APLICACIONES DE LA DERIVADA - EJERCICIOS RESUELTOS

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 EJERCICIOS RESUELTOS 
 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICACIONES 
DE LA 
DERIVADA 
A.- Ejercicios Recta 
Tangente y Normal 
C.- Problemas de 
aplicación de recta 
tangente y normal 
E.- 
Gráficas 
D.- Problemas de 
Optimización 
B.- Ejercicios de 
Estudio de Funciones 
A.- RECTA TANGENTE Y NORMAL 
a) Determinación de ecuaciones de recta tangente y normal por un punto   fafa P )(, 
 
Ejercicio1.- Determine la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación 
 xsenx
2x
 (x) f en el punto de abscisa 
2
π
 
 
 
 
normal recta Ecuaciónπ x- y 
 tangente recta Ecuaciónx y
1nm 1tm







































































































 
2
-x y
 
2
-x y 
normal rectay tangente recta ióndeterminac c)
 
1
 . 
1
 sen -2 ln 
0
xfm 
:tangente recta la de e pendientla de aciónerc
senxx 
x
1
 . x) sen -(2 x ln xxf 
x
1
 . x) sen -(2 x ln x
y
y'
 
x ln x sen -2 y ln 
(x) 'f de ióndeterminac b)
2
 
2
P 
sen
y
0y ióndeterminac a)
 ; 










.1
2
.1
2
1
2
.
.
2
2
.
.
2
.2
.
2
.
2
.
cos)0('
mindet)
2..cos)('
.cos
,
2
12
2
2
2
2
0

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Determinación de ecuaciones de recta tangente y/o normal que sean paralelas o 
perpendiculares a una recta. 
 
Ejercicio 2 
Dada la función definida por: 4
2
 xn l(x) f domf= R – {-2, 2} 
a) Determine, si existe, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f que sea horizontal. 
b) Determine, si existe, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f que sea paralela a 
la primera bisectriz 
c) Determine, si existe, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f que sea vertical 
d) Bosqueje la gráfica de f 
 
La derivada de f es: 
 
4
2
x
2x
2x .
4
2
x
4
2
x
.
4
2
x
1
 (x) f





 
Hay que determinar las coordenadas del punto P(x0, y0) , si existe, en el que la recta tangente es 
horizontal o sea que tiene pendiente cero. mt = 0 
 
La derivada en el punto P(x0, y0) es: 
tmxf 


4
2
0x
02x)0(' 
 
a) La abscisa del punto P en el que la recta tangente es horizontal es: 
como mt= 0 se tiene 00
4
2
0x
02x 

0x 
 
- Las coordenadas de P en el que la recta tangente es horizontal son: 
 1.4 0, P ; 0y 4 y 4,1ln4ln4
20ln0  
 
- La ecuación de la recta tangente en P es: 
  tangente recta Ecuación 1,4 y  -x y 0.04.1 
 
b) Las abscisas de los puntos Q en el que la recta tangente es paralela a la primera bisectriz 
son: 
como mt= 1 se tiene 2x ; 1x x 24,324,100
2
01
4
2
0x
02x 4-2x 

 
- Las coordenadas de Q1, Q2 en los que la recta tangente es paralela a la primera bisectriz 
son: 
 
 
 1,9 3,24, P 
0,9 1,24,- P 
 ; 0y 6,49y
 ; 0y 2,46 y
9,1ln49,6ln42)24,3(ln0
9,0ln46,2ln42)24,1(ln0


 
 
- Las ecuaciones de las rectas tangentes en Q1, Q2 es: 
 
 
 
 tangente recta Ecuación 1,34x y
 
tangente recta Ecuación 2,15x y


 x y 
 1,24x y 
24,3.19,1
.19,0
 
 
c) La abscisa del punto R en el que la recta tangente es vertical es: 
como mt= ∞ se tiene domf x ; 0 

204x 20
4
2
0x
02x 
Por tanto no hay valores en los que la recta tangente es vertical 
 
d) Gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Determinación de ecuaciones de recta tangente y/o normal a la gráfica de f por un punto 
A  f . 
 
Ejercicio 3 
Determine las coordenadas del/os puntos en los que la recta tangente a la gráfica de la función 
definida por 2)(  xxf pasa por el origen de coordenadas. 
- Bosqueja la gráfica de f para interpretar la situación 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- La pendiente de la recta que pasa por A y por P es: 
10
0


x
y
m (1) 
- La pendiente de la recta tangente a la curva f que pasa por P es: 
tm
0x 
x f 
x 
x f 




22
1
)0('
22
1
)(' (2) 
- Igualando (1) y (2) 
  10
2
2
22
1
10
0
22
1
10
0
2








x0x2. 
0x x
0x x
y
x
 
- Despeja x0 y determina P 
  P(3,1) 0y ; 0x ; x02x ; x0x 2.  1233104102 
 
- La ecuación de la recta tangente es: 
 
