Integrales Multiples-II

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INTEGRALES MULTIPLES
EMPEZAREMOS CON LAS INTEGRALES DOBLES
Las integrales dobles se aplican a las funciones de dos variables, z = f(x, y) con la finalidad de calcular el volumen que está debajo de ella. Pero iniciaremos nuestro estudio considerando algunas situaciones particulares que facilitarán su aprendizaje, como z>0 y de dominio rectangular [a, b]x[c, d], como se muestra en la figura siguiente:
Dividimos el intervalo [a, b] en “n” partes iguales y el intervalo [c, d] en m partes iguales, de modo que: y luego tenemos una malla de mxn sub-intervalos de área Aij= 
Tomando el sub-intervalo genérico ij, en donde el punto medio es 
 determinamos el valor de z en dicho punto será f
El área de dicho sub-intervalo es , de modo que dicho rectángulo de dimensiones y f definen un prisma recto de volumen f como se ve en la figura
 Y
d
.
.
yj
.
Y1 
C
 a x1 x2……… …….xi ………………… b x
Δy
 Δx
Como tenemos mxn sub-intervalos, tendremos mxn prismas rectos. El volumen del prisma genérico Vij será:
Ahora vamos a sumar ordenadamente los volúmenes de estos mxn prismas.
Primero sumando los volúmenes
en cada fila j:
J =1
J =2 
 .
.
J = m
Aij= 
Sumando los volúmenes de todas las m filas:
Ahora vamos a sumar los volúmenes en cada columna i:
Si i = 1
Si i = 2 
 . 
 .
Si i = n 
Sumando los volúmenes de todas las n columnas:
El volumen total es el mismo, solo se ha variado el orden de la suma, por tanto:
 =
Llevando al límite cuando n→ y m →
Como y entonces →y→
 
Teorema de Fubini
 
Integrales Iteradas
 
Hay que tener en cuenta que el orden de integración “es de dentro hacia fuera”.
Esto es se integra la integral que está 
dentro del corchete respecto a x manteniendo constante y, y luego el resultado, se integra respecto a y.
EJEMPLO Evaluar 
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES
1)
2)
3)
4)
5) 
Ejemplo
Calcular el volumen del sólido que se encuentra arriba del cuadrado [0, 2]x[0, 2] y debajo del paraboloide z=16- .
Luego el volumen encerrado V = 48 
 y
 Paraboloide
 z = 16- 
 0 2 y
 2 (2, 2)
 x
 
GENERALIZACIÓN DEL DOMINIO
Dada la función z = f(x, y) > 0, cuyo dominio es una región R simple y cerrada.
Definimos una función F(x, y) cuyo
dominio D =[a,b]x[c, d] que contiene
a R. 
Integrando esta función F(x, y):
R
 y
d
 D
C
 0 a b
En la siguiente figura se muestra el gráfico de F(x, y)
Como F(x, y) = 0 para cuando (x, y) se
encuentra en la región D-R,
el volumen en esa región es cero.
Por tanto:
 z
 z=f(x, y)
 c d y
 a
 R D
 b
TIPOS DE REGIONES
Región Tipo I: D1={ (x, y)/ a ≤ x ≤ b y u1(x) ≤ y ≤ u2(x) }
La integral doble para esa región será:
 
 y y y
 u2(x)
 u2(x) u2(x)
 D1
 
 u1(x) u1(x) u1(x)
 0 a b 0 a b 0 a b
Región Tipo II: D2 = {(x, y) / c ≤ y ≤ d y h1(y) ≤ x ≤ h2(y) }
La integral doble para esa región será:
 y y y
 d d d 
 
