Funciones de variables Multiples-I

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FUNCIONES DE VARIABLES MÚLTIPLES
INTRODUCCION
En este capítulo estudiaremos las funciones reales de dos o más variables reales, como:
f(x, y) = xy/2 es una función que expresa el área de un triángulo de base “x” y altura “y”.
f(x, y, z)= 2(x+y)z si x, y y z son las aristas de un prisma recto, la función expresa el área lateral de este.
c) 
 Si xi es el ingreso de la familia i de n familias, la función 
 “f” expresa el ingreso promedio de las n familias.
FUNCION REAL DE DOS VARIABLES
Definición: Dados el subconjunto y el conjunto de los números reales R, llamamos función definida en D y con valores en R o simplemente función de D en R a toda correspondencia “f” que asocia a cada vector (x, y) є D un único elemento z= f(x, y) є R-
Denotada como: f : Dє → R 
DOMINIO Y RANGO
Domino de f: Df ={ (x, y) є / z є R ∩ z=f(x, y)} hay que tener en cuenta que ahora el dominio es una región en el plano XY. 
Rango de f: Rf = { f(x, y) є R/ (x, y) є Df } 
 
Resolvemos primero en donde (x, y) son los puntos que están en la circunferencia.
Ahora serán todos los (x, y) que satisfacen esta inecuación, que corresponden a los puntos que están dentro de la circunferencia, como se muestra en el gráfico:
Para encontrar los puntos se toma un
punto interior de la circunferencia por
Ejemplo el origen (0, 0) que al reem –
plazarlo en 
Obtenemos que 0 < 9 satisface, luego podemos afirmar que los pares (x, y) que satisfacen la inecuación son los que están dentro de la circunferencia-
3) Z = f(x, y) = 
 y
 3
0 
 3 x 
Como no existen logaritmos de números reales negativos ni de cero, entonces : o (x – y)(x + y)>0 y esto se cumple cuando ambos son positivos o ambos son negativos.
Luego hay que resolver: x-y>0 ∩ x+y>0 y x-y<0 ∩ x+y<0 
La solución se simplifica si nos ayudamos de un gráfico en donde se representen las rectas y=x e y=-x
Resolvemos x-y>0 ∩ x+y>0
Que es equivalente a resolver x>y ∩x>-y
Los x>y son los puntos que están debajo 
de la recta y=x
Los x>-y son los puntos que están encima 
de la recta y=-x
De modo similar podemos encontrar la
solución de x<y ∩ x<-y
 y
 y=x
 x>y ∩ x>-y 
 0 x
 
 
 y=-x
x<y ∩ x<-y
 ALGEBRA DE FUNCIONES
Suma y resta:
Producto:
División:
Composición:
Solamente si h es de dos variables y g de una variable (no hay otra manera de hacer composición).
Ejemplo: Sea g(x) = ln(
Hacemos z=f(x, y) y g(z) = ln(
Reemplazando:
g[f(x, y)] = ln(
Dominio de g(x): >0 → <4 esto es /x/<2 que se expresa como -2< x < 2.
Dominio de f(x, y): 
Dominio de g[f(x, y)]:
Como hemos hecho x=z entonces -2< z < 2
Como z = f(x, y) = 
Reemplazando: -2< < 2
Elevando al cuadrado y operando: < 4
De donde se tiene que: < +1)
Llevando los dominios a un gráfico:
La intersección de estos serán
los puntos que están entre las 
parábolas y entre las dos
rectas x=2 y x=-2
exceptuando los que 
están en la parábola
 +1)
 
 y
 =0
 = +1)
 0
 +1)
 x= -2 x= 2 
 
GRÁFICOS DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
Se define como el conjunto de puntos dado por:
Una función de dos variables z=f(x, y) se denomina también como una superficie, como se muestra en los ejemplos siguientes:
 cuyo gráfico es
EJEMPLO 1:
Se trata de un Paraboloide
de Revolución. De vértice 
En V=(0, 0, -1), eje sobre el 
eje ZZ.
EJEMPLO 2:
GRÁFICOS MEDIANTE SUS TRAZAS 
 Imponiendo la condición z = 4-y 
 en la ecuación de la esfera:
 Operando y ordenando tenemos:
 
 Que corresponde a la
 ecuación de un cilindro.
La traza de una superficie S en el plano P, es la curva que resulta de la intersección entre ambos como la siguiente: 
Luego la traza equivalente será:
TRAZAS PRINCIPALES
En el espacio tridimensional los ejes coordenados pierden cierta importancia, siendo reemplazados por los planos coordenados, x=0, y=0 y z=0. Las trazas principales son las intersecciones de la superficie con los planos coordenados,
 
Traza T1: 
Traza T2: Traza T3: 
Trazas Secundarias
Son las intersecciones de la superficie con planos paralelos a los ejes de coordenados. Se usan cuando las trazas principales no permiten tener una idea clara de la forma del gráfico.
Esfera:
 z
 
