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PROFESOR: JORGE DANIEL MARTINEZ 
 
SISTEMA DE ECUACION Y PROBLEMAS 
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MATEMÁTICA CURSO: 2° 2° 
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO 
Definición. 
Una ecuación de primer grado se denomina ECUACIÓN LINEAL. 
Ecuación según la Real Academia Española significa Igualdad que contiene una o más 
incógnitas. Una ecuación de primer grado con una incógnita es aquella que tiene solo un 
término desconocido el cual tiene grado 1. 
Ejemplo: 
 
 
 
CÓMO RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y UNA INCÓGNITA 
Resolver una ecuación consiste en determinar el valor de la incógnita que hace verdadera la 
igualdad. 
Esto significa despejar la incógnita que es dejarla sola en un miembro de la igualdad. Para 
lograrlo se puede utilizar la analogía de la balanza explicada en la página anterior. 
 
Ejemplos: 
1) Determinar el valor de x en la ecuación: x - 6 = 12 
 x - 6 = 12 
 x - 6 + 6 = 12 + 6 
 x = 18 
2) Determinar el valor de x en la ecuación: 60 = x – 4 
 60 = x – 4 
 60 + 4 = x – 4 + 4 
 64 = x 
3) Determinar el valor de x en la ecuación: 3x = 8 
 3x = 8 
 3x • 
1
3
 = 8 • 
1
3
 
 x = 
8
3
 
 
 
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4) Determinar el valor de x en la ecuación: 
𝑥
3
 = 6 
 
𝑥
3
 = 6 
 
𝑥
3
• 3 = 6 • 3 
 x = 18 
SISTEMAS DE ECUACIONES 
No todas las situaciones cotidianas simples se pueden plantear y resolver utilizando solo una 
ecuación lineal, en ocasiones hay más de una incógnita y se necesita más de una ecuación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que poseen incógnitas. Para 
indicar que varias ecuaciones forman un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con 
una llave. 
Un sistema de dos ecuaciones lineales con incógnitas x y, también llamado ecuaciones 
simultáneas de dos por dos. 
Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que surgen del planteamiento 
de un problema, generalmente no tienen la forma estándar, sin embargo, debe obtenerse. 
 
 
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Resolver un sistema de este tipo es encontrar los pares de números x e y, que satisfacen 
ambas ecuaciones, si existen. Gráficamente, una solución del sistema es un punto común a 
ambas rectas P (x, y). 
Ejemplo: 
Un electricista y su ayudante son contratados para 
resolver un pequeño desperfecto. Después de resolverlo, 
cobran $ 20.000. Al repartirse el dinero, la diferencia 
entre el electricista y su ayudante es de $ 8.000, 
¿cuánto dinero recibe cada uno? 
En este caso es claro que hay dos incógnitas, x: 
cantidad de dinero recibida por el electricista e y: cantidad de dinero recibida por el 
ayudante. 
Al releer el enunciado del problema es posible establecer 2 relaciones entre las incógnitas: 
i. Han cobrado $20.000, esto es: x + y = 20.000 
ii. La diferencia entre lo que han recibido es $8.000, esto es: x – y = 8.000 
Las ecuaciones anteriores conforman un sistema de 2 ecuaciones y dos incógnitas que se 
escribe de la siguiente manera: 
 x + y = 20.000 
 x – y = 8.000 
 
 
 
 
 
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RESOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES 
Para resolver sistemas de ecuaciones existen variados métodos, entre los más usuales 
están la reducción, la sustitución y la igualación. 
 
 
 
 
 
 
MÉTODO DE REDUCCIÓN 
Este método consiste en reducir el sistema de dos ecuaciones, a una sola ecuación, en la 
cual haya una sola incógnita realizando operaciones algebraicas y luego sumando o 
restando ambas ecuaciones como se muestra en los ejemplos siguientes. 
 
