Cap_2_El_campo_el_ctrico TE1

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g

 
Superficie 
terrestre 
Capítulo 2 
 
El campo eléctrico 
 
 
2.1. Introducción 
 
Al posicionar una masa m sobre la superficie terrestre, ésta es atraída por una fuerza 
gravitacional F

 igual a: 
F mg 
 
El campo gravitatorio g

 es un campo vectorial, y está representado mediante líneas de fuerza 
perpendiculares a la superficie terrestre que indican la dirección hacia donde serían atraídas 
las masas. Para puntos cercanos de la Tierra, se considera que el campo gravitatorio es un 
campo uniforme, es decir, g

 tiene el mismo valor para todos los puntos como se muestra en 
la figura 2.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 El campo gravitatorio g

 se considera un campo uniforme cuando se evalúa su presencia a poca 
altura. 
 
A su vez la fuerza generada sobre un cuerpo de masa m debido al campo gravitatorio de la 
tierra puede ser expresada utilizando la Ley de la Gravitación universal de la siguiente 
manera: 
2
Tm MF G k
r
  
 
En este caso se tiene que G es la constante de gravitación universal, la cual 
vale
2
11
2
6.67*10
Nm
G
kg
 , m es la masa en estudio, MT representa la masa de la tierra, y r es la 
distancia que existe desde el centro de la tierra hasta el punto en que se encuentra la masa. 
 
 
Ahora bien, uniendo ambas expresiones se tiene lo siguiente: 
 
2 2
T Tm M MF G k mg g G
r r
     
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 2 
Si bien para que exista la fuerza gravitacional F

 es necesaria la presencia de una masa m, la 
presencia del campo gravitatorio g

 se verifica así no exista la masa m. Se puede ver que el 
campo gravitatorio depende únicamente de la masa de la tierra y de la distancia a la que se 
evalúa el mismo. La Tierra modifica el espacio a su alrededor mediante la creación de este 
campo gravitatorio, y las masas interactúan con el campo creado. 
 
Resultado de esto se comprobó que la gravedad en el polo tiene un valor mayor que la 
gravedad en el ecuador, lo cual cumple con lo expuesto anteriormente, ya que la distancia del 
centro de la tierra al ecuador es mayor que la distancia del centro de la tierra a los polos. 
 
Por lo tanto, a cada punto se le puede asociar un vector de campo gravitacional g

 , la cual es 
la aceleración que adquiriría un cuerpo de prueba colocado en ese punto y soltado a partir de 
esa posición. De modo que g

 estará dado por: 
 
 
F
g
m
 
 
 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 3 
2.2. Definición de campo eléctrico 
 
La ley de Coulomb para la fuerza entre cargas anima a pensar en términos de una acción a 
distancia, una interacción instantánea entre ellas. Así, por ejemplo, si una de las partículas se 
mueve y cambia la distancia entre ellas, la fuerza cambia instantáneamente al nuevo valor 
dado en términos de la nueva distancia entre ellas 
carga  carga 
 
Actualmente se entiende al campo como un intermediario entre las dos cargas de modo que la 
interacción se presenta como: 
carga  campo  carga 
 
Las cargas eléctricas modifican el espacio que las rodea, con lo cual dos cargas no actúan 
directamente entre sí, sino que la primera establece un campo eléctrico y la segunda interactúa 
con dicho campo eléctrico y viceversa., luego, la fuerza eléctrica sobre un cuerpo cargado es 
ejercida por el campo creado por otro u otros cuerpos cargados. 
 
Es importante resaltar que el campo eléctrico debido a una partícula cargada no puede ejercer 
fuerza neta sobre dicha partícula. Esto es consecuente con el principio general por el cual un 
cuerpo no puede ejercer fuerza neta sobre sí mismo, si no fuera así, uno podría elevarse hasta 
el techo jalando de su propio cinturón. 
 
Según la idea vertida anteriormente se puede definir al campo eléctrico asociado a un cierto 
conjunto de cargas en término de la fuerza ejercida sobre una carga de prueba positiva 0q en 
un punto particular como: 
0q
F
E


 
Donde E

 tiene la dirección de F

 por ser 0q un escalar y determina la dirección en la cual 
tendría que moverse una carga positiva en reposo que se colocara en dicho punto. 
 
Para medir un campo eléctrico se debe tener una carga de prueba 0q que sea lo 
suficientemente pequeña para no afectar la distribución del campo E

 de las cargas cuyos se 
desean medir. De este modo: 
 
0q
F
E
q


00
lim

 
 
Sin embargo la carga de prueba no puede llegar a ser cero pues la mínima unidad de carga es 
la carga del electrón como ya se ha visto anteriormente. 
 
Sea 0q una carga de prueba positiva situada a una distancia r

r que sigue una dirección 
dada por el vector unitario rrr

 que parte de una carga puntual q y apunta a la ubicación de 
la carga de prueba. Según la ley de Coulomb, la carga de prueba experimentará una fuerza: 
 
rF

2
0
r
qkq
 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 4 
Luego por definición de campo eléctrico se tiene: 
 
2 3
0
kq kq
q r r
F
E r r   
 
La dirección del campo E

 es la misma que la fuerza F

 a lo largo de una línea radial que 
parte de q apuntando hacia fuera si q es positiva y hacia adentro si q es negativa. Se llega a 
esta conclusión debido a que la fuerza eléctrica F

 (y por tanto E

) tiene la dirección y sentido 
de la recta que une la carga q con la carga de prueba q0. Ubicando sucesivas cargas de prueba 
q0 alrededor de la carga q, se ve que la fuerza siempre tendrá la dirección de un vector 
partiendo desde la carga cuando q es positiva. En caso de que q sea negativa, E

 tendrá la 
dirección de un vector llegando hacia la carga. Por lo tanto, el campo eléctrico para una carga 
puntual tendrá una forma radial. 
 