 
 R
 T1
 T2
 0 R y
 R
 T3
 x
 
Paraboloide
Determinando sus trazas:
Traza 1:
Traza 2:
 z
 
 
 T4
 T2 T1
 0 T3=0 y
 x
Traza 3:
Como la traza 3 es un punto es necesario una traza auxiliar T4: usando el plano z =
Traza 4:
GRÁFICOS MEDIANTE SUS CURVAS DE NIVEL
Es la proyección perpendicular sobre el plano XY, de la traza de la superficie S en el plano z = k
 
Al conjunto de todas las curvas de nivel se le llama mapa de contorno
CURVAS DE NIVEL :
FUNCION REAL DE TRES VARIABLES
Definición: Dados el subconjunto y el conjunto de los números reales R, llamamos función definida en D y con valores en R o simplemente función de D en R a toda correspondencia “f” que asocia a cada vector (x, y, z) є D un único elemento w= f(x, y, z) є R.
Denotada como: f : → R 
DOMINIO Y RANGO
Domino de f: Df ={ (x, y, z) є / z є R ∩ w=f(x, y, z)} hay que tener en cuenta que ahora el dominio es una región en el espacio XYZ. 
Rango de f: Rf = { f(x, y,z) є R/ (x, y,z) є Df } 
Como podemos ver el dominio esta en el espacio tridimensional.
GRÁFICOS DE UNA FUNCIÓN DE TRES VARIABLES
Se define como el conjunto de puntos dado por:
Como el gráfico es un conjunto de puntos del espacio de cuatro dimensiones, y como no sabemos como es nos es imposible su gráfico, pero si podemos graficar esta función a través de sus superficies de nivel-
Ejemplo: w= f(x, y,z) =
Si hacemos w = 1 tenemos: = 1
Tenemos una esfera de centro en el origen y radio R=1
Esto quiere decir que todos los puntos que se encuentran en la superficie de esta esfera, el valor de la función w=1
Si hacemos w = 4 tenemos: = 4
Tenemos una esfera de centro en el origen y radio R=2
Esto quiere decir que todos los puntos que se encuentran en la superficie de esta esfera, el valor de la función w=4
Si hacemos w = 9 tenemos:= 9
Tenemos una esfera de centro en el origen y radio R=3
Esto quiere decir que todos los puntos que se encuentran en la superficie de esta esfera, el valor de la función w=9
La función w quedaría graficada con sus superficies de nivel.
LÍMITES Y CONTINUIDAD 
El estudio de los límites de funciones de varias variables es mucho más complejo que el de funciones de una variables.
En una variables únicamente se tiene dos caminos para acercarse a un punto, por la derecha o por las izquierda
En el caso de varias variables existe una infinidad de caminos para acercarnos a un punto (a,b).
DEFINICIÓN DE INTERVALO O DISCO ABIERTO
Centro en y radio :
Si en la anterior definición añadimos al símbolo < el signo =, obtenemos un disco cerrado por tanto:
DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Sea “f” una función de dos variables, definida en el disco abierto, 	 excepto tal vez en , entonces:
si y sólo si para cada       corresponde un          tal que 
 Siempre que 
 
Para un punto cualquiera
el valor de f(x, y)  está entre L+ϵ  y L-ϵ       
 
Ejemplo 1: 
Compruebe que el siguiente límite no existe 
El dominio 
Consideramos dos trayectorias diferentes de acercamiento al punto (0,0)
1ª Sobre eje X (y = 0): 
2ª Sobre recta y=x : 
Como los dos caminos diferentes dan valores distintos al acercarse al punto (0,0), no existe límite.
En el ejemplo anterior se concluyó que el límite no existe porque hay caminos distintos que conducen a límites distintos.
Sin embargo, aunque los dos caminos hubieran llevado al mismo límite, no podemos concluir que el límite
Para llegar a tal conclusión, se debe demostrar que el límite es el mismo para toda posible trayectoria
Esta tarea no es simple y requiere el uso de la definición misma, como muestra el siguiente ejemplo 
Comprobar que
 
Elegimos el camino y= x:
Haciendo y= 
Como los límites coinciden, se puede decir que se presume la existencia de límite, pero tenemos que ver si cumple con la definición.
Aplicando la definición:
Si entonces
Aplicando las propiedades del Valor Absoluto tenemos que:
 siempre que
Como: 
Por consiguiente, si por hipótesis 
Entonces: luego existe un >0 que depende de 
 , por tanto el límite existe.
Sí cumple con la definición, entonces:
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES
Sea f(x, y) una función de dos variables, y sea el disco abierto centrado en P=(a, b) con radio .
La función f es continua en P=(a, b) si :
La función f es continua en una región si es continua en cada punto de la región. 
Comprobar si f es continua en (0,0):
Como ya se ha visto
Por lo tanto f sí es continua en (0,0)
LIMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCION DE TRES VARIABLES
Sea “f” una función de tres variables, definida en la bola abierta, B[(a, b, c) δ] excepto tal vez en (a, b, c) , entonces:
Significa que los valores f(x, y, z) se aproximan al número L cuando el punto (x, y, z) se aproxima al punto (a, b, c) por cualquier trayectoria dentro del dominio de f. Como la distancia entre los dos puntos (x, y, z) y (a, b, c) esta dada por 
Podemos escribir la definición precisa como sigue: Para todo número є>0 existe un número δ>0 que depende de є tal que donde 0< 
 donde 0< 
y (x, y, z) está en el dominio de f-
CONTINUIDAD DE UNA FUNCION DE TRES VARIABLES
La función f(x, y, z) es continua en (a, b. c) si
Ejemplo- f(x, y z) = 
Como el denominador es un polinomio, acepta todo (x, y, z)є
Pero debemos exceptuar las ternas (x, y, z) que se encuentran sobre la esfera 
DERIVADAS PARCIALES
Cuando estamos frente a una función de una variable y = f(x) hablamos de derivadas absolutas, debido a que la función depende de una sola variable. Y en donde la derivada me da el grado de cambio de la función cuando cambia la variable. Y se define como el límite del incremento de la función sobre el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero.
f´(x) = = tgα
Luego:
f´(x) = 
Y tangnte 
 secante
 Δy
 Δx
0 x
 
