Mate 2_ teoría U4__2020

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Escuela Superior de Ciencias Exactas y Naturales 
Derivadas parciales 
Dr Alfredo Gonzalez 
UNIDAD 4 
1 
Derivadas parciales 
• Suponga que tenemos una función f en dos variable 
x e y. Si dejamos una variable fija, por ejemplo la x, 
asumiendo un valor a y variamos la y, podemos ver 
en cierta manera que tenemos una función de una 
sola variable dada por g( y) = f (a, y). 
• Podemos entonces considerar derivar g con respecto 
a su variable, el resultado es la derivada parcial de f 
con respecto a la variable y en (a, y) . En este caso la 
notación empleada está dada por fy (a, y) 
 
2 
Derivadas parciales 
• o por la notación de Leibniz : 
 
 
 
• Definición formal: Sea f una función en las variables x e y. La derivada parcial 
de f con respecto a x está definida por: 
 
 
• siempre y cuando este límite exista. 
• La derivada parcial de f con respecto a y está definida por: 
 
 
 
 
 siempre y cuando este límite exista. 
3 
• Si los valores de f son representados por z, 
esto es si z = f (x, y) entonces también usamos 
notaciones como 
 
 
 
 
• Otras notaciones usadas para las derivadas 
parciales están dadas por fx y fy 
4 
• Para calcular derivadas parciales nos valemos de las reglas 
existentes para una sola variable. 
• Si por ejemplo queremos calcular 
 
 
 
consideramos a y como una cte y derivamos con respecto a x. 
 
• Si queremos calcular 
 
 
 se deriva con respecto a y manteniendo a x como una cte 
 
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Ejemplos 
• 1) Calcule: y para 
 
• f (x, y)= 3x2 -4xy+ 5y3 
 
 
 
 
 
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6 
2) Calcule fx y fy para 
 
Dr Alfredo Gonzalez 7 
Ejemplos 
Interpretación geométrica de la 
derivada parcial 
• Recordemos que la gráfica de representa una superficie S. 
Si entonces P(a,b,c) el punto está sobre la superficie S. 
 
• El plano vertical interseca a la superficie S en la curva C1 
• (es decir, C1 es la traza de la superficie S sobre el plano y=b) . De 
manera semejante, el plano vertical x=a interseca a la 
superficie S en la curva C2 . Ambas curvas pasan por el punto P . 
 
• Observe que la curva C1 es la gráfica de la función g(x,b) de manera 
que la pendiente de su recta tangente T1 en el punto P es 
g’(a)=fx(a,b). 
 
• La curva C2 es la gráfica de la función g(y) = f(a,y) así que la 
pendiente de su tangente T2 en el punto P es g’(b)=fy(a,b) 
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Interpretación geométrica de la 
derivada parcial 
 derivada parcial en P respecto a x derivada parcial en P respecto a y 
C1 es la traza de la superficie S sobre 
el plano y=b 
C2 es la traza de la superficie S 
sobre el plano x=a 
La pendiente de T2 en P es 
g’(b)=fy(a,b) 
La pendiente de T1 en P es 
g’(a)=fx(a,b) 
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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA 
CONCLUSIONES 
• Las derivadas parciales fx(a,b) y fy(a,b) pueden 
interpretarse geométricamente como las 
pendientes de las rectas tangentes a las curvas 
C1 y C2 en el punto P, respectivamente. 
 
• Pueden también ser vistas como razones de 
cambio. Si z=f(x,y), entonces fx representa la 
razón de cambio de z con respecto a x, cuando y 
permanece fija. De manera semejante, 
fy representa la razón de cambio de z con 
respecto a y, cuando x permanece fija. 
 
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Derivación de orden superior 
• Si f es una función en las variables x e y 
entonces, en general, las derivadas parciales 
son funciones también de x e y , y por tanto se 
puede calcular su derivada tanto para x como 
para y. 
• Estas derivadas se llaman segundas derivadas 
parciales de f y son 4 en total. 
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Derivación de orden superior 
Notaciones 
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TEOREMA DE SCHWARTZ 
• O de la igualdad de derivadas cruzadas. 
• Si f(x,y) tiene derivadas segundas cruzadas en 
(x0,y0), y éstas son continuas en un intervalo 
abierto conteniendo a (x0,y0) entonces 
 
fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0) 
 
 
 
 
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Aproximación lineal o incremental 
• Para 1 variable se sabe que si f es derivable y Δx es suficientemente 
pequeño  se puede aproximar el incremento Δf=f(x0+Δx)-f(x0) por 
 Δf=f’(x0) Δx 
  f(x0+Δx)=(aprox) f(x0)+ f’(x0) Δx 
 