La forma del campo eléctrico según el signo de la carga puntual se muestra en la figura 2.2. 
Si la carga eléctrica fuera negativa, las flechas de los vectores apuntan hacia la carga negativa. 
Por esto se puede decir que las cargas positivas son “fuentes” de campo eléctrico y las cargas 
negativas son “sumideros” de campo eléctrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 Campo eléctrico para una carga puntual. Es saliente para el caso de una carga positiva y entrante para 
el caso de una carga negativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 5 
 
 
2.3. Líneas de campo eléctrico 
 
Considerando una partícula eléctrica positiva como se muestra en la figura 2.3(a), que se 
llamará 1. Tomando ahora otra partícula, la 2, también positiva, pero de carga mucho menor 
que la 1 (carga de prueba). La fuerza entre ellas se muestra en la figura. Ahora dejando que la 
partícula de prueba se mueva un poco. Debido a que es repelida por la 1 se alejará y llegará a 
una nueva posición que se muestra en la figura 2.3(b). Si se vuelve a dejar que la partícula de 
prueba se mueva un poco llegará a otra posición, y así sucesivamente. 
 
La trayectoria que sigue la partícula de prueba al moverse en la forma descrita es una línea de 
fuerza. Se puede dar cuenta de que la fuerza que experimenta la partícula de prueba es 
siempre tangente a la línea de fuerza. Ahora bien, se puede repetir la experiencia colocando la 
partícula de prueba en otro lugar y así formar la línea de fuerza correspondiente. De esta 
manera se puede llenar todo el espacio que rodea a la partícula 1 de líneas de fuerza, y 
percatarse de que todas ellas salen de la partícula 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3 Forma en que se define la línea de fuerza del campo eléctrico. 
 
Para una carga puntual q positiva (pequeña esfera uniforme de carga) las líneas de campo 
eléctrico parten de la carga q apuntando hacia fuera (tal como se vio anteriormente) 
alejándose de la carga de manera radial tal como se muestra en la figura 2.4. El modelo es 
tridimensional. Las líneas de campo para el caso de una carga puntual negativa apuntan 
radialmente hacia la carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 Líneas decampo eléctrico de una carga puntual: perfectamente radiales 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 6 
 
P 
R 
Línea de campo 
eléctrico 
EP 
ER 
Esto hace pensar entonces que las líneas de campo de una carga puntual positiva terminarán 
en cargas negativas y las líneas de campo de una carga puntual negativa partirán de cargas 
puntuales positivas como se muestra la figura 2.5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.5 Las líneas de campo parten de cargas positivas y se dirigen hacia cargas negativas 
 
Las líneas de campo entonces dan la dirección del campo eléctrico E

. En modelos más 
complejos donde las líneas de campo pueden tener curvatura, es la tangente a la línea de 
campo la que da la dirección del campo eléctrico en un punto particular, como se aprecia en la 
figura 2.6. El campo eléctrico en un punto en particular tiene una dirección única, por lo que 
sólo una línea de campo puede pasar por dicho punto. En otras palabras, las líneas de campo 
nunca se intersecan. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.6 La dirección del campo eléctrico en un punto es tangente a la línea de campo en dicho punto 
 
Las líneas de campo se trazan de tal modo que el número de líneas por unidad de área de 
sección transversal (perpendicular a las líneas) sea proporcional a la magnitud del campo 
eléctrico: si se toma un elemento de superficie esférica se observa que cerca de la carga 
puntual existe un gran número de líneas de fuerza que la atraviesan y el número decrece a 
medida que se aleja radialmente porque las líneas se van distanciando. De este modo cuanto 
más próximas están las líneas, más intenso es el campo eléctrico. En un campo uniforme, las 
líneas de campo son rectas, paralelas y uniformemente espaciadas. 
 
Algo que debe quedar muy claro es que la magnitud del campo eléctrico en distintos puntos a 
lo largo de una línea de campo dada es distinta: una línea de campo no es una curva de 
magnitud constante del campo eléctrico. 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 7 
 
 
Para el caso de dos cargas positivas, las líneas de campo se presentan como las mostradas en 
la figura 2.7. La disposición se llega a entender si partiendo de dos cargas positivas puntuales 
muy alejadas (con disposición radial de sus líneas de campo), se va acercando las dos cargas. 
A medida que éstas se acercan, las líneas de campo son “empujadas” hacia los lados siendo la 
concentración de líneas de campo menor en la región entre las dos cargas. Las líneas de 
campo se vuelven casi paralelas en la zona central entre las dos cargas y casi radiales a 
medida que se aleja de ésta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.7. Líneas de campo para dos cargas puntuales positivas. 
 
Si se imagina una sucesión continua de cargas positivas alineadas una a continuación de otra 
se tendrá una línea larga de cargas positivas donde las líneas de campo serán paralelas unas 
con otras y el efecto se distorsionará en los extremos de dicha línea. 
 
Sólo en caso que dos cargas puntuales de distinto signo estén muy próximas entre sí pero muy 
alejados de otros cuerpos conductores, entonces todas las líneas de campo que parten de la 
carga positiva irán a la carga negativa tal como se ve en la figura 2.8. Éste es el caso de un 
dipolo eléctrico, nótese que las líneas de campo, a diferencia del caso anterior, son atraídas 
hacia la región central entre las dos cargas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.8 Líneas de campo para un dipolo eléctrico. 
 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 8 
2.4 Cálculo del campo eléctrico utilizando la Ley de Coulumb 
 
El principio de Superposición 
 
Se ha comprobado, también experimentalmente, que las fuerzas eléctricas se comportan en 
forma aditiva, es decir; la fuerza eléctrica sobre una carga q0, debida a un conjunto de cargas 
nqq ...,,1 es igual a la suma de las fuerzas que iF

 , que cada carga qi, ejerce separadamente 
sobre la carga q, es decir: 



n
i
inq FFFF
1
1 .....