2
1
x
2
1
 y 

 ; 3-x y .
13
1
1 
 
 
 
B.- ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN 
Ejercicio 4 
Sea la función f definida por 2x24x
4
1
 f(x)  se pide: 
a) Números críticos 
b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 
c) Aplicando Criterio de la Primera Derivada, determine los Extremos Relativos, si presenta. 
d) Intervalos de concavidad 
e) Puntos de inflexión, si posee 
f) Represente las funciones con Geogebra y verifique sus resultados 
 
a) Puntos Críticos: 
 La primera derivada de f es: x43x(x) ' f  
 
 Puntos Estacionarios: 
 











 

2x ; 2x
 0x
0)(x' f
32
1
0
 x ; x
 
 x .x ; xx
22
2
404
04043
 
 
 ecorrespond o n :existe no0 )(x' f 
 
 
b) y c) Intervalos de Crecimiento/decrecimiento y Extremos Relativos 
Representar el dominio de f y ubicar los puntos críticos en la recta numérica y elegir valores 
de prueba en cada intervalo (cercanos a los puntos críticos) 
 
 
 
 
 
 
 
Al reemplazar los valores de prueba en f’(x) se obtiene: 
-∞ -2 0 2 ∞ 
Valores de Prueba: x = -3 x = -1 x = 1 x = 3 
























 







0) (-2, en esf 0 (x)f' 
) f dom 2 x 
0) (-2, en esf 0 (x)f' 
) f dom 0 x 
0) (-2, en esf 0 (x)f' 
 domf -2x 
 2) -,(- en esf 0 (x)f'2) -,(-
2 x .x 
 creciente
4- (2, R en relativo mínimo
edecrecient
(0,0 Q en relativo máximo
 creciente
4)- P(-2, en relativo mínimo
 edecrecient
),2(
)2,0(
)0,2(
04
 
 (x)' f 
 d) y e) Intervalos de Concavidad y Puntos de Inflexión 
 La derivada segunda de f es: 42x3(x) '' f  
 








1,15 x
1,15- x
 ; 0)(x'' f
2
1
0 
3
4
 x ; 
3
4
x ; x 22 043 
 presenta o n :existe no )(x' f 0 
 Intervalos de Concavidad 
 
 
 



















) (1,15, en esf 0 (x)f' 
 f dom 1,15 x 
1,15) ; (-1,15 en esf 0 (x)'f' 
 domf -1,15x 
 1,15) -,(- en esf 0(x)'f'1,15) -,(-
2 3x
 
 
)
 
arriba hacia cóncava
2,22- (1,15, PI 
 abajo hacia cóncava
2,22- (-1,15, PI 
 arriba hacia cóncava 
 (x)'' f
),15,1(
)15.1,15,1(4 
 
 
 
 
-∞ -1,15 1,15 ∞ 
Valores de Prueba: x = -2 x =0 x = 2 
Ejercicio 5: Sea la función f definida por 
 
x
4-2x
 f(x)
2
2
4
 
se pide: 
Dominio, b) Números críticos, c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, d) Aplicando Criterio 
de la Primera Derivada, determine los Extremos Relativos, si presenta, e) Intervalos de concavidad 
f)Puntos de inflexión, si posee, g) Represente la función con Geogebra 
 
a) Dominio 
 2 Rdomf ,2 
 
b) Números críticos 
- 
x
8x-
 (x)f'
2
2
4



 
 
- Punto Estacionario: 
 ; 0 8x - 0
x
8x-
 (x)f'
2
0 x 




 

2
4
 
- Punto Singular: 
 ; 0 x 
x
8x-
 (x)f' 2
2
 domf 2 x 



 




 

2
2
4
4
 
 
c) d) Crecimiento, decrecimiento y Extremos relativos (si presenta) 
 
 
 
 
 
 












 




 ) , 0 ( en esf 0 (x)f' 
 domf x 
 0) ,(- en esf 0 (x)f'0) ,(-
2
 
x
8x-
 
 edecrecient
1) P(0, en relativo máximo
 creciente
),0(
0
2
4
 
 (x)' f
 
 
-∞ 0 ∞ 
Valores de Prueba: x = -1 x =1 
d) y e) Intervalos de Concavidad y Puntos de Inflexión 
- 
x
3224x
 (x)'f'
2
2
3
4



 

 
- Posibles Puntos de Inflexión 
 
 
 
 
PI noy domf 2 xy exist e no (x)'f' , 2 x para; 0
2
x 
 
2
x
32
2
24x
 (x)'f'
0 (x)'f' cuál el parax de valor exist e no ; 032
2
24x 0 
2
x
32
2
24x
 (x)'f'








3
4
3
4
3
4
 
 
 
 
 


















 







) (2, en f 0 (x)f' 
 domf -2x 
 2) -(-2, en esf 0 (x)f' 
 domf -2x 
 2) -,(- en esf 0 (x)'f'2) -,(-
2
 
x
x
 arriba hacia cóncava
 abajo hacia cóncava
 arriba hacia cóncava
),2(
)2,2(
3
2
4
3224
PI hay no
PI hay no 
 