Si tenemos una función de dos variables f(x, y), ya no podemos hablar de derivadas absoluta debido a que la función depende de dos variables, por tanto la función variará en cuanto varía x y cuando varía y. Por eso vamos primero a determinar la variación por separado y por eso se denominarán derivadas parciales. Y las determinaremos entorno de un punto P =(xo, yo, f(xo, yo)). 
Derivada Parcial con respecto a la variable “x”
z
y
x
T1
y0
x0
P0
(x0,y0)
z = f ( x, y )
C1
38
Hacemos pasar por y=yo un plano paralelo al plano y=0, este corta a la superficie en una curva C1, en donde y siempre vale yo, luego la curva será:
Entonces tenemos que la función f solo depende de x ya que y permanece constante igual a yo. En estas condiciones podemos derivar la función con respecto a x, 
Como la recta tangente se encuentra en el plano y = yo
Entonces el vector de dirección de la tangente no tiene componente “j”, esto es, A1=(a1, 0, a3), luego la pendiente m = a3/a1, debido a que estamos en el plano y = yo .
Si hacemos a1=1 entonces a3 = fx(x, yo), por tanto A1= (1, 0, fx(x, yo) ), que es el vector de dirección de cualquier tangente a C1 para todo x perteneciente a su dominio.
Si queremos calcular la tangente en el punto P de C1, tendremos:
La pendiente de dicha tangente será si x = xo, esto es fx(xo,yo)
TG1 en P de C1 = {(xo, yo, f(xo, yo)) + t (1, 0, fx(xo, yo) )} 
z
y
x
x0
y0
P0
(x0,y0)
T2
z = f ( x, y )
Derivada Parcial con respecto a la variable “y”
Hacemos pasar por x=xo un plano paralelo al plano x=0, este corta a la superficie en una curva C2, en donde x siempre vale xo, luego la curva será:
C 2
Entonces tenemos que la función f solo depende de y ya que x permanece constante igual a xo. En estas condiciones podemos derivar la función con respecto a y,
Como la recta tangente se encuentra en el plano x = xo
Entonces el vector de dirección de la tangente no tiene componente “i”, esto es, A1=(0, a2, a3), luego la pendiente m = a3/a2, debido a que estamos en el plano x = xo .
Si hacemos a2=1 entonces a3 = fy(xo, y), por tanto A1= (a, 1, fy(xo, y),), que es el vector de dirección de cualquier tangente a C2 para todo y perteneciente a su dominio.
Si queremos calcular la ecuación de la recta tangente en el punto P de C2, tendremos:
La pendiente de dicha tangente será si y = yo, esto es fy(xo,yo)
TG2 en P = {(xo, yo, f(xo, yo)) + t (1, 0, fy(xo, yo) )} 
GENERALIZACION DE LAS DERIVADAS PARCIALES
Hemos definido las derivadas parciales de f(x, y) entorno del punto (xo, yo)є Df , esto lo podemos generalizar si tomamos un punto cualquiera (x, y) є Df , luego:
fx(x, y) será geométricamente la pendiente de la tangente a la curva definida por la intersección 
Entre el plano y=y y la superficie z=f(x, y). Y por otro lado nos da la variación de la función cuando varía solo x, ya que y permanece constante 
fy(x, y) será geométricamente la pendiente de la tangente a la curva definida por la intersección entre el plano x=x y la superficie z=f(x, y). Y por otro lado nos da la variación de la función cuando varía solo y, ya que x permanece constante.
EJEMPLO:Si z = determinar fx(x, y) y fy(x, y)
	
DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DE TRES VARIABLES
Cada una de estas definiciones significa, que si queremos determinar la derivada parcial de “f” respecto a una de las variables, se deriva la función “f” respecto a ella considerando a las otras dos como si fueran constantes.
Ejemplo: f(x, y, z) = 
Derivamos la función con respecto a x manteniendo constantes a y y a z.
fx(x, y,z) = 
Derivamos la función con respecto a y manteniendo constantes a xy a z.
fy(x, y, z) = 
Derivamos la función con respecto a manteniendo constantes a y y a x.
fz(x, y, z) = 
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Si “f” es una función de dos variables, entonces sus derivadas parciales fx y fy son también funciones de dos variables, de modo que podemos considerar sus derivadas parciales (fx)x, (fx)y, (fy)y y (fy)x, que se denominan segundas derivadas parciales de “f”. Si z = f(x y), empleamos la siguiente notación:
Teorema de Clairaut . Suponga que “f” está definida en un disco D que contiene al punto (a, b). Si las funciones fxy y fyx son continuas en D, entonces: fxy(a, b)=fyx(a, b) .
Las derivadas de orden tres o mayores también se pueden definir:
 = fxyy
 = fyxx
 