 
De este modo, el campo eléctrico sobre la carga q0 será: 
 



n
i
inq EEEE
1
1 .....

 
 
donde el campo está dado por están dadas por : 
 
 
 
3
04
1
i
i
i
rr
rr
rE 




 i
q

 
 
En la ecuación anterior las cargas qi ocupan las posiciones dadas por los vectores 
 n,...1,i ir

 y la carga q0 está en el punto r

. El principio de superposición es conocido 
también como la regla del paralelogramo de fuerzas. 
 
 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 9 
A continuación se muestran ejemplos de cálculo de un campo eléctrico utilizando la Ley de 
Coulumb: 
 
El anillo cargado 
 
Sea un anillo cargado de radio R, el cual presenta una densidad de carga lineal uniforme  
alrededor de su circunferencia, como se ve en la figura 2.9. Se desea calcular el campo 
eléctrico en un punto P, situado a una distancia z del centro del anillo a lo largo de su eje 
central. 
 
Se tiene que dsdq  , con lo cual, el aporte al campo eléctrico en un punto será: 
 
 222 zR
dsk
r
dqk
dE



 (1) 
 
Todos los elementos diferenciales de longitud ds están a la misma distancia r del punto P con 
lo cual todos ejercen el mismo dE sobre P. 
 
El campo resultante en P sólo tiene componente neta en z. Si se considera dos elementos de 
carga diametralmente opuestos, el campo eléctrico neto se encontrará paralelo al eje z porque 
las componentes perpendiculares a dicho eje se anulan mutuamente. De este modo si todos 
los elementos se toman por pares, resulta que el campo total sobre P será paralelo a z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.9 Anillo con densidad de carga uniforme 
 
 
 
 
 
 
ds 
dE 
 
x 
 
y 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 10 
Se tiene entonces: 
  2
1
22
cos
zR
z
r
z

 (2) 
 
cosdEdEz  (3) 
 
Reemplazando (1) y (2) en (3) se tiene: 
  2322 zR
dszk
dEz



 (4) 
 
Integrando (4) se obtiene: 
     


 ds
zR
zk
ds
zR
zk
Ez
2
322
2
322

 
 
 
 R
zR
zk
Ez 

2
2
322 
 (5) 
 
Debido a que se tiene una densidad lineal de carga uniforme, siendo q la carga total, se 
cumple que: 
R
q


2
 
 
Rq 2 (6) 
 
Reemplazando (6) en (5): 
 
 
 
 
Se puede sacar algunas conclusiones respecto a la última ecuación: 
 
 Si z es mucho mayor que R, se desprecia el término R en la ecuación y se obtiene: 
 
  2232 z
kq
z
kqz
Ez  
 
 Teniéndose que z  r, entonces: 
2r
kq
Ez  
 
 Según esto, a una distancia muy grande el anillo se comportará como una carga puntual. 
 
 Si z = 0, Ez = 0 lo que confirma que una carga de prueba situada en el centro del anillo 
sería empujada o jalada igualmente en todas las direcciones en el plano del anillo y no 
experimentará fuerza neta. 
 
 
Campo eléctrico para un 
anillo con carga 
uniformente distribuida   2322 zR
kqz
Ez

 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 11 










22
12
Rz
z
kEz 
 
kEz 2 
El disco cargado 
 
Se tiene un disco circular de radio R con una carga uniforme en su superficie y densidad 
superficial de carga  como se muestra en la figura 2.10. Se quiere hallar el campo eléctrico 
en el punto P, a una distancia z del disco a lo largo de su eje. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.10 Disco con densidad de carga uniforme 
 
Primero se divide el disco en anillos concéntrico de radio R’ y de un ancho dR’, en cada uno 
de estos anillos se cumplirá: 
  ''2 dRRdAdq   
 
Tomando la expresión hallada en el caso anterior, 
    2
3
2
3
2222 '
''2
' zR
dRRkz
zR
dqkz
dEz





 
 
Integrando para hallar Ez: 
 
   
1 1
2 2
3
2
2 2 2 2
2 2
0
2 ' 2 2' 2 2
'
R
z
k zR
E dR E k z R z k z R z
z z
R z
 
              
      
 
Reordenando se halla: 
 
 
 
 
 
De la expresión anterior,si se tiene un disco de grandes dimensiones tal que R>>z, este puede 
representar a un plano infinito cargado uniformemente: 
 
 
 
 
Campo eléctrico para un 
disco con carga 
uniformemente distribuida 
Campo eléctrico para un 
plano infinito con carga 
uniformemente distribuida 
dEz 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 12 
r
k
EP
2
 
La línea infinita cargada 
 
Se tiene una línea infinita de carga con densidad lineal de carga constante , tal como se ve en 
la figura 2.11. Se quiere hallar el campo eléctrico en un punto P a una distancia y de la línea. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.11 Línea infinita con densidad de carga uniforme 
 
El elemento diferencial de longitud dz posee un dq = dz que genera un dE: 
 222 zy
dzk
r
kdq
dE



 
 
Si se considera que para cada elemento de carga ubicado en un punto z positivo existe un 
elemento correspondiente en –z, las componentes en z se anulan mutuamente, entonces no 
existirá componente en z del campo neto en el punto P. Sólo existirá componente del campo 
en y si el eje y pasa por el punto medio de la línea, lo cual se cumple siempre pues se está 
hablando de una línea de longitud infinita. 
 