• ANÁLOGAMENTE PARA UNA FUNCIÓN DE 2 VARIABLES: 
• Si f(x,y) y sus derivadas parciales fx y fy están definidas en una región 
abierta R que contiene al punto P(X0,Y0) y fx y fy son continuas en P  
 
 Δf=fx Δx + fy Δy + fz Δz 
Ejemplo 1: Un cajón abierto de longitud = 3m(x), ancho = 1 m (y) y 
 altura = 2m (z). Está construido con un material que cuesta 
 20 Euros/m2 de lateral y 30 Euros/m2 de fondo. 
Calcule el costo total del cajón y use incrementos para estimar la variación 
del costo cuando la longitud y el ancho aumentan 3 cm y la altura decrece 
4 cm. 
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• Datos: 
• L= 3m (x); ancho= 1m (y); alto=2m (z) 
• Sup laterales=2xz+2yz 
• Sup fondo=xy 
• 20 Euros/m2 de lateral y 30 Euros/m2 de fondo. 
• Longitud y ancho aumentan 3 cm y la altura decrece 4 cm 
• Solución: 
• Sup total del cajón sin tapa S = xy + 2yz + 2 xz 
• El costo total está representado por: 
• C(xyz) = 30 xy + 20 (2xz + 2yz) 
• Las derivadas parciales son: 
• Cx=30y + 40z; Cy = 30x + 40 z; Cz = 40x + 40 y 
• Las dimensiones de la caja que cambian son: Δx= 0,03 m; Δy=0,03m y 
• Δz=- 0,04m 
• La variación total del costo se puede aproximar: 
• ΔC= Cx(3,1,2) Δx + Cy(3,1,2) Δy + Cz(3,1,2) Δz 
• ΔC= 2 el costo aumentó 2 Euros aproximadamente. 
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DIFERENCIAL TOTAL 
• Para una función de 1 variable y = f(x) el 
diferencial es: dy=f´(x) dx 
• Para 3 variables es: 
 df= dx + dy + dz DIFERENCIAL TOTAL 
 
• EJEMPLO: F(X,Y,Z) = 2x3 + 5 y4 -6z 
df= 6x2 dx+ 20y3 dy– 6dz 
 
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REGLA DE LA CADENA 
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REGLA DE LA CADENA 
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e 
REGLA DE LA CADENA 
20 
e 
v 
REGLA DE LA CADENA 
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Plano tangente y recta normal a una superficie 
• Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano 
que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por 
el punto P. 
• Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es 
perpendicular al plano tangente. 
• Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación F(x,y,z)=0, 
entonces la ecuación del plano tangente en un punto de la superficie viene 
definido por la ecuación: 
 
• y la recta normal por: 
 
 
 
 
• Si la ecuación de la superficie está definida de manera explícita z = f(x,y) 
entonces la ecuación del plano tangente en el punto viene definida por: 
 
 
• y la ecuación de la recta normal: 
 
 
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EJEMPLO 
• Halla la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie 
dada en el punto P(1,2,3). 
 
 
• Solución: 
Hallamos las derivadas parciales: y 
 
• En el punto P(1,2,3) las derivadas parciales son: 
 
 
 
• Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(1,2,3) es: 
 simplificando: 
 
y la ecuación de la recta normal es: 
 
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MÁXIMOS, MÍNIMOS Y PUNTOS DE SILLA 
• Es una extensión del caso de funciones de 1 sola variable. 
 
 
 
 
• Los máximos relativos 
• corresponden a los picos y los 
• mínimos relativos a los hoyos 
• o pozos. 
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TEST DE LA SEGUNDA DERIVADA 
Para f de 1 variable, para determinar si el o los valores de x pertenecen a un máximo o un 
Mínimo: 
Si f´´(x0)<0 entonces X0M pertenece a un máximo. Punto máximo P(x0M,y0M) 
Si f´´(x0)>0 X0m pertenece a un mínimo. Punto mínimo Q(x0m,yom). 
Si f´´=0 el test falla, posible punto de inflexión si f´´´(x0) es distinto de cero. 
 
MÁXIMOS, MÍNIMOS Y PUNTOS DE SILLA 
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MÁXIMOS, MÍNIMOS Y PUNTOS DE SILLA 
• PARA 2 VARIABLES• Supongamos que f(x,y) tiene un punto crítico en P0(x0,y0) y que f´ tiene 
derivadas parciales segundas en un disco con centro en (x0,y0). 
• Sea D = fxx(x0,y0)*fyy(x0,y0) – (fxy(x0,y0))
2 Determinante o Hessiano 
 
