Coeficientes Variables con demarcados

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ECUACIONES DIFERENCIALES 
 
Ing. DAEN. Rosio J. Carrasco Mendoza Página 1 
 
ECUACIONES LINEALES DE ORDEN n 
CON COEFICIENTES VARIABLES 
Introducción: 
 Sea una ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes variables 
de la forma: 
𝑷𝟎𝑫
𝒏𝒚 + 𝑷𝟏𝑫
𝒏−𝟏𝒚 + ⋯ + 𝑷𝒏−𝟏𝑫𝒚 + 𝑷𝒏𝒚 = 𝑸(𝒙) 𝑐𝑜𝑛 𝑷𝒊 = 𝒇𝒊(𝒙) 
La misma solo puede ser resuelta si se ajusta a uno de los modelos lineales para 
ecuaciones con coeficientes variables, estos son: 
 Modelo lineal de Cauchy 
 Modelo lineal de Legendre 
Para ambos modelos se utilizará un cambio de variable, un nuevo operador 
diferencial y las fórmulas de transformación; con todo esto la ecuación se 
convertirá en otra de coeficientes constantes. 
Modelo lineal de Cauchy: 
Su forma general es la siguiente: 
𝑷𝟎𝒙
𝒏𝑫𝒏𝒚 + 𝑷𝟏𝒙
𝒏−𝟏𝑫𝒏−𝟏𝒚 + ⋯ + 𝑷𝒏−𝟐𝒙
𝟐𝑫𝟐𝒚 + 𝑷𝒏−𝟏𝒙𝑫𝒚 + 𝑷𝒏𝒚 = 𝑸(𝒙) 
Donde: 𝑷𝒊 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 con i = 0, 1, 2, … , n 
Para resolver esta ecuación, se aplica el C. V.: 𝒙 = 𝒆𝒛 → 𝒛 = 𝒍𝒏𝒙, un nuevo 
operador diferencial: 𝒗 =
𝒅
𝒅𝒛
 y para las fórmulas de transformación tenemos: 
𝑫𝒚 =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒛
∙
𝒅𝒛
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒛
∙
𝒅
𝒅𝒙
(𝒍𝒏𝒙) =
𝟏
𝒙
∙
𝒅𝒚
𝒅𝒛
 ⇒ 𝒙𝑫𝒚 = 𝒗𝒚 
𝑫𝟐𝒚 =
𝒅
𝒅𝒙
[
𝟏
𝒙
∙
𝒅𝒚
𝒅𝒛
] =
𝟏
𝒙𝟐
(
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒛𝟐
−
𝒅𝒚
𝒅𝒛
) ⇒ 𝒙𝟐𝑫𝟐𝒚 = 𝒗𝟐𝒚 − 𝒗𝒚 = 𝒗(𝒗 − 𝟏)𝒚 
𝑫𝟑𝒚 = −
𝟐
𝒙𝟑
∙ (
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒛𝟐
−
𝒅𝒚
𝒅𝒛
) +
𝟏
𝒙𝟑
∙ (
𝒅𝟑𝒚
𝒅𝒛𝟑
−
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒛𝟐
) =
𝟏
𝒙𝟑
(
𝒅𝟑𝒚
𝒅𝒛𝟑
− 𝟑
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒛𝟐
+ 𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒛
) 
Entonces: 𝒙𝟑𝑫𝟑𝒚 = 𝒗𝟑𝒚 − 𝟑𝒗𝟐𝒚 + 𝟐𝒗𝒚 = 𝒗(𝒗 − 𝟏)(𝒗 − 𝟐)𝒚 
Siguiendo la regla de formación tendremos: 𝒙𝟒𝑫𝟒𝒚 = 𝒗(𝒗 − 𝟏)(𝒗 − 𝟐)(𝒗 − 𝟑)𝒚 
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En general: 
 