Las contribuciones al campo de la mitad superior e inferior serán iguales, entonces: 
2 2
0
2 2 cos 2 cos
z
P y
z
dz
E dE dE k
y z
  


  
  
 
Empleando sustitución trigonométrica tanyz  y  dydz 2sec 
 
Sustituyendo y factorizando: 
 
2 2 22 2
2 22 2
0 0 0
cos sec cos sec 2 2
2 2 cos
sec1 tan
P
y y k k
E k d k d d
y y yy
    
  
     
     

  
  
   

   
 
El campo eléctrico resulta ser perpendicular a la línea infinita. En general, para cualquier 
punto en el plano xy ubicado a una distancia r perpendicular a la línea infinita: 
 
 
 
 
Campo eléctrico para una 
línea infinita con carga 
uniformemente distribuida 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
 
dz 
dE 
dEy 
dEz 
z 
y 
x 
r 
y 
 
z 
P 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 13 
2.5 La ley de Gauss 
 
2.5.1 Definición 
 
El flujo  de un campo vectorial es la medida del flujo o intensidad de penetración de los 
vectores a través de una superficie imaginaria en el campo. 
 
Para la superficie imaginaria de área A ubicada en un campo uniforme perpendicular a la 
superficie tal como se ve en la figura 2.12, el flujo  será: 
 
AEΦ  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.12 Flujo de un campo vectorial E

 
 
Para calcular el flujo del campo eléctrico de una carga puntual se toma una superficie cerrada 
arbitraria, a la cual se denominará como superficie gaussiana, que envuelve a la carga. En 
cada punto de dicha superficie se tiene un vector E

y un vector Ad

 cuya dirección es normal 
a la superficie en ese punto y cuyo sentido por convención es hacia fuera de la superficie 
como se muestra en la figura 2.13. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.13 Flujo de un campo vectorial E

 en una superficie cerrada 
 
 
 
 
 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 14 
Entonces el flujo  del campo eléctrico E

 en la superficie cerrada será la suma de todos los 
flujos diferenciales d tal que: 
AE

dd  
 
d d cosE A E dA          
 
Se considera que por P pasa una superficie esférica de radio r y un ángulo sólido muy 
pequeño d que partiendo de la carga puntual (ubicada en O), interseca a la superficie cerrada 
arbitraria en una superficie dA tal como se muestra en la figura 2.14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.14 Flujo del campo a través de E

un A

d 
 
Tomando el diferencial de ángulo sólido 2rdsdω  se ve que E

 es perpendicular a ds 
porque E

 tiene dirección radial r

 (campo eléctrico de una carga puntual) y ds es 
perpendicular a r

 (por definición de ángulo sólido). Además se sabe que el vector A

d es 
perpendicular al área diferencial dA (dirección normal n

 con lo cual se cumplirá: 
 
cosdAds  (2) 
 
Reemplazando (2) en (1) se tiene:  dsE 
 
Reemplazando el valor de E para una carga puntual (según la ley de Coulomb): 
2 2
kq ds
ds kq kq d
r r
      
 
Como la integral de superficie para un ángulo sólido es 4 (ángulo sólido de una circunferencia, entonces: 
kq4 
 
Se ve entonces que el flujo que atraviesa una superficie arbitraria que encierra a una carga 
puntual será independiente de la forma y tamaño de la superficie, de la posición de la carga 
dentro de la superficie y sólo dependerá del valor de la carga. 
 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 15 
+ 
+ q1 
- + 
q3 q2 
q4 
Superficie 
cerrada 
  netaπkQd 4AEneto

 
0
1
neto neta
r
E dA Q
 
    
Ahora se amplia este resultado a un sistema de más de una carga puntual como se muestra en 
la figura 2.15. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.15 Flujo del campo eléctrico en un sistema de varias cargas puntuales 
 
En la figura anterior se tiene cuatro cargas puntuales, tres de ellas (+q1, -q2, +q3) contenidas 
en la superficie cerrada y una cuarta (+q4) fuera de ella. Debido a que el campo eléctrico en 
un punto sobre la superficie es el vector suma de los campos eléctricos producidos por cada 
una de las cuatro cargas, el flujo neto a través de la superficie será la suma de los flujos 
debidos a las cargas individuales. El flujo originado por la carga +q4, que está fuera de la 
superficie, es cero debido a que cada línea de campo procedente de +q4 que entra a la 
superficie en un punto abandona a la superficie en otro punto. El número neto de líneas a 
través de la superficie procedentes de una carga exterior a la superficie es cero. 
 
Para el caso mostrado, el flujo a través de la superficie debido a +q1 será +4kq1, el flujo 
debido a –q2 será -4kq2 y el debido a +q3 será +4kq3. El flujo neto a través de la superficie 
será igual a 4k (q1 + q3 - q2). Este puede ser positivo, negativo o nulo dependiendo de los 
valores y signos de las cargas. Nótese que (q1 + q3 - q2) viene a ser la carga neta encerrada en 
la superficie cerrada. 
 
Luego del razonamiento anterior, se puede decir que: 
 
“El flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a 4k multiplicado por la 
carga neta dentro de la superficie.” 
 
Matemáticamente, lo que se conoce como la ley de Gauss se expresa como: 
 
 
 
 
La ley de Gauss expresada en función de la permitividad del espacio libre 0=1/4k y un valor 
de r que contempla la permitividad relativa del medio será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 16 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ + 
+ 
Cuerpo 
cargado 
Superficies 
gaussianas 
E=0 
2.5.2 Aplicaciones de la Ley de Gauss 
 
Tanto la ley de Coulomb como la ley de Gauss permiten calcular campos eléctricos de cargas 
en reposo o con movimiento muy lento, sin embargo, la Ley de Gauss también puede 
aplicarse en campos eléctricos generados por cargas que se mueven rápidamente y cargas 
aceleradas. La ley de Gauss es una herramienta muy útil para el cálculo de campos eléctricos 
producidos por distribuciones simétricas de cargas, si esto no es así, la única manera de 
calcular campos eléctricos será a través de la ley de Coulomb. 
 