 h1(y) h2(y) h1(y) h2(y) h1(y) h2(y)
 D2 D2 D2
 c c c
 0 x 0 x 0 x
 
Teorema de Fubini para regiones generales
Cálculo de A(x):
Tomando el plano x = x corta a la
superficie S dada por z =f(x,y) en
una curva en donde x permanece 
Constante x = x, luego el área A(x):
A(x)= 
Para calcular el volumen consideramos un dx que define con A(x) un dV = A(x)dx, integrando entre a y b tenemos:
VOLUMEN = 
Ahora vamos a verlo desde el otro punto de vista
Cálculo de A(y):
Tomando el plano y = y corta a la
superficie S dada por z =f(x,y) en
una curva en donde y permanece 
constante y = y, luego el área A(y):
A(y) = 
Para calcular el volumen consideramos un dy que define con A(y) un dV = A(y)dy, integrando entre c y d tenemos:
VOLUMEN = 
Ejercicio
Evalue donde D es la región limitada por las 
curvas 
En donde
Hacemos el gráfico, vemos que la 
región es tipo I:
D={(x, y)/ -1 ≤ x ≤ 1 y 2
Luego la integral será: 
D
 y
 2
 1
 -1 0 1 x
Ejemplo 
Evalúe donde D es la región limitada por la recta y=x-1 y la parábola = 2x+6. 
INTRGRALES DOBLES EN CC POLARES
Relación entre coordenadas polares (r, θ) y las rectangulares (x, y) de un punto:
Se usan cuando las regiones están limitadas por funciones que limitan las regiones son circulares. Como circunferencias, cardiodes, rosa de cuatro pétalos, trebol, etc.
Dada la función z = f(x, y) > 0, cuyo dominio R es un sector de corona circular, 
como se muestra en la figura:
Dividimos el intervalo de r en 
“n” partes y el intervalo de θ
En “m” partes, de modo que:
De modo que tendríamos una malla de mxn sub-intervalos, si nos detenemos en el sub-intervalo genérico
El punto medio de dicho sub-intervalo será: 
Θ=α
Θ=β
a
b
α
En donde y 
El área de un sector circular viene dada por:
El área del sub-intervalo genérico será:
Determinando el valor de f(x, y) en el punto genérico:
Estamos frente a un prisma cuya sección recta es el área del sub-intervalogenérico y la altura el valor de f(x, y) en el punto genérico, cuyo volumen estará dado por:
Como tenemos mxn sub-intervalos, tendremos mxn prismas, sumando los volúmenes, que se obtienen sumándolas ordenadamente (suma de Riemann):
Llevando al límite cuando m y n tienden a infinito:
Luego: 
EJEMPLO
Halle el volumen del sólido que se encuentra encima de z=0, dentro del cilindro 
z=
Como la región es un círculo
conviene usar C.C. Polares
x= rcosθ e y=rsenθ
La circunferencia:
La región de integración es el círculo, que en C.C. Polares queda definido de la sguiente manera;
 z
 4
 D
 x 2 1 0
 y 
z=
D = {(r, θ)/ - y 0 ≤ r ≤ 2cos θ} 
z = (x, y) = 
z = f(r, θ) = reemplazando:
 y
 r=2cosθ
 r
 θ
 D
 0 1 2 x
EJEMPLO
Determinar el volumen del sólido que está encima del plano z=0, limitado por los planos x=4 ; y = 6-x, y= 0; x=0 y debajo de 
 como se muestra en la figura siguiente.
 La región es tipo I:
			 D={(x, y)/ 0≤x≤4 y 0≤y≤6-x}
			 El volumen estará dado por:
			 
APLICACIONES
Valor medio, es el valor “z = f(x, y)” que multiplicada por el área de la base, sea igual al volumen que se encuentra debajo de la superficie S definida por z = f(x, y).
Área de la región D, se determina de modo indirecto, ya que en realidad lo que se calcula es el volumen del sólido cuyo volumen coincide con el valor del área de la región D.
 Sabemos que: 
	
1
EJEMPLO
Con el ejemplo anterior vamos a:
a) Calcular el área de D:
b) Calcular el valor medio:
Como el volumen esta dado por V = 48 
El valor medio z = = 
Cálculo de la masa de la región D
 SI f(x, y) es la densidad superficial = ρ(x, y) = 
 Entonces dm = ρ(x, y) dA integrando:
 En el ejemplo anterior si ρ(x, y) = 2x
Cálculo de los momentos de primer orden y centro de masa
Sabemos que la masa viene dada por:
Y sus momentos alrededor de los 
dos ejes coordenados son: 
El centro de masa se localiza en el punto
Donde: 
x
y
MOMENTOS DE INERCIA
 El Momento de Inercia es una medida de
 la materia a resistirse a cambios en el 
 movimiento de rotación.
 Si consideramos un diferencial de masa
 en un punto cualquiera de la lámina, el
 dIy = y
 dIx = Integrando:
 
 El momento de Inercia respecto al origen: Io = Ix+Iy
x
y
EJEMPLO
Una lámina de densidad ρ(x,y)=xy está limitada por el eje de las x, la recta x = 8 y la curva y=x 2/3 . Calcular: la masa, el centro de masa y momentos de inercia.
Solución: En la figura, se aprecia la región correspondiente a la lámina
y=x 2/3 
D
Calculando los primeros momentos, se tiene:
Por lo tanto, el Centro de Masa de la lamina es:
 cm=
Para hallar los momentos de inercia aplicamos:
x
y
y=x 2/3 
D
AREA DE UNA SUPERFICIE
Sea S una superficie con ecuación z = f(x, y), donde F tiene derivadas parciales continuas. Para facilitar el análisis consideramos un dominio rectangular D=[a, b]x[c, d]
Dividimos en el intervalo [a, b] en
n partes iguales y el [c, d] en m, de
modo que:
 y 
Tendremos una malla de mxn sub-
intervalos iguales. Tomamos el sub-
Intervalo genérico, ij y definimos el
punto genérico (xi, yj) y por ese 
punto trazamos el plano tangente.
c
d
a
 b
x
Dicho plano queda dividido por 
las aristas del prisma correspon-
dientes al sub-intervalo genérico
en un paralelogramo, como se
muestra en la figura en azul.
Si hacemos un zoom en esta
zona tendremos:
Vamos aproximar el área ΔSij
con el área del plano tagente ΔTij
a
b
ΔSij
ΔTij
Como ΔTij es igual //a x b// vamos a calcular a y b:
Como a es paralelo al plano y=0 no tiene componente “j” luego a=(Δx, 0, Δx fx(xi, yj)) y b por ser paralelo al plano x=0 no tiene componente “i” luego b = (o, Δy, Δy fy(xi, yj)) 
 