Punto crítico D fxx Tipo 
(x1,y1) Positivo negativa Máximo 
(x2,y2) Positivo positiva mínimo 
(x3,y3) Negativo Ensilladura 
(x4,y4) Cero Sin conclusión 
=fxx fyy – f2 xy Matriz Hessiana o Hessiano de una función f de n varia- 
bles, es la matriz cuadrada de nxn de las segundas 
derivadas parciales 
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Máximo relativo si D>0 y fxx(x0,y0) <0 
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Mínimo relativo si D>0 y fxx(x0,y0) >0 
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Si D <0 Entonces tenemos un punto de silla o ensilladura 
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Dr Alfredo Gonzalez 31 
Ajuste de una línea: Regresión 
Ajuste de una línea: Regresión 
• Las gráficas que se muestran a continuación, presentan 
configuraciones de puntos marcadamente diferentes. 
• En la Fig. 1 parece que los puntos determinan medianamente bien una 
línea recta. 
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• En la Fig. 2 parece que los puntos están cerca o 
sobre una curva conocida como parábola 
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• En la Fig. 3 no parece que estén sobre una curva 
reconocible. 
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Ajuste de una línea: Regresión 
• Las configuraciones de los puntos pueden, o no, indicar 
tendencias o relaciones en los datos de donde provienen. 
• Con frecuencia es necesario descubrir o medir tales 
tendencias o relaciones cuando éstas existen. 
• Esto significa que debe resolverse un problema de ajuste 
de una curva. 
• Nos interesa resolver el problema, el de ajustar una línea 
recta a datos obtenidos, por ejemplo de algún ensayo en 
nuestro laboratorio o planta. 
• Estos problemas estadísticos referidos al ajuste de una 
curva, la podemos dividir en 3 partes: 
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• 1.- El investigador debe decidir qué clase de curva debe 
ajustarse a los datos. 
• 2.- El investigador debe calcular las constantes 
involucradas en la ecuación de la curva seleccionada que 
ha de ajustarse a los datos. Esta ecuación se escribe 
usualmente en la forma y=f(x), donde f(x) es alguna 
función de x. 
• Por ejemplo la ecuación de primer grado: y=b+mx define 
una línea recta. Si seleccionamos esta ecuación como 
mejor ajuste para los datos de la Fig 1 sería necesario 
calcular los valores de los parámetros b y m que 
caracterizan a la recta particular que buscamos. 
• 3.- El investigador debe interpretar los resultados 
mediante explicaciones, estimaciones y predicciones. 
 
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• El ajuste de una recta a un conjunto de puntos, en lugar de 
alguna otra curva, se hace de acuerdo con la apariencia de 
los mismos puntos. 
• No dudaríamos en seleccionar una recta en el caso de la 
Fig 1; pero existen sin embargo, ocasiones en que 
deseamos calcular rectas de “mejor ajuste” para puntos 
como los que se presentan en la Fig 3. 
• Debemos encontrar la “mejor recta” 
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El Método de los Cuadrados Mínimos 
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Se tienen una serie de puntos experimentales: P1, P2, P3 …. Pn 
Encontrar la “mejor recta” es aquella que hace mínima de suma de los cuadrados 
de las distancias (las desviaciones) verticales de los puntos observados a la recta. 
• Tratamos de encontrar una recta que verifique esta condición. 
• Esta recta se llama “recta de regresión y = m*x + b 
• La desviación , es decir el error cometido al usar esta recta, será: 
 d = Yob – (m*Xob + b) 
• m = coeficiente de regresión 
• Para los puntos observados será: 
• d1 = Y1 – (m*X1 + b) 
• d2 = Y2 – (m*X2 + b) 
• d3 = Y3 – (m*X3 + b) 
• …………………….. 
• dn = Yn – (m*Xn + b) 
• Debemos determinar los valores de m y de b, que hagan mínima la 
función que representa la suma de los cuadrados de esos errores. 
 
 
 
• Hallamos los puntos críticos de F por medio de las derivadas parciales 
respecto de m y de b, igualándolas a 0 para determinar m y b. 
 
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𝐅 𝐦, 𝐛 = [𝐲𝐤 − 𝐦 𝐱𝐤 + 𝐛 ]
𝟐
𝐧
𝐤=𝟏
 
40 
41 
42 
Reemplazo (3) en (2) 
43 
44 
Reemplazo (4) en (3) 
Otro ejemplo 
• Se utiliza una técnica de análisis que consiste en determinar la 
concentración de carbonato en solución, por un método de ión 
selectivo. 
 
• El equipo mide mV en función la concentración. Se preparan 5 
patrones cuyos datos son los siguientes: 
 
• (mV,[CO3]): (0,1), ( 1,3), (2,2), (3,4) y (4,5). 
 
• Queremos obtener la mejor recta y = m*x+b 
 
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N° de datos x y x2 x * y 
1 0 1 0 0 
2 1 3 1 3 
3 2 2 4 4 
4 3 4 9 12 
5 4 5 16 20 
Sumatoria 10 15 30 39 
FIN 
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