Se puede analizar varios casos utilizando la Ley de Gauss: 
 
Ley de Gauss aplicada a un dipolo eléctrico 
 
Si se tiene una superficie encerrando dos cargas 
de distinto signo pero igual magnitud como es el 
caso de un dipolo eléctrico como se muestra en la 
figura 2.16, la carga neta encerrada en la 
superficie será cero, por lo tanto el flujo neto será 
cero. Las líneas de campo contenidas en la 
superficie gaussiana no contribuyen al flujo a 
través de la superficie. Por cada línea de campo 
que sale de la superficie desde la carga positiva 
existe otra que ingresa condestino a la carga 
negativa. Luego el flujo total será cero. 
 
 
 
La Ley de Gauss aplicada a hallar el campo eléctrico en el interior de un cuerpo 
conductor cargado 
 
 
Se sabe que la carga eléctrica en un 
cuerpo conductor cargado se encuentra 
en la superficie del mismo. Si se 
toman superficies gaussiana inscrita 
dentro del cuerpo conductor se 
encontrará que la carga neta que 
encierra es igual a cero, por lo tanto el 
flujo que atraviesa la superficie 
gaussiana es cero. Esto implica que el 
campo eléctrico dentro del elemento 
conductor es cero. 
 
 
 
Figura 2.16 Flujo de campo E

 de un dipolo para 
distintas superficies cerradas 
 
Superficie Gaussiana 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 17 
2r
kQ
E 
 
dA 
Recta 
tangente 
E 
P 
r 
Q 
+ 
Sup. 
Gaussiana: 
esfera 
Figura 2.18 Aplicación de la Ley de Gauss a carga puntual 
2.5.3 Cálculo del campo eléctrico mediante la Ley de Gauss 
 
Para determinar la magnitud del campo eléctrico en un punto del espacio se puede utilizar la 
Ley de Gauss. Se debe tomar superficies gaussianas donde el vector intensidad de campo 
eléctrico E

 sea paralelo al vector A

d o sea perpendicular a A

d o en su defecto, que E

 sea 
nulo. Según las superficies gaussianas tomadas, se puede definir el aporte al flujo a la 
integral  AE

d. de distintas regiones según: 
1) AE

d : Aporte 0 
2) AE

d// : Aporte  dAE. 
3) 0E

 : Aporte 0 
 
A continuación se puede ver en algunos casos la utilidad de la Ley de Gauss para hallar 
campos eléctricos en ciertas distribuciones de carga. 
 
Campo eléctrico para una carga puntual 
 
Se quiere hallar el campo en un punto P a una distancia r de la carga Q. Debido a la 
naturaleza radial del campo eléctrico para el caso de una carga puntual, se escoge como 
superficie gaussiana una esfera con radio r y centro en la carga puntual Q, tal como aparece 
en la figura 2.18. 
 
Si se traza una recta tangente a la superficie 
gaussiana en el punto P, se definirá un elemento 
diferencia de área dA paralelo a dicha recta 
tangente. El vector A

d será perpendicular al área 
dA. Se ve que en todos los puntos de la superficie 
gaussiana, el campo E

 va a ser paralelo a A

d . 
 
Se halla el flujo en la superficie gaussiana: 
 
  dAEdAEAdE 0cos

 
 
 
 
 
 
 
Como E es constante, entonces:   )4(
2rEdAEd AE

 
 
Aplicando la Ley de Gauss e igualando términos se tiene: 
 
kQrE 2  4)4(  
 
Despejando E se obtiene: 
 
 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 18 
r
k
E
2
 
Campo eléctrico para una línea infinita cargada 
 
Se quiere determinar el campo para un punto P situado a una distancia r de una línea infinita 
cargada con densidad lineal de carga uniforme . Se debe conocer primero la forma del 
campo. Si se toma un dl a cada lado de la bisectriz perpendicular que pase por el punto P, a 
una distancia x cada uno, el dE debido al dq = dl sólo tendrá componente perpendicular a la 
línea mas no componente paralela a ella pues se anula. 
 
Si se considera ésto para toda la línea se tiene que el campo eléctrico es perpendicular a la 
línea en cada punto del espacio. Se elige como superficie gaussiana un cilindro circular recto 
con radio r y longitud l con eje en la línea. En la superficie cilíndrica se ve como se muestra 
en la figura 2.19 que será paralelo al vector A

d , pero en las “tapas” del cilindro el campo E

 
será perpendicular al vector A

d , por lo tanto el flujo por estas dos últimas superficies será 
cero. 
 
Figura 2.19 Superficie gaussiana para una línea de carga infinita 
 
Se halla el flujo del campo E en la superficie gaussiana aplicando superposición: 
 
  
cc STST
AEAEAEAE dAEdddd
21

 
 
Por simetría, el valor de E será el mismo en toda la superficie cilíndrica. Por lo tanto: 
 
)2( rlEdAEdAEd  
cc SS
AE

 
Aplicando la Ley de Gauss ye igualando términos se tiene: 
 
lkkqrlE  44)2(  
 
Donde q = l pues se tiene una densidad de carga uniforme. Despejando E se obtiene: 
 
 
 
 
El campo está dirigido radialmente y varía inversamente proporcional a la distancia 
perpendicular entre el punto en análisis y la línea. 
 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 19 
 kE 2 
Campo eléctrico para un plano infinito cargado 
 
Un plano infinito cargado con densidad superficial de carga  uniforme se puede imaginar 
como una sucesión de líneas infinitas cargadas. De este modo, el campo E

 en un punto P se 
tiene sólo componentes perpendiculares al plano infinito. Se toma como superficie gaussiana 
un cilindro con eje perpendicular al plano y una de sus tapas conteniendo al punto P como se 
muestra en la figura 2.20. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.20 Aplicación de la Ley de Gauss a un plano infinito cargado 
 
