introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-183

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12.6 HERRAMIENTAS DE DIAGNÓSTICO PARA VERIFICAR SUPOSICIONES DE LA REGRESIÓN ❍ 523
SUPOSICIONES DE REGRESIÓN
• La relación entre y y x debe ser lineal, dada por el modelo
 y � a � bx � e
• Los valores del término de error aleatorio e: 1) son independientes, 2) tienen una 
media de 0 y una varianza común s2, independiente de x, y 3) están normalmente 
distribuidos.
Como estas suposiciones son bastante similares a las presentadas en el capítulo 11 para 
un análisis de varianza, no debe sorprender hallar que las herramientas de diagnóstico 
para verifi car estas suposiciones son las mismas que las que empleamos en ese capítulo. 
Estas herramientas incluyen el análisis del error residual, la variación no explicada en 
cada observación una vez que la variación explicada por el modelo de regresión se haya 
eliminado.
Términos de error dependientes
Es frecuente que los términos de error sean dependientes cuando las observaciones se 
recolectan a intervalos de tiempo regulares. Cuando éste es el caso, las observaciones 
forman una serie de tiempo cuyos términos de error están correlacionados. Esto, a su 
vez, causa un sesgo en las estimaciones de parámetros de modelo. Los datos de la serie 
de tiempo deben ser analizados usando métodos de serie de tiempo. Una explicación del 
análisis de una serie de tiempo se encuentra en el texto Statistics for Management and 
Economics, 7ª edición, de Mendenhall, Beaver y Beaver.
Gráfi cas residuales
Las otras suposiciones de regresión se pueden verifi car con el uso de gráfi cas residua-
les, que son bastante complicadas de hacer manualmente pero fáciles si se grafi can en 
computadora.
En regresión lineal simple, se puede usar la gráfi ca de residuales contra ajuste para 
verifi car una varianza constante así como asegurarse que el modelo lineal en verdad sea 
adecuado. Esta gráfi ca debe estar libre de modelos y aparecer como dispersión aleatoria 
de puntos alrededor de 0 en el eje vertical, con aproximadamente la misma dispersión 
vertical para todos los valores de ŷ. Una propiedad de los residuales es que suman 0 
y, por tanto, tienen una media muestral de 0. La gráfi ca de los residuales versus ajuste 
para el ejemplo de las califi caciones en cálculo se ve en la fi gura 12.10. No hay modelos 
aparentes en esta gráfi ca residual, lo cual indica que las suposiciones del modelo parecen 
estar satisfechas para estos datos.
15
10
5
0
�5
�10
 60 70 80 90 100
Valor ajustado
 Residuales contra valor ajustado
(la respuesta es y)
R
es
id
ua
l
FIGURA 12.10
Gráfi ca de los residuales 
contra ŷ para el ejemplo 
12.1
●
Probabilidad_Mendenhall_12.indd 523Probabilidad_Mendenhall_12.indd 523 5/14/10 8:37:40 AM5/14/10 8:37:40 AM
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524 ❍ CAPÍTULO 12 REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
Recuerde del capítulo 11 que la gráfi ca normal de probabilidad es una gráfi ca que 
traza los residuales contra el valor esperado del residual si hubiera venido de una distri-
bución normal. Cuando los residuales estén distribuidos normalmente o que en forma 
aproximada estén así distribuidos, la gráfi ca debe aparecer como una recta con pendiente 
hacia arriba. La gráfi ca normal de probabilidad para los residuales del ejemplo 12.1 está 
en la fi gura 12.11. Con la excepción de los puntos grafi cados cuarto y quinto, los puntos 
restantes parecen estar casi sobre la recta. Esta gráfi ca no es rara y no indica anormalidad 
fundamental. Las violaciones más serias de la suposición de normalidad por lo gene-
ral aparecen en las colas de la distribución porque aquí es donde la distribución normal 
difi ere de la mayor parte de otros tipos de distribuciones con media y medida de disper-
sión similares. En consecuencia, la curvatura en cualquiera de los extremos o en ambos 
de la gráfi ca normal de probabilidad indica no normalidad.
Residuales versus ajustes 
dispersión aleatoria.