Como tenemos mxn sub-intervalos, tenemos que sumarlos, aplicando la suma de Riemann:
 
Llevando al límite Tij cuando m y n tienden a infinito
Expresión que nos permite calcular el área de la superficie S
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
Hallar el área de la porción del plano 
z = 2 – x – y que está interceptada por
El cilindro 1 en el primer 
cuadrante 
La región de integración D, al ser parte
De un círculo, conviene usar C.CPolares
Luego D={(r, θ)/ 0≤ θ ≤ π/2 y 0 ≤ r ≤ 1}
Como el área viene dada por:
Tenemos que calcular fx y fy:
fx(x, y) = -1 y fy(x, y)= -1
Reemplazando en la integral los datos:
EJEMPLO 2
Hallar el área de la superficie de sobre el círculo de radio 1.
Calculamos las derivadas parciales
 y
 
Como R es un círculo, usamos Polares
D ={(r, θ)/ 0 ≤ r ≤ 1 y 0 ≤ θ ≤ 2π}
INTEGRALES TRIPLES
Las integrales triples se aplican para funciones de tres variables como w = f(x, y, z), esto nos presenta una gran dificultad debido a que no sabemos graficar dicha función debido a que se encuentra en un espacio tetra-dimensional, pero por inducción, aunque no sepamos como es, intentaremos imaginarlo. Las integrales triples se logran entender mejor en las aplicaciones.
Tomaremos como dominio un prisma recto, pero para facilitar el análisis nuestro dominio D =[0, a]x[0, b]x[0, c], y dividiremos 
El [0, a] en n partes iguales; el [0, b] en m partes iguales y el [0, c] en ñ partes iguales, de modo que tendremos mxnxñ sub-intervalos iguales, cuyas dimensiones son:
Tomaremos el elemento genérico ijk
De coordenadas 
El prisma genérico tiene como 
punto medio a 
y su volumen 
Definimos el valor de f en ese
punto w = f
c
a
b
Asociando este valor con su correspondiente volumen, tendríamos:
Como tenemos mxnxñ sub-intervalos y que cada uno lleva asociado el producto 
Sumándolos ordenadamente tendríamos, según la suma de Riemann:
Llevando al límite cuando n, m y ñ → :
 INTEGRAL TRIPLE
TEOREMA DE FUBINI
Si “f” es continua sobre su dominio D =[0, a]x[0, b]x[0, c], entonces:
El orden de integración es de adentro hacia afuera, en la integral de la derecha, empezamos integrando respecto a z, manteniendo constantes a y y a z. luego integramos respecto a y manteniendo constante a x y por último integramos respecto a x. Hay otras posibles órdenes de integración:
Integrales Triples para Regiones más Generales
Tomemos una función f(x, y, z) continua en una región general E, que es un sólido simple y cerrada situada en el primer octante.
Definimos una función F(x, y, z) de
dominio D= =[0, a]x[0, b]x[0, c], que
contiene a E, del modo siguiente:
Como F satisface la definición: la 
Integral será:
 
0 E
D
c
b
a
Expresando la integral de modo explícito:
Por tanto:
TIPOS DE REGIONES DE INTEGRACION
Región Tipo I: E1={(x, y, z)/ (x, y) є R y u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}
La integral será:
 z
 z = u2(x, y)z=u1(x, y)
 0 y
 R
 x
Esta integral presenta dos alternativas dependiendo de como es la región R.
a) Si R es tipo I: R1 ={ (x, y)/ a ≤ x ≤ b y h1(x) ≤ y ≤ h2(x) }
b) Si R es tipo II: R2 ={ (x, y)/ c ≤ y ≤ d y g1(y) ≤ x ≤ g2(y) }
2) Región Tipo II: E2={(x, y, z)/ (y, z) є R y u1(y, z) ≤ z ≤ u2(y, z)}
La integral será:
Si R es tipo I: 
 R1={ (y, z)/ c ≤ y ≤ d y h1(y) ≤ z ≤ h2(y) }
 
