Sistemas de Datos Muestreados Tarea 5

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RELACION ENTRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA Z
JORGE ANTONIO JIMENEZ BERNAL
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO
F.E.S. CUAUTITLAN CAMPO 4
Carrera: Ingeniería en Telecomunicaciones, Sistemas y Electrónica
Materia: Sistemas de Datos Muestreados
Docente: Ing. Omar Tequipaneca Escobar
Grupo: 1759
Semestre 2017-1
Fecha de entrega: 21/09/2016
RESUMEN.
La transformada z es una herramienta muy usada en el análisis y la síntesis de sistemas de control en tiempo discreto, similar a como lo es la transformada de Laplace en sistemas en tiempo continuo. En un sistema de control en tiempo discreto, una ecuación en diferencias lineal caracteriza la dinámica del sistema, para determinar su respuesta ante determinada entrada debe resolverse su ecuación en diferencias. Con el método de la transformada z; de la misma manera en que con la transformada de Laplace transforma las ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo en ecuaciones algebraicas en función de s, la transformada z lo hace para las ecuaciones en diferencias lineales e invariantes en el tiempo a z. Ambas transformadas tienen propiedades análogas, en ocasiones las mismas (solo varían los coeficientes o se agregan variables) y pueden calcularse de una a otra transformada según se requiera con la respectiva relación.
PALABRAS CLAVE.
Señales en Tiempo Discreto, Transformada de Laplace, Señal Discreta, Modelado de Sistemas Discretos, Trasformación Bilineal, Plano complejo Z.
RELACION ENTRE LAS TRANSFORMADAS
	En vista que las variables complejas z y s están relacionadas mediante . Esto significa que un polo en el plano s puede quedar localizado en el plano z. Dado que la variable compleja s está formada de una parte real y una imaginaria tenemos:
De esta última ecuación se ve que los polos y ceros en el plano s, donde las frecuencias difieran en múltiplos enteros de la frecuencia de muestreo , corresponden a las mismas localizaciones en el plano z. Esto significa que por cada valor de z , existirá un número infinito de valores de s. Dado que es negativo en el semiplano izquierdo del plano s , el semiplano izquierdo del plano s corresponde a
El eje en el plano s corresponde a |z|=1. Esto es, el eje imaginario en el plano s (la línea ) corresponde al círculo unitario en el plano z, y el interior del circulo unitario corresponde al semiplano izquierdo del plano s.
	Entonces se podrían definir las transformada de Laplace a partir de la transformada Z y viceversa, solo aplicando la relación anteriormente mencionada en la mayor parte de los casos.
TABLA DE DUALIDAD DE TRANSFROMADA Z/LAPLACE
TRANSFORMACION BILINEAL
	Una aplicación bastante importante que tiene que ver con la trasformada de Laplace y la transformada Z es la, llamada transformación bilineal,
	En Teoría de Control para analizar las propiedades de sistemas, se recurre a la transformada de Laplace, que permite (entre otras cosas) transformar sistemas de ecuaciones diferencial a sistemas de ecuaciones algebraicos; lo más habitual es relacionar cada sistema con una función de transferencia, que comúnmente (cuando el sistema es lineal) es un cociente de polinomios, para ser representada mediante bloques. Esta representación es ampliamente usada para diseñar sistemas de control como P, Pi, PID, PI-PD, etc. y funciona bastante bien cuando se trata de sistemas continuos. Para el tratamiento de sistemas discretos, se emplea la transformada Z, para llevar de una representación a otra basta con mapear ., donde T es el tiempo de muestreo. Dado el amplio desarrollo en el dominio de Laplace de estrategias de control (principalmente de estabilidad) resultaría deseable recuperar algunas de estas propiedades. Y aquí es donde surge la necesidad de esta transformación.
CONCLUSION
Cuando pasamos del continúo al discreto, el comportamiento de los sistemas es el mismo, pero solo podemos ver como se encuentran en instantes de muestreo, por lo que el dominio de Laplace no es adecuado para el análisis de estos, se emplea la transformada z, para convertir un sistema en s a otro en z basta con evaluar , siendo T periodo de muestreo.
REFERENCIAS
Ogata, K. (1996). Sistemas de Control en Tiempo Discreto. Pearson Educacion.
 http://es.slideshare.net/AngelPerez53/tablas-de-transformada-z. Recuperado 18/09/2016