Ejemplos: 
 
1) Resolveremos el sistema de la situación del electricista y su ayudante: 
 x + y = 20.000 
 x – y = 8.000 
 2x + 0 = 28.000 
 2x = 28.000 
 
 x + y = 20.000 
 14.000 + y = 20.000 
 y = 20.000 – 14.000 
 
2) resolver el siguiente sistema: x + 3y = 14 
 3x + 2y = 21 
 
Cuando los coeficientes son distintos en ambas ecuaciones, se procede igualando los 
coeficientes de la variable que se desea eliminar. 
 x + 3y = 14 /* 3 
 3x + 2y = 21 /*(-1) 
 
 
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Por lo que el sistema se transforma en: 
 3x + 9y = 42 
 -3x - 2y = -21 
 7y = 21 
 y = 
21
7
 
 
 
 x + 3y = 14 
 x + 3 • 3 = 14 
 x + 9 = 14 
 x = 14 - 9 
 
 
 
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 
El método de sustitución consiste en tomar una de las ecuaciones del sistema y en ella 
despejar una incógnita, en términos de la otra, luego reemplazar esa incógnita en la otra 
ecuación. El sistema original de dos ecuaciones se convierte en solo una ecuación lineal, la 
que se resuelve. El valor determinado se reemplaza en la ecuación con la que se inició el 
trabajo. 
Ejemplo: 
Resolveremos el siguiente sistema de ecuaciones mediante sustitución: x + y = 9 
 2x + 3y = 22 
 
 x + y = 9 
 x = 9 - y 
 
 2x + 3y = 22 
 
 2 (9 - y) + 3y = 22 
 
 18 - 2y + 3y = 22 
 
 
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 18 + y = 22 
 y = 22 – 18 
 
 
 x = 9 – y 
 x = 9 – 4 
 
 
Por lo tanto, x = 5, e y = 4 
 
 
MÉTODO DE IGUALACIÓN 
Este método consiste en elegir una incógnita del sistema y despejarla de ambas ecuaciones 
en términos de la otra incógnita y luego igualarlas, convirtiendo el sistema de dos 
ecuaciones en solo una ecuación lineal, la que se resuelve. El valor de esa incógnita se 
reemplaza en una de las dos ecuaciones del sistema para obtener el valor de la otra 
incógnita: 
Ejemplo: 
Resolveremos el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de igualación 
 x + y = 25 
 x + 2y = 33 
Despejaremos la misma incógnita en ambas ecuaciones 
 x = 25 – y 
 x = 33 - 2y 
 
 
 25 - y = 33 - 2y 
 
 2y - y = 33 - 25 
 
 
 
 
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 x = 25 - y 
 x = 25 - 8 
 
 
 
 
 
MÉTODO GRÁFICO 
Como ya se mencionó, cada ecuación lineal de un sistema representa una recta. Esto 
implica que la representación de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 
consiste en un par de rectas y recuérdese que esto lo realizamos en funciones lineal y afín,como también en las rectas. 
En un sistema de dos ecuaciones lineales: 
 Si las dos rectas que se cruzan en un punto, éste 
representa la solución del sistema. En este caso el 
sistema es COMPATIBLE DETERMINADO. 
Tiene una única solución. La representación gráfica 
del sistema son dos rectas que se cortan en un 
punto. 
 Si las dos rectas coinciden en todos sus puntos, 
tiene infinitas soluciones. En este caso el sistema es 
COMPATIBLE INDETERMINADO. 
Tiene infinitas soluciones. La representación gráfica 
del sistema son dos rectas coincidentes. 
 Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún 
punto común. En este caso el sistema es 
INCOMPATIBLE y no tiene solución. 
La representación gráfica del sistema son dos rectas 
que son paralelas. 
 
Para fines de graficar conviene despejar de ambas ecuaciones la variable y. Se puede 
elaborar una tabla de valores o se ubican los puntos en que cruzan a los ejes coordenados 
para cada recta, se trazan y se analiza su comportamiento. 
 
 
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https://www.youtube.com/watch?v=BRdbuPPQWcE 
https://www.youtube.com/watch?v=CKZUZk0iu5k 
https://www.youtube.com/watch?v=_1UHZ4Vnnlo 
https://www.youtube.com/watch?v=LTfv1G2iYuQ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=BRdbuPPQWcE
https://www.youtube.com/watch?v=CKZUZk0iu5k
https://www.youtube.com/watch?v=_1UHZ4Vnnlo
https://www.youtube.com/watch?v=LTfv1G2iYuQ
 
 
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ACTIVIDADES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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