En la superficie cilíndrica se tiene que E

 es perpendicular a A

d y en las tapas E

 es paralelo 
a A

d por lo tanto sólo los vectores de campo que atraviesan las tapas del cilindro contribuyen 
al flujo: 
 
 
2121 TTTST
AdEAdEAdEAdE
C
dAEdAE

 
 
Debido a la simetría, E es constante en las superficies de las tapas. Siendo A el área de estas 
superficies entonces: 
EAdAE 22   AAdE

 
 
El cilindro interseca sobre el plano un área A. La carga contenida en este plano será q=A. 
Aplicando la Ley de Gauss e igualando términos se obtiene: 
 
AkEA 42  
 
Despejando E se obtiene: 
 
 
 
Se puede ver que el campo es uniforme, no depende de la posición, es constante, y está 
dirigido perpendicularmente al plano. 
 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 20 
extE

 
+Q -Q 
indE

 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
 
- 
- 
0E 

 
2.6 Comportamiento de los materiales frente a un campo 
eléctrico 
 
En esta parte del capítulo se estudiará el comportamiento de los materiales conductores y 
dieléctricos neutros cuando se les somete a un campo eléctrico externo. 
 
2.6.1 Cuerpo conductor neutro sometido a un campo eléctrico externo 
 
Si se tiene un cuerpo conductor neutro y se le somete a un campo se produce un 
reordenamiento de carga. En condiciones electrostáticas, el campo en el interior del 
conductor debe ser cero. Esto no significa que en el interior no actúa el campo eléctrico 
externo extE

, sino que existe o se forma un campo eléctrico inducido indE

 originado por la 
gran cantidad de carga libre que se ha reordenado, de modo que indE

 anula al primero 
cumpliéndose en el interior 0 indEEE ext

, tal como se muestra en la figura 2.21. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.21 Efecto de campo eléctrico sobre un cuerpo conductor neutro. 
 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 21 
- + 
d

 
dp q

 
-q +q 
 
 

 
p

 
E

 
2.6.2 Cuerpo dieléctrico neutro sometido a un campo eléctrico externo 
 
Hay que aclarar en principio que en un cuerpo no conductor neutro no existen cargas libres. 
Los cuerpos no conductores están constituidos por moléculas, muchas de ellas pueden ser 
idealizadas como dipolos eléctricos. 
 
El dipolo eléctrico 
 
Se denomina dipolo eléctrico a la configuración de dos cargas eléctricas de igual magnitud q 
pero de signos contrarios separadas una distancia d. Tiene como característica fundamental el 
momento dipolar eléctrico p

 que apunta desde la carga negativa a la positiva y se define 
como: 
 dp

q 
 
Se ve que debido a que d

 es el vector 
desplazamiento de la carga positiva contado desde la 
carga negativa, el momento dipolar p

 lo será 
también como se aprecia en la figura 2.22. 
 
 
 
 
Si se tiene un dipolo eléctrico sometido a un campo eléctrico, existirán fuerzas sobre las 
cargas eléctricas que ejercerán un par respecto a un puntofijo de giro como se muestra en la 
figura 2.23. 
 
Figura 2.23 Dipolo eléctrico ante la influencia de un campo eléctrico 
El par ejercido alrededor del punto de giro O será: 
 sinsinsin pEqlElEq  
 
Donde p es la magnitud del vector momento 
dipolar eléctrico. Expresado de manera vectorial 
se tiene: 
Ep

 
Se aprecia entonces que un dipolo sometido a un 
campo eléctrico tenderá a alinearse con el campo 
eléctrico debido al par torsor que se produce. El 
sistema de vectores involucrados se presenta en 
la figura 2.24. 
l sin 
l 
E

q 
E

q 
 
E

 
- 
+ 
O 
Figura 2.22 Momento dipolar eléctrico. 
Figura 2.24 Representación vectorial de los 
vectores 
 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 22 
 
Cuerpos con moléculas polares y no polares 
 
En la naturaleza se tiene moléculas polares y moléculas no polares. 
 
En las moléculas polares, como es el caso de la molécula del agua, donde los centros de 
cargas positivas y negativas están separados, el dipolo resultante tiende a alinearse con un 
campo eléctrico aplicado externamente. Esto se puede ver en la figura 2.25. 
 
 Figura 2.25 Efecto del campo eléctrico en las moléculas polares. 
 
Se utilizará la figura 2.26 para explicar el proceso que se lleva a cabo cuando se tiene un 
material dieléctrico constituido por moléculas polares: (a) Inicialmente, ante la ausencia de un 
campo eléctrico externo, los dipolos están totalmente desordenados, por lo que no hay campo 
eléctrico propio. (b) Si se aplica un campo eléctrico externo, los dipolos se alinearán 
parcialmente con el campo, la alineación no será total debido a la agitación térmica de las 
moléculas. (c) Aplicando un campo eléctrico externo mucho mayor, pero sin romper la 
rigidez dieléctrica del material, se puede lograr alinear totalmente los dipolos. 
 
 
Figura 2.26 Alineación de dipolos en material con moléculas polares ante campo eléctrico externo 
 
H 
H 
O 
- 
p 
+ 
 
p

 
E

 
La molécula de agua es un 
ejemplo de molécula polar 
El dipolo tiende a alinearse ante la 
presencia de un campo eléctrico. 
p

 E

 
p

 
(a) 
p

 
E

 
(c) (b) 
E

 
p

 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 23 
Para el caso de moléculas no polares, por ejemplo las moléculas de hidrógeno, donde los 
centros de carga positiva y negativa no están separados inicialmente no se tiene un dipolo 
eléctrico. Al aplicar un campo eléctrico externo, este campo eléctrico tiende a separar los 
centros de carga de la molécula originando de esta manera un dipolo eléctrico ya alineado con 
el campo como se muestra en la figura 2.27. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.27 Efecto del campo eléctrico en las moléculas no polares. 
 