 
Ejem.5 Resolver las siguientes ecuaciones de Cauchy 
Modelo lineal de Legendre: 
Su forma general es la siguiente: 
𝑷𝟎(𝒂𝒙 + 𝒃)
𝒏𝑫𝒏𝒚 + 𝑷𝟏(𝒂𝒙 + 𝒃)
𝒏−𝟏𝑫𝒏−𝟏𝒚 + 𝑷𝟐(𝒂𝒙 + 𝒃)
𝒏−𝟐𝑫𝒏−𝟐𝒚 + ⋯
+ 𝑷𝒏−𝟐(𝒂𝒙 + 𝒃)
𝟐𝑫𝟐𝒚 + 𝑷𝒏−𝟏(𝒂𝒙 + 𝒃)𝑫𝒚 + 𝑷𝒏𝒚 = 𝑸(𝒙) 
Donde: 𝑃𝑖 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 con i = 0, 1, 2, … , n 
Para resolver esta ecuación, se aplica el siguiente cambio de variable: 
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝒆𝒛 → 𝒛 = 𝒍𝒏(𝒂𝒙 + 𝒃), de donde: 𝒙 =
𝟏
𝒂
(𝒆𝒛 − 𝒃) un nuevo operador 
diferencial: 𝒗 =
𝒅
𝒅𝒛
 y para las fórmulas de transformación tenemos: 
𝑫𝒚 =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒛
∙
𝒅𝒛
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒛
∙
𝒅
𝒅𝒙
[𝐥 𝐧(𝒂𝒙 + 𝒃)] =
𝒂
𝒂𝒙 + 𝒃
∙
𝒅𝒚
𝒅𝒛
 ⇒ (𝒂𝒙 + 𝒃)𝑫𝒚 = 𝒂𝒗𝒚 
𝑫𝟐𝒚 =
𝒅
𝒅𝒙
[
𝒂
𝒂𝒙 + 𝒃
∙
𝒅𝒚
𝒅𝒛
] =
𝒂𝟐
(𝒂𝒙 + 𝒃)𝟐
(
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒛𝟐
−
𝒅𝒚
𝒅𝒛
) 
 (𝒂𝒙 + 𝒃)𝟐𝑫𝟐𝒚 = 𝒂𝟐(𝒗𝟐𝒚 − 𝒗𝒚) = 𝒂𝟐𝒗(𝒗 − 𝟏)𝒚 
𝑫𝟑𝒚 = −
𝟐𝒂𝟑
(𝒂𝒙 + 𝒃)𝟑
∙ (
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒛𝟐
−
𝒅𝒚
𝒅𝒛
) +
𝒂𝟑
(𝒂𝒙 + 𝒃)𝟑
∙ (
𝒅𝟑𝒚
𝒅𝒛𝟑
−
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒛𝟐
) =
𝒂𝟑
(𝒂𝒙 + 𝒃)𝟑
(
𝒅𝟑𝒚
𝒅𝒛𝟑
− 𝟑
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒛𝟐
+ 𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒛
) 
Entonces: (𝒂𝒙 + 𝒃)𝟑𝑫𝟑𝒚 = 𝒂𝟑(𝒗𝟑𝒚 − 𝟑𝒗𝟐𝒚 + 𝟐𝒗𝒚) = 𝒂𝟑𝒗(𝒗 − 𝟏)(𝒗 − 𝟐)𝒚 
Siguiendo la regla de formación tendremos: 
 (𝒂𝒙 + 𝒃)𝟒𝑫𝟒𝒚 = 𝒂𝟒𝒗(𝒗 − 𝟏)(𝒗 − 𝟐)(𝒗 − 𝟑)𝒚 
En general: 
 
Ejem.6 Resolver las siguientes ecuaciones de Legendre: 
𝒙𝒏𝑫𝒏𝒚 = 𝒗(𝒗 − 𝟏)(𝒗 − 𝟐) … [𝒗 − 𝒏 + 𝟏]𝒚 
(𝒂𝒙 + 𝒃)𝒏𝑫𝒏𝒚 = 𝒂𝒏𝒗(𝒗 − 𝟏)(𝒗 − 𝟐) … [𝒗 − 𝒏 + 𝟏]𝒚 
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Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de orden n por el 
método indicado o por un método adecuado 
1. [(𝑫𝟔 + 𝑫𝟓 + 𝑫𝟒 + 𝑫𝟑 + 𝑫𝟐 + 𝑫 + 𝟏)
𝟐
− 𝑫𝟔] 𝒚 = −𝟐𝒆𝟐𝒙 
2. 𝒚′′ − 𝒚 = 𝒙𝟐(𝒆)
𝒙𝟐
𝟐 
3. 𝒚′′′ + 𝒚′ = 𝑺𝒆𝒄 𝒙 
4. Hallar la solución particular por métodos abreviados: 𝒚′′ + 𝒚 = 𝒙𝟐 𝑺𝒆𝒏𝟐𝒙 
5. Resolver la ecuación utilizando el método de abreviados para la solución 
particular: 𝒚′′ + 𝟐𝒚′ + 𝒚 = 𝒙𝟐𝒆−𝒙𝑪𝒐𝒔 𝒙 
6. 𝒚′′ + 𝟐𝒚′ + 𝒚 = 𝒆−𝒙 𝒍𝒏 𝒙 
7. 𝒚′′′ − 𝟒𝒚′ = 𝒙𝒆𝟐𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝒙𝟐 Utilizar el método de coeficientes 
indeterminados para encontrar la solución particular 
8. (𝒙 + 𝟏)𝟑𝒚′′′ + (𝒙 + 𝟏)𝟐𝒚′′ + 𝟑(𝒙 + 𝟏)𝒚′ − 𝟖𝒚 =
𝒙
√𝒙+𝟏
 
9. 𝒙𝟑𝒚′′′ − 𝟒𝒙𝟐𝒚′′ + 𝟖𝒙𝒚′ − 𝟖𝒚 = 𝟒𝒍𝒏 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔(𝒍𝒏 𝒙𝟐) − 𝟏 + 𝒙𝟐 
10. Resolver la ecuación dada si se sabe que: 𝒚𝟏 es una solución particular de 
la ecuación: 𝒙𝟐(𝐥𝐧 𝒙 − 𝟏)𝒚′′ − 𝒙𝒚′ + 𝒚 = 𝟎 , 𝒚𝟏 = 𝒙 
11. Resolver la ecuación dada si se sabe que: 𝒚𝟏 ˄ 𝒚𝟐 son soluciones 
particulares de la ecuación: 
 𝒙𝒚′′ − 𝒚′ − 𝟒𝒙𝟑𝒚 = 𝟏𝟔𝒙𝟑𝒆𝒙
𝟐
 ; 𝒚𝟏 = 𝒆
𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 = 𝒆
−𝒙𝟐 
12. Resolver la ecuación dada si se sabe que: 𝒚𝟏 es una solución particular de 
la ecuación: (𝟒𝒙𝟐 − 𝒙)𝒚′′ + 𝟐(𝟐𝒙 − 𝟏)𝒚′ − 𝟒𝒚 = 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 ; 𝒚𝟏 =
𝟏
𝒙