b) Si R es tipo I: R2={ (y, z)/ e ≤ z ≤ f y r1(z) ≤ y ≤ r2(z) }
 z
 R
 E u1(y, z)
 u2(y, z) y
 x
3) Región Tipo III: E3={(x, y, z)/ (x, z) є R y u1(x, z) ≤ y ≤ u2(x, z)}
Si R es tipo I: 
R1={ (y, z)/ a ≤ x ≤ b y h1(x) ≤ z ≤ h2(x) }
b) Si R es tipo II: R2={ (y, z)/ e ≤ z ≤ f y r1(z) ≤ x ≤ r2(z) }
 z
 u1(x, z) u2(x, z) 
 R 
 0 y
x 
EJEMPLO Evaluar la integral en donde Q es:
 La región E será: E={(x, y, z) / (x, y)ϵ R y o ≤ z ≤ }
 
 
 z
 
 
 x=0
 0 E
 y=0
 z=0
 R
Como la región R es un sector de corona circular, usaremos CC. Polares: x =rcos. y=rsen:
Luego R={(r, )/ 1
EJEMPLO
Evaluar la integral en el recinto señalado
Es una región Tipo I: graficando R Y E:
La región ES Tipo i: R = { } 
Luego E = 
Con esa información podemos construir los gráficos
R
0 1 2 x
E
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES
Cálculo de Volúmenes
De modo análogo, el Volumen se calcula haciendo f(x, y, z) = 1 en la integral:
 
EJEMPLO
Calcular el volumen del sólido limitado por las superficies: 
Plano ; Cilindro parabólico y los planos coordenados
Según el gráfico la región E es tipo I:
E={(x, y, z)/ (x,y)ϵR y o≤ z ≤ }
Donde R=[(x, y) / 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤6-x}
Luego la integral :
planteadas. Luego; 
se puede visualizar el sólido que se genera de la intersección de 
dichas superficies
Cálculo de la Masa del sólido definido por el Dominio
dm = ρ(x, y, z) dV Integrando:
EJEMPLO Calcularemos la masa del sólido visto en el ejemplo anterior si ρ(x, y, z) = 2x
Reemplazando en la ecuación:
Cálculo de Momentos de Primer Orden y el centro de masa
Se calculan respecto a los planos coor-
denados:
dMxz= dm = y 
dMxy= dm = z 
dMyz= dm = x 
Integrando:
x
z
y
dm
El Centro de Masa se calcula:
La masa viene dada por:
Los Momentos de Primer Orden:
Luego las coordenadas del centro de masa es una media ponderada:
62
Calcular el centro de masa del cubo unidad cuyos vértices son (0,0,0); (0,1,0); (1,1,0), (0,1,0); (0,0,1); (1,0,1); (1,1,1); (0,1,1). Si la densidad en el punto (x,y,z) es proporcional al cuadrado de su distancia al origen
Cálculo de Myz:
a
Por simetría y como la densidad es constante 
Por tanto
 
 cm= 
y
x
y
x
f
V
j
i
ij
D
D
=
)
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*
å
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D
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D
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j
j
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D
D
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j
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ò
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ê
ë
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)
,
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]
2
27
2
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9
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:
2
27
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2
3
2
3
2
:
2
1
2
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1
2
1
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0
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2
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û
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ë
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ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
y
dy
y
dy
y
x
dy
ydx
x
I
x
a
respecto
primero
Integramos
x
dx
x
dx
y
x
dx
ydy
x
I
y
a
respecto
primero
Integramos
ò
ò
3
0
2
1
2
dx
ydy
x
3
2
0
3
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
3
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
48
3
144
3
32
176
3
4
3
88
4
3
88
2
3
16
)
2
16
(
)
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(
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y
y
V
dy
y
dy
xy
x
x
V
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y
x
dxdy
y
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f
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ú
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-
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ú
û
ù
ê
ë
é
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ú
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ù
ê
ë
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-
-
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ò
ò
ò
ò
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y
x
si
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y
x
si
y
x
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òò
òò
òò
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R
D
R
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y
x
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dA
y
x
f
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y
x
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0
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òò
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x
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(
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D
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y
x
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2
2
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1
1
2
x
y
x
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2
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2
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ò
ò
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-
+
-
-
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+
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+
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+
=
+
1
1
4
3
2
2
3
1
1
1
2
2
1
1
1
2
4
2
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1
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2
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2
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x
x
x
x
x
dx
y
xy
I
I
dx
dy
y
x
dA
y
x
x
x
x
x
D
[
]
(
)
(
)
15
26
15
24
20
30
5
)
2
(
3
4
0
3
)
2
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