Se utilizará la figura 2.28 para explicar el proceso que se presenta en caso de un dieléctrico 
constituido por moléculas no polares: (a) En ausencia de campo eléctrico el material no 
presenta dipolos eléctricos. (b) Cuando se somete el material a un campo eléctrico se forman 
dipolos inducidos que ya nacen alineados con el campo eléctrico. Si desaparece el campo 
eléctrico, desaparecerán también los dipolos inducidos. 
 
 
Figura 2.28 Generación de dipolos alineados en material con moléculas no polares ante un campo eléctrico 
externo. 
 
 
La molécula de hidrógeno es ejemplo de 
molécula no polar 
Los centros de carga no están separados. 
(a) 
p

 
E

 
(b) 
+ 
- 
+ - 
E

 
p

 
El campo eléctrico separa los centros de carga 
induciendo un dipolo 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 24 
Como consecuencia de la alineación de los dipolos, si se tiene un dieléctrico bajo la influencia 
de un campo uniforme, las cargas internas que poseen los dipolos próximos entre sí se anulan, 
pero se presentan cargas negativas concentradas en una superficie y cargas positivas 
concentradas en la superficie opuesta tal como se muestra en la figura 2.29 (a). Luego se 
dice que el dieléctrico se polariza. 
 
Se forma entonces una carga inducida Qb que produce un campo interno bE

 denominado 
campo eléctrico inducido, que es contrario al campo que produce la polarización extE

 con lo 
cual se obtiene un campo resultante E

 de menor magnitud. El efecto de colocar un dieléctrico 
en un espacio afectado por un campo eléctrico es el de disminuir la magnitud del campo 
eléctrico en dicho espacio como se muestra en la figura 2.29 (b). 
 
 
 
Figura 2.29 Efecto de campo eléctrico externo sobre un dieléctrico 
 
+ - + - + - 
+ - + - + - 
+ - + - + - 
+ - + - + - 
. 
. 
.
. 
. 
. 
. 
.
. 
. 
. 
. 
.
. 
. 
+ - + - + - 
extE

 
çe 
bE

 
çe E

 
çe 
+Qb 
çe 
-Qb 
çe 
(a) 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
 
extE

 
çe 
E

 
çe 
+Qb 
çe 
-Qb 
çe 
(b) 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 25 
 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
 
- 
- 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
d 
E

 
P

 
2.6.3 Variación del campo eléctrico cuando se utiliza un dieléctrico 
 
El vector polarización 
El vector polarización P

 mide el grado o nivel de polarización de la sustancia dieléctrica por 
acción de un campo eléctrico que se manifiesta con la acumulación de carga inducida en las 
paredes del dieléctrico. 
El vector P

 expresa el momento dipolar total por unidad de volumen. Si se llama n al 
número de moléculas por unidad de volumen y Ep

 a la componente del momento dipolar de 
cada molécula en la dirección del campo eléctrico E

 al que está sometido el dieléctrico se 
tiene: 
EpP

n 
Si se tiene un dieléctrico ya polarizado, se obtiene que componente del momento dipolar total 
(según la definición del momento dipolar eléctrico, tomando como carga la carga total 
inducida en las paredes del dieléctrico) será igual en magnitud a: 
dQp btotalE  
Siendo d el espesor del dieléctrico en la dirección de aplicación del campo eléctrico. 
Asumiendo que hay una distribución uniforme de la carga inducida en la superficie A del 
dieléctrico tal que AQ bb  , siendo b la densidad superficial de carga inducida: 
dAp btotalE  
La magnitud del vector polarización será entonces: 
b b
b
Ad Ad
P
V Ad
 
   
Como p

 es paralelo E

 y como P

es paralelo a p

 entonces el vector P

será paralelo a E

. 
Con esto, se puede establecer una relación entre los vectores P

y E

: 
 
 
 
 
El vector polarización es paralelo y proporcional al 
vector campo eléctrico. Una presentación 
esquemática se muestra en la figura 2.30. 
 
Donde  se denomina susceptibilidad eléctrica y es 
característica del material, expresa la respuesta de un 
medio a la acción de un campo eléctrico externo. 
 
 
 
 
 
 
EP

 
-Qb +Qb 
Figura 2.30 Polarización de un dieléctrico. 
 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 26 
El vector desplazamiento eléctrico 
 
Se define el vector desplazamiento eléctrico D

 como: 
 
 
 
 
Reemplazando el valor del vector polarización: 
 
 EEED

 00 
 
 
 
El vector desplazamiento eléctrico es paralelo al vector de campo eléctrico y sigue la misma 
dirección. 
 
La magnitud del vector desplazamiento eléctrico será: 
 
 
bbfPED 

 






0
00
1
 
 
 
 
 
La magnitud del vector desplazamiento eléctrico es numéricamente igual al valor de la 
densidad superficial de carga libre. Un modelo de los tres vectores eléctricos se presenta en la 
figura 2.31. 
 
Figura 2.31 Vectores eléctricos. 
 