Gráfi ca normal línea recta, 
pendiente ascendente.
CONSEJOMIMI
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
 �20 �10 0 10 20
Residual
 Gráfica normal de probabilidad de los residuales
(la respuesta es y)
P
or
ce
nt
aj
e
FIGURA 12.11
Gráfi ca normal de 
probabilidad de residuales 
para el ejemplo 12.1
●
TÉCNICAS BÁSICAS
12.28 ¿Cuál gráfi ca de diagnóstico se puede usar 
para determinar si los datos satisfacen la suposición de 
normalidad? ¿Cómo se vería la gráfi ca para residuales 
normales?
12.29 ¿Cuál gráfi ca de diagnóstico se puede usar para 
determinar si se ha usado el modelo incorrecto? ¿Cómo 
se vería la gráfi ca si se ha usado el modelo incorrecto?
12.30 ¿Cuál gráfi ca de diagnóstico se puede usar 
para determinar si se ha violado la suposición de igual 
varianza? ¿Cómo se vería la gráfi ca cuando las varianzas 
son iguales para todos los valores de x?
12.31 Consulte los datos del ejercicio 12.7. La gráfi ca 
normal de probabilidad y las gráfi cas de residuales contra 
valores ajustados generadas por MINITAB se muestran a 
 EJERCICIOS12.6
continuación. ¿Le parece que alguna de las suposiciones 
de regresión ha sido violada? Explique.
Salida impresa MINITAB para el ejercicio 12.31
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
 �0.4 �0.3 �0.2 �0.1 0.0 01. 02. 0.3 0.4
Residual
Gráfica normal de probabilidad de los residuales
(la respuesta es y)
P
or
ce
nt
aj
e
Probabilidad_Mendenhall_12.indd 524Probabilidad_Mendenhall_12.indd 524 5/14/10 8:37:40 AM5/14/10 8:37:40 AM
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 12.6 HERRAMIENTAS DE DIAGNÓSTICO PARA VERIFICAR SUPOSICIONES DE LA REGRESIÓN ❍ 525
0.2
0.1
0.0
�0.1
�0.2
�0.3
 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
Valor ajustado
 Residuales contra valor ajustado
(la respuesta es y)
R
es
id
ua
l
APLICACIONES
12.32 Contaminación del aire Consulte el ejercicio 
12.20, en el que se registró la respuesta al ozono de 
un monitor de contaminación del aire, para varias 
concentraciones diferentes de ozono. Use gráfi cas re-
siduales MINITAB para comentar sobre la validez de las 
suposiciones de regresión.
Salida impresa MINITAB para el ejercicio 12.32
0.50
0.25
0.00
�0.25
�0.50
 2 4 6 8 10 12
Valor ajustado
Residuales contra el valor ajustado
(la respuesta es NO3)
R
es
id
ua
l
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
 �1.0 �0.5 0.0 0.5 1.0
Residual
Gráfica normal de probabilidad de los residuales
(la respuesta es NO3)
P
or
ce
nt
aj
e
12.33 Profesor Asimov, otra vez Consulte el 
ejercicio 12.8, en el que el número x de libros escritos por 
Isaac Asimov está relacionado con el número de meses y 
que tardó en escribirlos. A continuación, una gráfi ca de 
los datos.
500
450
400
350
300
250
200
 100 200 300 400 500
y(
T
ie
m
po
 e
n 
m
es
es
)
a. ¿Se puede ver un modelo que no sea una relación 
lineal en la gráfi ca original?
b. El valor de r2 para estos datos es .959. ¿Qué dice esto 
acerca del ajuste de la recta de regresión?
c. Vea las siguientes gráfi cas de diagnóstico para estos 
datos. ¿Se ve algún patrón en los residuales? ¿Sugiere 
esto que la relación entre el número de meses y el 
número de libros escritos es algo que no sea lineal?
20
10
0
�10
�20
�30
 250 300 350 400 450 500 550
Valor ajustado
Residuales contra los valores ajustados
(la respuesta es y)
R
es
id
ua
l
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
 �50 �25 0 25 50
Residual
Gráfica normal de probabilidad de los residuales
(la respuesta es y)
P
or
ce
nt
aj
e
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