introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-180

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514 ❍ CAPÍTULO 12 REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
a. Trace una gráfi ca de dispersión para distancia entre 
los brazos extendidos y estatura. Use la misma escala 
en los ejes horizontal y vertical. Describa la relación 
entre las dos variables.
b. Si da Vinci estaba en lo correcto y la distancia entre 
los brazos extendidos de una persona es casi igual a la 
estatura de esa persona, ¿cuál debe ser la pendiente de 
la recta de regresión?
c. Calcule la recta de regresión para predecir la estatura 
con base en la distancia entre los brazos extendidos de 
una persona. ¿El valor de la pendiente b confi rma las 
conclusiones de usted del inciso b)? 
d. Si una persona tiene una distancia de 62 pulgadas 
entre los brazos extendidos, ¿cuál sería el pronóstico 
de usted respecto a la estatura de la persona?
12.16 Fresas Los datos siguientes se 
obtuvieron en un experimento que relacionaba 
la variable dependiente y (textura de fresas), con x 
(temperatura codifi cada de almacenamiento).
x �2 �2 0 2 2
y 4.0 3.5 2.0 0.5 0.0
a. Encuentre la recta de mínimos cuadrados para los 
datos.
b Grafi que los puntos y grafi que la recta de mínimos 
cuadrados como prueba de sus cálculos.
c. Construya la tabla ANOVA.
DATOSMISMIS
EX1216
PRUEBA DE LA UTILIDAD DEL MODELO 
DE REGRESIÓN LINEAL
Al considerar la regresión lineal, uno se puede hacer dos preguntas:
• ¿La variable dependiente x es útil para predecir la variable de respuesta y?
• Si es así, ¿qué tan bien funciona?
Esta sección examina varias pruebas estadísticas y medidas que le ayudarán a tener algu-
nas respuestas. Una vez que haya determinado que el modelo está funcionando, puede 
entonces usarlo para predecir la respuesta y para un valor determinado de x.
Inferencias respecto a b, la pendiente 
de la recta de medias
¿La recta de regresión de mínimos cuadrados es útil? Es decir, ¿la ecuación de regre-
sión que utiliza información dada por x es sustancialmente mejor que la pronosticadora 
simple y� que no se apoya en x? Si la variable independiente x no es útil en el modelo de 
población y � a � bx � e, entonces el valor de y no cambia para valores diferentes 
de x. La única forma en que esto ocurre para todos los valores de x es cuando la pendiente 
b de la recta de medias es igual a 0. Esto indicaría que la relación entre y y x no es lineal, 
de modo que la pregunta inicial acerca de la utilidad de la variable independiente x se 
puede expresar también como: ¿Hay una relación entre x y y?
Se puede contestar esta pregunta usando ya sea una prueba de hipótesis o un intervalo 
de confi anza para b. Estos procedimientos están basados en la distribución muestral de 
b, el estimador muestral de la pendiente b. Se puede demostrar que, si las suposiciones 
12.5
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 12.5 PRUEBA DE LA UTILIDAD DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL ❍ 515
acerca del error aleatorio e son válidas, entonces el estimador b tiene una distribución 
normal en muestreo repetido con media
E(b) � b
y error estándar dado por
SE � �
___
 s
 2
 ___ 
Sxx
 
donde s2 es la varianza del error aleatorio e. Como el valor de s2 se estima con s2 � 
MSE, se pueden basar inferencias en la estadística dada por
t � 
b � b 
 _________ 
 �
_______
 MSE/Sxx 
 
que tiene una distribución t con df � (n � 2), los grados de libertad asociados con 
MSE.
PRUEBA DE HIPÓTESIS RESPECTO A LA PENDIENTE 
DE UNA RECTA
1. Hipótesis nula: H0 : b � b0
2. Hipótesis alternativa:
 Prueba de una cola Prueba de dos colas
 Ha : b � b0 Ha : b � b0
 (o b � b0)
3. Estadística de prueba: t � 
b � bo _________ 
 �
_______
 MSE/Sxx 
 
 Cuando se satisfacen las suposiciones dadas en la sección 12.2, la estadística de 
prueba tendrá una distribución t de Student con (n � 2) grados de libertad.
4. Región de rechazo: rechazar H0 cuando
 Prueba de una cola Prueba de dos colas
 t � ta t � ta/2 o t � �ta/2
 (o t � �ta cuando la hipótesis 
alternativa sea Ha : b � b0)
 o cuando valor p � a
0
α/2α/2
α/2– t α/2t0
α
αt
Los valores de ta y ta/2 se pueden hallar usando la tabla 4 del apéndice I o el applet t 
Probabilities. Use los valores de t correspondientes a (n � 2) grados de libertad.
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516 ❍ CAPÍTULO 12 REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
Determine si hay una relación lineal signifi cativa entre las califi caciones en cálculo y las 
puntuaciones de examen de la tabla 12.1. Pruebe al nivel de signifi cancia de 5%.
Solución Las hipótesis a probar son
H0 : b � 0 contra Ha : b � 0
y el valor observado de la estadística de prueba se calcula como
t � b � 0 __________ 
 �
_______
 MSE/Sxx 
 � .7656 � 0 ______________ 
 �
____________
 75.7532/2474 
 � 4.38
con (n � 2) � 8 grados de libertad. Con a � .05, se puede rechazar H0 cuando t � 2.306 
o t � �2.306. Como el valor observado de la estadística de prueba cae en la región de 
rechazo, H0 es rechazada y se puede concluir que hay una relación lineal signifi cativa 
entre las califi caciones en cálculo y la puntuación de examen para la población de estu-
diantes de primer año de universidad.
E J E M P L O 12.2
APPLETMIMI
Se puede usar el applet t-Test for the Slope que se ve en la fi gura 12.7 para hallar 
valores p o regiones de rechazo para esta prueba. Primero se debe calcular el error 
estándar SE � �
_______
 MSE/Sxx , teclear su valor en la caja marcada “Std Error”, y presionar 
“Enter”.
• Si se introduce el valor de b en la fórmula en la parte superior del applet y se 
presiona “Enter”, el applet calculará la estadística de prueba y su valor p de una 
o de dos colas.
• Si se introduce el nivel de signifi cancia a en la caja marcada “prob:” y se selec-
ciona la opción “Area to the Right” o “Two Tails” de la lista descendente, el 
applet calculará el valor positivo de t necesario para rechazar H0. (También se 
puede usar el applet Student’s t Probabilities para hallar los valores críticos.)
¿Cuál es el valor p para la prueba efectuada en el ejemplo 12.2? ¿Este valor p con-
fi rma nuestras conclusiones?
FIGURA 12.7
Applet t-Test for the 
Slope
●
Otra forma de hacer inferencias acerca del valor de b es construir un intervalo de 
confi anza para b y examinar el rango de posibles valores para b.
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	12 REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
	12.5 Prueba de la utilidad del modelo de regresión lineal
	Inferencias respecto a β, la pendiente de la recta de medias