores p hallados en la 
salida impresa se usan para probar hipótesis estadísticas. En la siguiente sección expli-
camos estas entradas.
Regression Analysis: y versus x
The regression equation is
y = 40.8 + 0.766 x
Predictor Coef SE Coef T P
Constant 40.784 8.507 4.79 0.001
x 0.7656 0.1750 4.38 0.002
S = 8.70363 R-Sq = 70.5% R-Sq(adj) = 66.8%
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Regression 1 1450.0 1450.0 19.14 0.002
Residual Error 8 606.0 75.8
Total 9 2056.0
FIGURA 12.6
Salida impresa MINITAB 
para los datos de la tabla 
12.1
●
Busque a y b en la columna 
llamada “Coef”.
CONSEJOMIMI
TÉCNICAS BÁSICAS
12.1 Grafi que la recta correspondiente a la ecuación 
y � 2x � 1 al grafi car los puntos correspondientes a 
x � 0, 1 y 2. Dé el punto de cruce con el eje y y la 
pendiente para la recta.
12.2 Grafi que la recta correspondiente a la ecuación 
y � �2x � 1 al grafi car los puntos correspondientes 
a x � 0, 1 y 2. Dé el punto de cruce con el eje y y la 
pendiente para la recta. ¿Cómo se relaciona esta recta con 
la recta y � 2x � 1 del ejercicio 12.1?
12.3 Dé la ecuación y la gráfi ca para una recta con 
intersección con el eje y igual a 3 y pendiente igual a �1.
12.4 Dé la ecuación y gráfi ca para una recta con 
intersección con el eje y igual a �3 y pendiente igual a 1.
12.5 ¿Cuál es la diferencia entre modelos matemáticos 
deterministas y probabilistas?
12.6 Se le dan cinco puntos con estas coordenadas:
x �2 �1 0 1 2
y 1 1 3 5 5
a. Use el método de entrada de datos en su calculadora 
científi ca o grafi cadora para introducir las n � 5 
 EJERCICIOS12.4
observaciones. Encuentre las sumas de cuadrados y 
productos cruz, Sxx, Sxy y Syy.
b. Encuentre la recta de mínimos cuadrados para los 
datos.
c. Grafi que los cinco puntos y grafi que la recta del 
inciso b). ¿La recta parece ser un buen ajuste para los 
puntos?
d. Construya la tabla ANOVA para la regresión lineal.
e. Seis puntos tienen estas coordenadas:
12.7 Encuentre la recta de mínimos cuadrados para los 
datos.
x 1 2 3 4 5 6
y 5.6 4.6 4.5 3.7 3.2 2.7
a. Encuentre la recta de mínimos cuadrados para los 
datos.
b. Grafi que los seis puntos y grafi que la recta. ¿La recta 
parece ser un buen ajuste para los puntos?
c. Use la recta de mínimos cuadrados para predecir el 
valor de y cuando x � 3.5.
d. Llene los espacios faltantes en el análisis MINITAB de 
la tabla de varianza.
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512 ❍ CAPÍTULO 12 REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
Tabla ANOVA MINITAB para el ejercicio 12.7
Analysis of Variance
Source DF SS MS
Regression * *** 5.4321
Residual Error * 0.1429 ***
Total * 5.5750
APLICACIONES
12.8 Profesor Asimov El profesor Isaac Asimov fue 
uno de los escritores más prolífi cos de todos los tiempos. 
Antes de su muerte, escribió casi 500 libros durante 
una carrera de 40 años. De hecho, cuando su carrera 
avanzaba, fue incluso más productivo en términos del 
número de libros escritos en un periodo determinado.1 
Los datos siguientes dan el tiempo, en meses, necesario 
para escribir sus libros en incrementos de 100:
Número de libros, x 100 200 300 400 490
Tiempo en meses, y 237 350 419 465 507
a. Suponga que el número de libros x y el tiempo en 
meses y están relacionados linealmente. Encuentre la 
recta de mínimos cuadrados que relacione y con x.
b. Grafi que el tiempo como función del número de libros 
escritos usando una gráfi ca de dispersión y grafi que la 
recta de mínimos cuadrados en el mismo papel. ¿Le 
parece que la recta da un buen ajuste a los puntos?
c. Construya una tabla ANOVA para la regresión lineal.
12.9 Un experimento químico Con 
el uso de un procedimiento químico llamado 
polarografía diferencial de pulsos, un químico midió la 
máxima corriente generada (en microamperes) cuando 
una solución que contenía una cantidad determinada de 
níquel (en partes por mil millones, ppmm) se agregó a un 
regulador:2
x � Ni (ppmm) y � Corriente máxima (mA)
 19.1 .095
 38.2 .174
 57.3 .256
 76.2 .348
 95 .429
 114 .500
 131 .580
 150 .651
 170 .722
a. Use el método de entrada de datos en su calculadora 
para calcular las sumas de cuadrados preliminares y 
productos cruz, Sxx, Syy y Sxy.
b. Calcule la recta de regresión de mínimos cuadrados.
c. Grafi que los puntos y la recta ajustada. ¿Le parece 
razonable la suposición de una relación lineal?
d. Use la recta de regresión para predecir la máxima 
corriente generada cuando una solución, que contenga 
100 ppmm de níquel, se agregue al regulador.
e. Construya la tabla ANOVA para la regresión lineal.
12.10 Privación de sueño Se realizó un estudio 
para determinar los efectos de la privación 
de sueño en la capacidad de personas para 
resolver problemas cuando no duermen. Un total de 10 
personas participaron en el estudio, dos en cada uno 
de cinco niveles de privación de sueño: 8, 12, 16, 20 y 
24 horas. Después del periodo de privación de sueño, 
a cada persona se le aplicó un conjunto de problemas 
adicionales sencillos, registrándose el número de errores. 