Por Clairaut: fxyy = fyxy = fyyx si son continuas 
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Ecuación de Laplace, tienen importancia en problemas de calor, fluidos y potencial eléctrico. En donde las soluciones de esta ecuación se denominan funciones armónicas.
Ecuación de onda, describe el movimiento de una onda, que podría ser una ola oceánica, una onda de sonido, de luz, etc. Si u(x, t) representa el desplazamiento de una cuerda de violín en vibración en el tiempo t a una distancia x de un extremo de la cuerda, entonces u(x, t) satisface dicha ecuación
 
PLANOS TANGENTES Y APROXIMACIONES LINEALES
PLANOS TANGENTES. Sea z = f(x, y) una superficie S que tiene derivadas parciales de primer orden fx y fy, y sea un punto P=(xo, yo, f(xo, yo)) de S. Si el vector normal del plano tangente a la superficie en el punto P es N= (A, B, C), la ecuación del plano será: A(x-xo) + B(y-yo)+ C(f(x, y)- f(xo, yo))= 0
Ordenando: C(f(x, y)- f(xo, yo))= - A(x-xo) - B(y-yo)
Z
y
x
P
x0
y0
T2
T1
Dividiendo la ecuación entre C y haciendo a=-A/C, b=-B/C tendremos :
a(x-xo)+b(y-yo)+(f(x, y)-f(xo, yo))=0 ecuación del plano 
Si trazamos el plano y = yo este corta al plano tangente en T1
cuya ecuación será a(x-xo)+ (f(x, y)-f(xo, yo))=0 Π y=yo en donde a es la pendiente de T1 que coincide con a= fx(xo, yo) 
Ahora si trazamos el plano x = xo este corta al plano tangente en T2 cuya ecuación será b(y-yo)+ (f(x, y)-f(xo, yo))=0 en donde b es la pendiente de T2 que coincide con b= fy(xo, yo) .
 Por tanto la ecuación del plano tangente será:
f(x, y)-f(xo, yo) = z – zo = fx(xo, yo) (x-xo)+ fy(xo, yo) (y-yo)
 
APROXIMACIONES LINEALES
Si tenemos una superficie S dada por z=f(x, y) con derivadas parciales de primer orden continuas en un punto P=(xo, yo, f(xo, yo)), el plano tangente a S en dicho punto P me da la aproximación lineal para puntos próximos a P en S.
 f(x, y) = f(xo, yo) + fx(xo, yo) (x-xo)+ fy(xo, yo) (y-yo)
Ejemplo: sea z=f(x, y) = en el punto P=(1, 1, 2)
fx(x, y)= 2x → fx(1, 1)= 2 ; fy(x, y)= 2y → fy(1, 1)= 2 
f(1, 1) = 2
Luego la aproximación lineal de S entorno a P será:
f(x, y) = 2+2(x-1)+2(y-1)
Para un punto Q=(1,1, 1,1)
f(1,1, 1,1)=2+2(1.1-1)+2(1,1-1)=2+0.2+0.2=2.4
Entonces la aproximación lineal de f(x, y) en el punto Q=(1,1, 1,1) es f(1,1, 1,1) =2.4
Veamos el valor de f(x, y) en S:
f(1,1, 1,1) = = 1.21+1.21= 2.42
El error cometido es: 0.02
DIFERENCIABILIDAD
En una función real de variable real y =f(x) entorno a x=a se tiene que:
 f’(a) = luego 
Se da la igualdad si le sumamos el error que se comete , luego
Definición: Para una función de dos variables z=f(x, y), se dice que es diferenciable en (xo, yo) si 
 = fx(xo, yo) +fy(xo, yo) + 
Donde , 
Teorema: Si las derivadas parciales fx y fy existen cerca de (xo, yo) y son continuas en dicho punto “f” es diferenciable en (xo, yo).
Ejemplo : demuestre que f(x, y) = xes diferenciable en (1, 0) y encuentre su linealización en ese punto. Luego utilícela para aproximar f(1.1, - 0.1)
Las derivadas parciales son:
fx(x, y) = + x; fy(x, y) = 
fx(1, 0) = = 1
Por simple inspección fx(x, y) y fy(x, y) son continuas en (1, 0)
Linealización:
 f(x, y) = + fx(1, 0) (x-1)+ fy(1, 0) (y-0)
 f(x, y) = + 1(x-1)+ 1y = x+y
 f(x, y) = x+y 
 f(1.1, - 0.1)= 1.1-0.1= 1
 El valor real de f(1.1, - 0.1)= 1.1 
DIFERENCIALES
Para una función real de variable real y = f(x) definimos el diferencial dx como una variable que puede asumir cualquier número real. El diferencial de y se define como:
Se tiene que llevando al límite cuando →0
se llega a la igualdad siguiente de donde se tiene que: dy = f’(x) dx
Para una función de dos variables z = f(x, y), definimos los diferenciales dx y dy como variables independientes, es decir pueden tomar cualquier de los valores dados- Entonces el diferencial dz que también se llama diferencial total está
Definido por:
		dz = fx(x, y)dx + fy(x, y) dy = 
Por la definición de diferenciable se tiene que: 
 = fx(xo, yo) +fy(xo, yo) + 
, entonces 
Luego: dz= 
Para funciones de tres variables w=f(x, y, z), se tiene:
	 dw = + 
Ejemplo: Hallar la diferencial total de:
Como:
Hallamos: y
Reemplazando:
 