(x)' f'
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-∞ -2 2 ∞ 
Valores de Prueba: x = -3 x =0 x = 3 
C.- PROBLEMAS de APLICACIÓN RECTA TANGENTE 
 
Ejercicio 6 
Determine la altura del punto de contacto entre el rayo emitido por un reflector ubicado a 10m 
del extremo derecho de la vivienda y la cubierta. La sección de estructura de cubierta de la 
vivienda es elíptico de ecuación 
2x-100 y
5
4
 .Se sabe además que el rayo de luz del 
reflector toca tangencialmente a la estructura en dicho punto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Esquema de la situación 
 
 
 
 
 
 
- La pendiente de la recta que pasa por A y por P es: 
200
0


x
y
m (1) 
- La pendiente de la recta tangente a la curva f que pasa por P es: 
tm
2
0x-100 
x f 
2x-100 
x f
xx
 0
5
4
)0('5
4
)(' (2) 
 
- Igualando (1) y (2) 
 200
2
2
2
0
5
4
200
2
5
4
2
0
5
4
200
0










0x x0x-100 
0x-100
x
x
0x-100
0x-100
x
x
y
 
 
- Despeja x0 y determina P 
 
 m25-100 0y ; x
xx0x-100 0x x0x-100 
93,6
5
4
100020
020
2
0
2
200
2
2







5m0x
 
 
- El punto está a una altura: 
 h = 6,93m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.- PROBLEMAS de OPTIMIZACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procedimiento Sintético 
a) Identificar la magnitud 
que hay que optimizar 
(máximo o mínimo) 
b) Expresar la magnitud en 
función de variables. Para ello 
podrá valerse de esquemas, 
gráficos, etc. 
c) Expresar la magnitud a 
optimizar en función de una 
sola variable desconocida. 
Para ello deberá hacer uso de 
los datos del problema y 
vincularlos con las variables 
desconocidas. 
d) Derivar la función obtenida 
en b) 
e) Encontrar los puntos 
estacionarios f’(x) = 0. 
f) Obtener la segunda derivada 
f’’(x). 
g) Aplicar el Criterio de la 
Segunda Derivada y determinar 
el valor de la variable que 
maximiza o minimiza la 
magnitud a optimizar. 
h) Determinar el valor de las 
otras variables 
Ejercicio 7 
 
Se dispone de 200m de alambre para cercar un 
terreno rectangular. Determine las dimensiones 
del terreno de área máxima que se puede 
delimitar con la cantidad de alambre disponible. 
 
 
 
Paso a) Identificar la magnitud a optimizar 
 De acuerdo al enunciado lo que se quiere que se maximice es el área del rectángulo a la que 
llamaremos A. 
 
Paso b) Expresar la magnitud en función de variables. 
Para expresar la magnitud a optimizar hacemos un esquema del terreno rectangular y le 
asignamos nombres a las dimensiones desconocidas. 
 
 
 
(1) y . xA  
 
Paso c) Expresar la magnitud a optimizar en función de una sola variable 
 La expresión (1) depende de dos variables desconocidas. Para que quede en función de una 
sola variable hacemos uso de los datos brindados: 
 Dato: 200m para cercar el terreno (perímetro) 
 
asdesconocid variables las 
 vincula que Expresión )(2 x - 100 y 200 y)(x 2 ; y x 2.P
200m P


 
Reemplazando (2) en (1): 
  2 x- 100x (x) A; x-100 . xA  
 Esta última expresión es la que se trabajará. 
x 
y 
Paso d) Derivar la función obtenida 
 Derivar A 
 2x 100(x)A'  
 
Paso e) Encontrar los puntos estacionarios f’(x) = 0. 
50m x 

 0 2x - 100
02x 100(x)A'
 
 
Paso f) Obtener la segunda derivada 
 0 x2- 2(x)'A'  
 
Paso g) Aplicar el Criterio de la Segunda Derivada 
  Máxima es Áreael 50m x  para 0 2- 050 -2(50)'A' 
 
Paso h) Determinar el valor de las otras variables 
Según (2) 
50m y 

 50 50 - 100 y
 x - 100 y 
 
 
 
 
 El procedimiento aplicado para el planteo y resolución de problemas es igual 
para todos los casos. 
La dificultad, si las hubiera, se presenta en el trabajo algebraico de la derivada para determinar el 
valor de las dimensiones. 
 
E.- GRÁFICAS 
La gráfica de la función f es: 
 
 
 
 
 
 
Selecciona la derivada de f y Justifica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La derivada de f es la gráfica b). En el intervalo [0,2) f la pendiente de la recta tangente es 
negativa y ello ocurre en la gráfica b). Además en el intervalo (2,4] la función es constante y su 
derivada es nula tal como se muestra en b) 
a) b) 
c) d)