Se obtuvieron estos resultados:
Número de errores, y 8, 6 6, 10 8, 14
Número de errores sin sueño, x 8 12 16
Número de errores, y 14, 12 16, 12
Número de errores sin sueño, x 20 24
a. ¿Cuántos pares de observaciones hay en el 
experimento?
b. ¿Cuál es el número total de grados de libertad?
c. Complete la salida impresa MINITAB.
Salida impresa MINITAB para el ejercicio 12.10
Análisis de regresión: y versus x
The regression equation is
y = 3.00 + 0.475 x
Predictor Coef SE Coef T P
Constant 3.000 2.127 1.41 0.196
x *** 0.1253 3.79 0.005
S = 2.24165 R-Sq = 64.2% R-Sq(adj) = 59.8%
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Regression ** 72.200 72.200 14.37 0.005
Residual Error ** *** 5.025
Total ** ***
d. ¿Cuál es la ecuación de predicción de mínimos 
cuadrados?
e. Use la ecuación de predicción para predecir el número 
de errores para una persona que no ha dormido 
durante 10 horas.
12.11 Exámenes de rendimiento El Índice de 
Rendimiento Académico (API) es una medida 
de rendimiento escolar que se basa en los 
resultados del examen Stanford 9. Las califi caciones 
DATOSMISMIS
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DATOSMISMIS
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DATOSMISMIS
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 12.4 UN ANÁLISIS DE VARIANZA PARA REGRESIÓN LINEAL ❍ 513
van de 200 a 1000, con 800 considerado como objetivo 
de largo alcance para escuelas. La tabla siguiente 
muestra el API para ocho escuelas elementales en el 
condado de Riverside, California, junto con el porcentaje 
de estudiantes de esa escuela que son considerados 
Estudiantes del Idioma Inglés (ELL).3
Escuela 1 2 3 4 5 6 7 8
API 588 659 710 657 669 641 557 743
ELL 58 22 14 30 11 26 39 6
a. ¿Cuál de las dos variables es la variable independiente 
y cuál es la dependiente? Explique su selección.
b. Use una gráfica de dispersión para grafi car los datos. 
¿La suposición de una relación lineal entre x y y es 
razonable?
c. Suponiendo que x y y estén relacionadas linealmente, 
calcule la recta de regresión de mínimos cuadrados.
d. Grafi que la recta sobre la gráfi ca de dispersión del 
inciso b). ¿La recta ajusta por los puntos?
12.12 ¿Qué tan largo es? ¿Qué tan bueno es 
usted para hacer estimaciones? Para probar la 
capacidad de una persona para estimar tamaños, 
se le mostraron 10 diferentes objetos y se le pidió estimar 
su longitud o diámetro. A continuación se midió el objeto 
y los resultados se registraron en la tabla siguiente.
Objeto Estimado (pulgadas) Real (pulgadas)
Lápiz 7.00 6.00
Plato de comida 9.50 10.25
Libro 1 7.50 6.75
Teléfono celular 4.00 4.25
Fotografía 14.50 15.75
Juguete 3.75 5.00
Cinturón 42.00 41.50
Pinza para ropa 2.75 3.75
Libro 2 10.00 9.25
Calculadora 3.50 4.75
a. Encuentre la recta de regresión de mínimos cuadrados 
para predecir la medida real como función de la 
medición estimada.
b. Grafi que los puntos y la recta ajustada. ¿Le parece 
razonable la suposición de una relación lineal?
12.13 Entrevistas de prueba De dos técnicas 
existentes para evaluación de personal, la 
primera requiere una entrevista de prueba de 
dos horas mientras que la segunda se puede completar en 
menos de una hora. Las puntuaciones para cada una de 
las 15 personas que tomaron ambas pruebas se dan en la 
tabla siguiente.
Solicitante Prueba 1 (x ) Prueba 2(y )
 1 75 38
 2 89 56
 3 60 35
 4 71 45
 5 92 59
 6 105 70
 7 55 31
 8 87 52
 9 73 48
 10 77 41
 11 84 51
 12 91 58
 13 75 45
 14 82 49
 15 76 47
a. Construya una gráfi ca de dispersión para los datos. 
¿Le parece razonable la suposición de linealidad?
b. Encuentre la recta de mínimos cuadrados para los 
datos.
c. Use la recta de regresión para predecir la puntuación 
en la segunda prueba para un solicitante que obtuvo 
85 puntos en la prueba 1.
12.14 Entrevistas de prueba, continúa Consulte 
el ejercicio 12.13. Construya la tabla ANOVA para la 
regresión lineal que relacione y, la puntuación en la 
prueba 2, con x, la puntuación en la prueba 1.
12.15 Distancia entre brazos extendidos y 
estatura Leonardo da Vinci (1452-1519) 
dibujó la fi gura de un hombre, indicando que 
la distancia entre los brazos extendidos de una persona 
(midiendo por la espalda con los brazos extendidos 
para formar una “T”) es casi igual a la estatura de 
una persona. Para probar lo dicho por él, medimos ocho 
personas con los siguientes resultados:
Persona 1 2 3 4
Distancia entre los brazos 
extendidos (pulgadas) 68 62.25 65 69.5
Estatura (pulgadas) 69 62 65 70
Persona 5 6 7 8
Distancia entre los brazos 
extendidos (pulgadas) 68 69 62 60.25
Estatura (pulgadas) 67 67 63 62
DATOSMISMIS
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DATOSMISMIS
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DATOSMISMIS
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	12 REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
	12.4 Un análisis de varianza para regresión lineal
	Ejercicios