EJEMPLO :
Sea w=x2y-y2, donde x= sen t, y = et, calcular dw/dt cuando t = 0
Solución: por la regla de la cadena para una variable independiente, podemos escribir:
 ;
Cuando t = 0, x = 0 e y = 1, así que:
EJEMPLO
Hallar:
Solución: Sustituyendo los valores de x y de y en la ecuación
 w = 2xy, obtenemos:
Ahora para hallar , mantenemos t constante y derivamos respecto de s 
Análogamente, para hallar , mantenemos s constante y 
derivamos respecto de t
Caso 2: Sea w=f(x, y) diferenciable en x e y, donde x =x(s, t) e y=y(s, t) son funciones diferenciables en s y t, entonces las derivadas parciales de w respecto a s y a t son: 
EJEMPLO: Utilizando la regla de la cadena para dos variables independientes hallar :
Siguiendo las pautas del teorema anterior, mantenemos t constante y derivamos respecto de s
Solución:
Análogamente,manteniendo s constante se obtiene:
Caso 3: Sea w = f(x1, x2, x3,………..xi,……xn) diferenciable de las n variables xi, y cada xi es una función diferenciable de las m variables t1, t2,…..tj,….tm, la derivada parcial de w respecto a cada ti estará dada por:
 
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN SU FORMA IMPLÍCITA
Si la ecuación f(x, y) =0 es una función implícita, la derivada de y respecto a x estará dada por:
Si la ecuación se define implícitamente las derivadas parciales de z respecto a x y a y estarán dadas por:
Ejercicios para resolver:
Determinar las derivadas de:
xyz cos(x+y+z)
Ln(x+yz) = 1+x
DERIVADAS DIRECCIONALES
Las derivadas parciales de una función de dos variables z=f(x, y), son derivadas direccionales particulares, fx respecto a la dirección del eje XX y fy respecto a la dirección del eje YY.
Vamos ahora a dar un paso más, que nos permita conocer la variación de la función z=f(x, y) respecto a x y a y en una dirección cualquiera dada por un vector unitario U=(a, b) que define una dirección cualquiera,entorno de un punto P’=(xo, yo) del dominio de f(x, y).
Para esto hacemos pasar por P’=(xo, yo) un plano paralelo a U y perpendicular al plano coordenado z=0, de modo que dicho plano corta a la superficie S definida por z=f(x, y) en una curva.
Hacemos un esquema geométrico de lo planteado:
Ahora por un punto cualquiera de la curva Q=(x, y, f(x, y)) trazamos la secante que pasa por P y Q
P’=(xo, yo) Q’= (x, y)
 Δz
h
Q=(x, y, f(x, y))
Tangente
 Secante
h
Vamos a calcular el valor de z del punto Q, la secante se proyecta sobre el plano z=0 en el segmento P’Q’ de longitud“h”
Como el plano es paralelo al vector U, entonces el vector PQ’ es paralelo a U por tanto P’Q’ = cU = C(a, b).
Como //P’Q’//= h y //U//=1 entonces P’Q’=h(a, b)
Por otro lado P’Q’= Q’-P’=(x-xo, y-yo) = h(a, b)
Por tanto x = xo+ah e y = yo+bh
Por tanto f(x, y) = f(xo+ah, yo+bh)
De la figura se deduce que la pendiente de la secante es:
Luego llevando, este resultado, al ´mite cuando h→0, tendremos la derivada direccional de f(x, y) en la dirección de U.
Por tanto:
Dado que como x = xo+ah e y = yo+bh cuando h→0:
x = xo e y = yo
Teorema: Si f es una función diferenciable en x y y, entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario U=(a, b) y:
 DUf(x, y) = afx(x, y) + bfy(x, y)
Demostración:
Si definimos la función: g(h) = f(xo+ah, yo+bh)
La derivada g’(0) = = DUf(x, y) 
Cálculo de g’(0):
Como g(h) = f(xo+ah, yo+bh) y x = xo+ah e y = yo+bh (a)
Entonces derivando g(h) respecto a h:
g’(h) = 
De (a) se tiene que: 
Por tanto: g’(h) = a 
Luego: g’(0)= = a = DUf(xo, yo)
Como cuando h→0 x = xo e y = yo 
DUf(x, y) = a 
Ejercicio: 
Encuentre la Duf(x, y) si f(x, y) = y el vector unitario U forma un ángulo de 30° con el eje XX.
VECTOR GRADIENTE
El vector gradiente se deduce a partir de la derivada direccional, Duf(x, y)
Sabemos que: DUf(x, y) = a 
Si lo vemos bajo la óptica vectorial:
DUf(x, y) = (a, b) . ( )
El vector Gradiente será: f(x, y) = ( )
Por tanto la derivada direccional en función del vector gradiente será: DUf(x, y) = (a, b) . f(x, y) 
FUNCIONES DE TRES VARIABLES
Definición La derivada direccional de f(x, y, z) en la dirección del vector unitario U=(a, b, c) es
Duf(x, y, z) =
En notación vectorial: Xo=(xo, yo, zo) y U =(a, b,c)
Duf(x, y, z) = 
Duf(x, y, z) = fx(x, y, z) a + fy(x, y, z) b+ fz(x, y, z) c
Duf(x, y, z) = ( fx(x, y, z) ,fy(x, y, z) ,fz(x, y, z)) . (a, b, c)
El vector Gradiente:
 f(x, y, z) = (fx, fy, fz ) =
Luego la derivada direccional en función del vector gradiente será
Duf(x, y, z) = f(x, y, z) . U = f . U
Ejemplo: Si f(x, y, z) = x senyz, determinar : a) el vector gradiente de f y b) la derivada direccional de f en (1, 3, 0) en la dirección V =(1, 2,-1)
fx= senyz; fy = xzcosyz; fz=xycosyz
Luego f = (senyz, xzcosyz, xycosyz)
Duf(x, y, z) = ( fx(x, y, z) ,fy(x, y, z) ,fz(x, y, z)) . (a, b, c)
 