 
 
 
 
PED

 0
 
ED

 
fD 
 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
 
- 
- 
 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
 
- 
- 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
d 
+Qf +Qb -Qf -Qb 
E 
P 
D 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 27 
+ = 
d 
- 
- 
- 
- 
- 
-- 
- 
- 
- 
- 
- 
 
- 
- 
+Qf -Qf 
fE

 
+Qb -Qb 
bE

 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
 
- 
- 
d 
+(Qf - Qb) -(Qf – Qb) 
 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
 
- 
- 
d 
E

 
 
bfE 


0
1
 
La permitividad relativa 
 
El campo eléctrico que se produce en los puntos interiores del dieléctrico puede ser modelado 
como la superposición de efectos de un campo producido en el espacio vacío por dos placas 
paralelas con carga libre Qf , menos el campo producido en el vacío por dos placas paralelas 
con carga libre Qb pero en sentido contrario al inicial. El campo resultante será la suma 
vectorial de los dos campos eléctricos. Una esquematización se presenta en la figura 2.32. 
 
Se puede determinar el valor de los campos eléctricos fE

y bE

 al considerar tanto las placas 
como a las paredes del dieléctrico como planos cargados infinitos (las dimensiones de área 
son mayores que la separación entre ellos). De este modo se tiene que considerando una 
distribución uniforme de la carga libre Qf y de la carga inducida Qb caracterizada por f y b 
respectivamente. 
 
0
 f
fE  , 
0
 b
bE  
 
 
 
Figura 2.32 Campo eléctrico resultante dentro de un material dieléctrico. 
 
 
Se halla la magnitud del campo resultante E

: 
 
00 



bf
bf EEE  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 28 
  0 
0
 r
 
r
fE
E

 
Sabiendo además que bP  y EP  , entonces Eb   , reemplazando en la expresión 
del campo eléctrico: 
0
 b
fbf EEEE  
0
E
EE f  
Ordenando términos y despejando el valor del campo eléctrico se obtiene: 
 












0
0
fEE 
 
Se ve que el campo eléctrico resultante con dieléctrico será menor al campo eléctrico inicial 
sin dieléctrico. 
 
Definiendo la permeabilidad de un medio como: 
 
 
 
 
Reemplazando en la expresión hallada para el campo eléctrico: 
 








 0
fEE 
 
Se define la permeabilidad relativa: 
 
 
 
 
 
En la expresión de campo eléctrico se tiene: 
 
 
 
 
 
 
Donde r>0 por lo tanto el campo eléctrico resultante dentro de un material dieléctrico es 
menor que el campo si es que no se tuviese dicho material. 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 29 
 
bf QQd   AE

0
 
E

 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
SC 
T2 T1 
dA 
E=0 
- 
- 
- 
- 
-
- 
- 
- 
- 
- 
- 
 
- 
- 
- 
- 
-
- 
- 
- 
- 
- 
- 
 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+Qf 
+Qb -Qb 
-Qf 
P

 
D

 
Teorema de Gauss para el vector campo eléctrico dentro de un material dieléctrico 
 
Tomando como superficie gaussiana un cilindro recto como se aprecia en la figura 2.33, se ve 
que el flujo del campo eléctrico por las superficies T1 y SC será nulo (por tener valor cero el 
campo eléctrico y por ser perpendicular al vector A

d respectivamente). Sólo existirá flujo del 
vector de campo eléctrico a través de la superficie T2. Debido a que los vectores polarización 
y desplazamiento eléctrico son paralelos y proporcionales al vector de campo eléctrico, 
también existirá flujo de estos vectores únicamente por la superficie T2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.33 Flujo de los vectores eléctricos 
 
Aplicando el teorema de Gauss, se sabe que la carga neta es bf QQ  
 
 
0


bf QQ
dAE

 
 
 
 
 
El flujo del vector campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al valor de la 
carga neta contenida en dicha superficie. 
 
 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 30 
fQd  AD

 
bQd  AP

 
Teorema de Gauss para el vector desplazamiento eléctrico 
 
Asumiendo que la superficie T2 tiene un área A, entonces: 
 
ADdADdADdd
TTT
 
222
ADAD

 
Reemplazando la magnitud del vector desplazamiento eléctrico 
 
AADd f AD

 
 
 
 
 
El flujo del vector desplazamiento eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al 
valor de la carga libre en dicha contenida en dicha superficie. 
 
 
Teorema de Gauss para el vector polarización 
 
APdAPdAPdd
TTT
 
222
APAP

 
 
Reemplazando la magnitud del vector polarización 
 
AAPd b AP

 
 
 
 
El flujo del vector desplazamiento eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al valor 
de la carga inducida contenida en dicha superficie. 
 
 
 
Capítulo 2: El campo eléctrico 
 31 







r
fb QQ

1
1
 







K
QQ fb
1
1 
Relación entre la carga libre y la carga inducida 
 
Del resultado del flujo del vector desplazamiento eléctrico se tiene: 
fQd  AD

 
 
Pero además se sabe que ED

 con lo cual reemplazando se obtiene: 
fQd  AE

 , 0 r 
 0 rfQdAE

 (1) 
 
Del resultado del flujo del campo eléctrico se tiene: 
bf QQd   AE

0 
 
0 bf QQdAE

 (2) 
 
Igualando (1) y (2) , despejando en la carga inducida se obtiene: 
 
 
 
 
 
La permitividad relativa equivale a la constante del dieléctrico K (no se refiere a la constante 
de la ley de Coulomb) que en mucha bibliografía está presente, de modo que la permitividad 
de un material dieléctrico será expresada como 0 K . Algunos de estos valores se 
muestran en la Tabla 1.1. De esta forma, la ecuación anterior puede ser expresada como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografía: 
 
R. RESNICK, D. HALLIDAY. “Física” Volumen 2. Tercera edición en español. Compañía 
Editorial Continental S.A. México. 1994. 
 
F. SEARS, M. ZEMANSKY. “Física Universitaria” Volumen 2. Novena edición. Editorial 
Adisson-Wesley Longman de México S.A. 1999. 
 
P. TIPLER. Física para la ciencia y la tecnología”. Volumen 2, Cuarta edición. Editorial 
Reverté S.A. Barcelona. 2000.