V=(1, 2, -1) en donde //V// = 
 
 f (1, 3, 0) = (sen0, 0cos0, 3cos0)= ( 0, 0, 3)
La derivada direccional:
Duf(1, 3, 0) = ( 0, 0, 3) . =
 
 
MAXIMIZCIÓN DE LA DERIVADA DIRECCIONAL 
Sabemos que: Duf(x, y, z) = f(x, y, z) . U = f . U
Duf(x, y, z) = f . U = // f// //U//cosα
Duf(x, y, z) = // f// cosα
Si consideramos una función f(x, y, z) y un punto P=(xo, yo,zo) de su dominio, tenemos que: La derivada direccional es máxima cuando cosα = 1 esto es cuando α = 0, es decir, cuando el vector unitario U tiene la dirección y sentido del gradiente.
Por otro lado el vector gradiente es ortogonal a la superficie de nivel S de f que pasa por un punto P.
 
α
U
VALORES EXTREMOS
Definición Una función de dos variables tiene un máximo local o relativo en un punto P= (a, b) de su dominio si f(x, y) ≤ f(a,b) para todos los puntos (x, y) que están dentro de un disco con centro en (a, b). El número f(a, b) se llama Máximo Local. 
Si f(x, y) ≥ f(a, b) cuando los puntos (x, y) están cerca de (a, b), entonces f(a, b) es un valor Mínimo Local.
Teorema Si f tiene un máximo o mínimo local en (a, b) y las derivadas parciales de primer orden de f existen ahí fx(a, b)=0 y fy(a, b)=0. Luego el plano tangente en dicho punto es paralelo al plano horizontal, Luego la normal al plano es paralelo al eje ZZ, esto es N= c(0, 0, 1). Si z=f(x, y) podemos definir una nueva función F(x, y, z) = z- f(x,y) = 0 que corresponde a una superficie de nivel F=0
Luego como el gradiente de dicha superficie es perpendicular a la superficie, F = (-fx. –fy, 1)
Luego , f = (-fx. –fy, 1) = (0, 0, 1) de donde se tiene que:
fx = 0 y fy = 0
 
y
z
x
MÁXIMO RELATIVO
z
x
y
MÍNIMO RELATIVO
Existe un valor extremo que satisface las condiciones mencionadas pero que no es ni náximo ni mínimo, se llama punto de ensilladura, como se da en el paraboloide hiperbólico dado por la ecuación z = f(x, y)= 
En donde fx= -2x =0 y fy= 2y = 0 que corresponde al punto (0, 0)
Es un punto de ensilladura-
Si tenemos una función de dos variables z = f(x, y) y queremos determinar sus valores críticos o extremos, hacemos las derivadas parciales fx y fy iguales a cero y determinamos los pares ordenados que hacen que las dos sean cero a la vez.
EJEMPLO Sea f(x, y) = 
fx(x, y) = 2x -2 = 0 y fy(x, y) = 2y-6 = 0
Resolviendo: x = 1 e y = 3, luego el punto crítico es (1,3)
Nuestro problema ahora consiste en definir que punto crítico es
 
z
x
y
Variación del Signo de las Derivadas Parciales
z
x
y
Haciendo uso del signo de las derivadas parciales y en orden creciente de x e y, si la derivada fx y fy pasa de positivo a negativo entorno del punto crítico se trata de un máximo, y si pasa de negativo a positivo se trata de un mínimo.
Veamos en el ejemplo anterior, el punto crítico es (1, 3)
Como x = 1 elegimos x=0 y x=2: fx(0, y) = -2 ; fx(2, y) = 2 
Como y = 3 elegimos y=2 e y=4: fy(x, 2) = -2; fy(x, 3) = 2
Luego f(1, 3) es un mínimo.
 
EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Suponiendo que las segundas derivadas parciales de f son continuas en un disco con centro en (a, b) y suponga que fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0, esto es (a, b) es un punto crítico de f. Sea
D = fxx(a, b)fyy(a, b) – = 
f tiene un máximo relativo en (a, b) si D > 0 y fxx(a,b) < 0
f tiene un mínimo relativo en (a,b) si D > 0 y fxx(a, b) > 0
f tiene un punto de silla a (a, b) si D < 0
Si D = 0 el criterio no decide, entonces necesitamos analizar la gráfica para buscar más información.
DEMOSTRACIÓN
Calculamos la segunda derivada direccional de f(x, y) en la dirección u=(h. k). La derivada de primer orden está dada por .
		Duf(x, y) = hfx + kfy 
Derivando por segunda vez:
Criterio de la segunda derivada 
Si > 0 si fxx > 0 y D > 0 estamos frente a un Mínimo.
Si > 0 si fxx < 0 y D > 0 estamos frente a un Máximo.
Si D < 0 estamos frente a un punto de ensilladura.
Si D = 0 el criterio no decide.
a
Si S esta dada por z = f(x, y), podemos ver en un gráfico todos los puntos críticos:
Punto de silla en d = (0, 1, f(0, 1)). 
Mínimo relativo en a = (0, 0, f(0, 0))
Máximo relativo en b = (1, 1, f(1, 1))
Punto de silla en c = (1, 0,f(1. 0))
EJEMPLO Se quiere construir una caja rectangular, sin tapa, con una pieza de cartón de 12 . Encuentre la caja de máximo volumen.
A = 2yz + 2xz + xy = 12
De donde z = 12 – xy / 2(x+y)
V = xyz
Reemplazando z en V:
 derivando y simplificando:
z
 y
 xIgualando (a) con (b):
 Por tanto x = y = 2 y z = 1
EJEMPLO Determinar los puntos críticos de 
Hallamos las derivadas parciales:
 Punto crítico en (-2, 3)
Completando cuadrados:
 
Hay un mínimo relativo en (-2,3)
Como se muestra en la figura 
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
El método se encuentra en un artículo sobre Mecánica que Lagrange escribió cuando tenía 19 años !
Lagrange, fue el primer analista pues escribió con rigor y precisión sus ideas matemáticas. Fue el primero en usar la notación f ’(x) y f ’’(x) para la derivadas. 
¿ Cuál es la utilidad ?
Con este método podemos saber:¿Cómo distribuir una cantidad fija de dinero? en: Desarrollo y en promoción; en mano de obra y equipos; en recursos físicos de modo de optimizar el beneficio, la producción, el ingreso, etc.
Y- 2x = 4
Máximo relativo
Máximo condicionado
¿Qué es un extremo condicionado de F?
Es un extremo (máximo o mínimo) de la función f(x, y),cuando (x,y) se encuentra sobre una curva del plano, g(x,y) = K, en el dominio de f. Es decir, (x,y) satisface una condición o restricción g(x, y).
Por ejemplo:
 curva de nivel
Superficie de nivel
 F = z - f(x,y)=0
 PLANO 
Se tiene la función a optimizar z=f(x, y) = 9 - x2 – y2 y la restricción g(x, y) =x + y - 3 =0 que debe cumplir a solución. Luego habrá un nivel z en donde su curva de nivel es tangente a la curva de nivel de g(x, y), del ejemplo, en el punto de tangencia los gradientes son paralelos: por tanto en donde se llama multiplicador de Lagrange
 
F = 0
F = 9/2
x + y - 3=0
f(x,y) = 9 - x2 – y2
Máximo relativo
G(x,y) = x + y - 3 =0
Máximo condicionado
Curvas de Nivel g
Determinamos los gradientes
Otra forma de plantear este método es fabricándonos una nueva función objetivo F, por ejemplo si tenemos que optimizar f(x, y) pero que está sujeta a dos o más restricciones como g(x, y) y h(x, y)
La nueva función objetivo será:
Determinamos las derivadas parciales:
Ejemplo
El precio de venta de un producto es 150 $ la unidad. 
Si se gastan: x miles de $ en promoción, y miles de $ en desarrollo, se venden: unidades del producto en donde x e y >0.
El costo de producción es: 50 $ la unidad.
El fabricante dispone de 8.000 $ para desarrollo y promoción.
¿Cómo debe distribuirse este dinero para generar el 
mayor beneficio posible?	
La función beneficio será la que se tendrá que optimizar:
Luego se tendrá que invertir $5000 en desarrollo y $3000 en promoción. Para conseguir un beneficio de $ 21.714,28 que se obtienen al reemplazar los valores encontrados en (I).
 
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x
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cilindro
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w
t
w
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¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
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¶
¶
t
t
s
t
s
t
x
s
y
s
w
2
2
2
2
2
4
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2
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2
(
2
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+
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ö
ç
ç
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æ
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÷
ø
ö
ç
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æ
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=
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¶
t
t
s
s
w
2
2
2
6
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=
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¶
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
=
¶
¶
2
2
2
2
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(
2
)
2
(
2
2
)
2
(
2
t
s
t
s
t
t
s
t
s
x
t
y
t
w
2
2
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4
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st
s
s
t
w
+
-
=
¶
¶
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
4
t
s
st
t
st
s
st
t
w
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=
-
-
=
¶
¶
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,
(
,
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,
(
)
,
(
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x
F
y
x
F
y
x
F
dx
dy
y
y
x
0
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,
,
(
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y
x
F
0
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,
,
(
,
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,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
¹
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-
=
z
y
x
F
z
y
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z
y
x
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dy
dz
y
z
y
x
F
z
y
x
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dx
dz
z
z
y
z
x
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y
x
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x
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h
y
x
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y
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f
h
z
m
o
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,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0
0
sec
-
+
+
=
-
=
D
=
h
y
x
f
bh
y
ah
x
f
y
x
f
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y
x
f
D
o
h
U
U
)
,
(
)
,
(
lim
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,
(
)
,
(
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0
0
0
0
0
-
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+
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®
h
y
x
f
bh
y
ah
x
f
o
h
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
0
0
-
+
+
®
Ñ
h
X
f
hU
X
f
h
)
(
)
(
lim
0
0
0
-
+
®
÷
÷
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ö
ç
ç
è
æ
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¶
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
+
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+
¶
¶
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f
y
f
x
f
k
z
f
j
y
f
i
x
f
,
,
)
1
,
2
,
1
(
6
1
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6
3
-
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1
,
2
,
1
(
6
1
-
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u
V
6
f
Ñ
0
=
¶
¶
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f
0
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¶
y
f
0
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f
0
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f
0
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x
f
0
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¶
¶
y
f
0
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f
0
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¶
¶
x
f
0
<
¶
¶
y
f
0
<
¶
¶
y
f
0
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¶
¶
x
f
0
=
¶
¶
y
f
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
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a
f
b
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f
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a
f
b
a
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xy
xyxx
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û
ù
ê
ë
é
¶
¶
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D
y
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f
D
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f
D
u
u
u
2
f
D
u
2
f
D
u
2
2
m
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(
0
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(
2
)
2
12
(
)
(
0
)
(
2
)
2
12
(
)
(
2
12
2
2
2
2
2
2
2
2
b
y
x
y
xy
x
V
a
y
x
x
xy
y
V
y
x
y
x
xy
V
y
x
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+
-
-
=
=
+
-
-
=
+
-
=
1
4
12
:
2
0
3
12
2
12
:
)
(
:
2
12
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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-
=
=
®
=
-
=
-
-
=
=
-
-
=
-
-
x
x
z
Luego
x
x
x
xy
a
en
o
reemplaznd
y
x
donde
De
y
x
y
xy
x
xy
20
6
8
2
)
,
(
2
2
+
-
+
+
=
y
x
y
x
y
x
f
2
0
8
4
)
,
(
-
=
®
=
+
=
x
x
y
x
f
x
3
0
6
2
)
,
(
=
®
=
-
=
y
y
y
x
f
y
3
)
3
,
2
(
=
-
f
ZZ
Eje
y
V
de
Elíptico
e
Paraboloid
y
x
z
ordenando
y
x
y
x
f
z
//
)
3
,
3
,
2
(
2
)
3
(
1
)
2
(
2
3
:
3
)
3
(
)
2
(
2
)
,
(
2
2
2
2
-
=
-
+
+
=
-
+
-
+
+
=
=
F
Ñ
g
f
Ñ
=
Ñ
l
l
2
3
Re
0
3
2y
-
2x
-
 
:
 
g
Como
1)
 
(1,
 
g
y
 
2y)
-
2x,
 
-
(
=
=
ï
î
ï
í
ì
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-
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Ñ
=
Ñ
=
Ñ
=
Ñ
y
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que
concluimos
solviendo
y
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f
l
l
l
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
,
,
(
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1
2
1
y
x
h
y
x
g
y
x
f
y
x
F
l
l
l
l
+
+
=
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
=
=
=
0
0
0
0
:
2
1
1
l
l
F
F
F
F
sistema
el
mos
resolvería
Luego
y
x
4
160
2
320
+
+
+
x
x
y
y
(
)
8000
4
160
2
320
100
)
,
,
(
:
Re
0
8000
)
,
(
)
(
4
160
2
320
100
-
+
+
ú
û
ù
ê
ë
é
+
+
+
=
=
-
+
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
+
+
=
y
x
x
x
y
y
y
x
F
optimizar
a
función
La
stricción
y
x
y
x
g
I
x
x
y
y
B
l
l
0
8
)
(
0
)
4
(
320
)
4
(
320
100
)
(
0
)
4
(
160
)
4
(
160
100
2
2
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-
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÷
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ö
ç
ç
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æ
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x
F
b
x
y
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F
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x
x
x
F
y
x
l
l
l
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$
5000
$
8
2
:
0
2
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)
2
(
)
4
(
)
2
(
640
)
4
(
640
:
)
(
)
(
2
2
2
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>
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y
y
x
Como
x
y
son
y
e
x
Como
y
x
y
x
y
x
b
y
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De