Unidad N6 - Sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales en el plano

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
FACULTAD REGIONAL VILLA MARÍA 
Tecnicatura Superior en Programación 
MATEMÁTICA 
 
Ing. Romina Verdoia – Ing. Paula Sicbaldi – Ing. Federico Rodríguez – Ing. Matías Corletti 
 
 
 
MATEMÁTICA 
Tecnicatura en Programación 
 
 
 
Unidad N°6: Sistema de ecuaciones e inecuaciones lineales 
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolución gráfica 
y analítica. Posiciones relativas de dos rectas en el plano. Análisis 
del posible conjunto solución y su relación con la gráfica. 
Problemas de aplicación. Sistemas de inecuaciones. 
Representación en el plano. 
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4.1. Introducción: 
En ocasiones, en las aplicaciones de las matemáticas se requiere trabajar simultáneamente con 
más de una ecuación con varias variables, es decir, con un sistema de ecuaciones. En esta unidad 
se desarrollarán los métodos para hallar soluciones que son comunes a todas las ecuaciones de un 
sistema. 
De particular importancia son las técnicas que comprenden matrices, porque están bien adaptadas 
a programas de cómputo y se pueden aplicar fácilmente a sistemas que contengan cualquier 
número de ecuaciones lineales con cualquier número de variables. También vamos a considerar 
sistemas de desigualdades. 
4.2. Sistema de ecuaciones lineales con dos variables 
Una ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 (o, bien, lo que es equivalente, 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − 𝑐 = 0), con a y b diferentes de 
cero, es una ecuación lineal con dos variables x y y. Del mismo modo, la ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑 
es una ecuación lineal con tres variables x, y y z. También podemos considerar ecuaciones lineales 
con cuatro, cinco o cualquier número de variables. Los sistemas más comunes de ecuaciones son 
aquellos en los que toda ecuación es lineal. En esta unidad se consideran sólo sistemas de dos 
ecuaciones lineales con dos variables. 
Los sistemas que contengan más de dos variables se estudian en una unidad más adelante. Dos 
sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Para hallar las soluciones 
de un sistema, podemos manipular las ecuaciones hasta que obtengamos un sistema de 
ecuaciones equivalente sencillo para el cual las soluciones se pueden hallar fácilmente. 
4.3. Conjunto solución y clasificación: 
Resolver una ecuación implica encontrar un determinado valor de una incógnita que pueda 
satisfacer una igualdad entre dos miembros. En términos de expresiones lineales, con sólo una 
incógnita, la solución de dicha ecuación no es más que un valor. En esta unidad, se pretende 
aprender a resolver un sistema de ecuaciones, compuesto por dos ecuaciones lineales que 
contienen dos incógnitas. 
El estudio de la recta en el plano permite identificar rápidamente, en una primera aproximación, 
saber de que se trata el conjunto solución de un sistema de ecuación de dos ecuaciones con dos 
incógnitas. Esto es debido a que cada ecuación representa una recta en el plano. 
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La resolución de una ecuación nos puede conducir a una solución única, a infinitas soluciones o a 
un sistema sin solución alguna. El siguiente cuadro presta la clasificación del conjunto solución de 
un sistema de ecuaciones. 
Gráficas Número de soluciones Clasificación 
No paralelas y 
perpendiculares 
Una 
Compatible 
Determinado 
Idénticas Infinitas Indeterminado 
Paralelas Sin solución Incompatible - 
 
Se sabe que dos rectas que no son paralelas o perpendiculares tienden a “cortarse” en un único 
punto y este punto representado por las coordenadas P1(x1;y1), dónde ambas rectas coexisten en 
el plano, se denomina conjunto solución de un sistema COMPATIBLE DETERMINADO. 
De la misma manera, asumiendo el mismo principio de un sistema compatible determinado 
podemos destacar que si dos rectas son iguales o idénticas, aunque las expresiones 𝑦1 = 𝑎𝑥1 + 𝑏1 
; 𝑦2 = 𝑎𝑥2 + 𝑏2 aparenten ser diferentes, estás confluyen en la infinidad de todos los puntos que las 
componen. Es decir, coinciden en toda la extensión, razón por la cual, cada punto del sistema 
satisface el sistema de ecuación. En este caso, se dice que el sistema es COMPATIBLE 
INDETERMINADO. 
Finalmente, si dos rectas son paralelas, nunca existirá un punto en común. Nunca se van a “chocar”. 
Esta premisa permite establecer que, ante la inexistencia de un punto en común entre ambas rectas, 
no existirá solución. 
ENCONTRAR LA SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LÍNEALES DE 2X2 ES 
ENCONTRAR EL O LOS PUNTOS DÓNDE COEXISTEN AMBAS RECTAS 
 
 
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4.4. Ejemplos: 
4.4.1. Sistema compatible determinado 
 
 
 
4.4.2. Sistema compatible indeterminado 
 
 
 
4.4.3. Sistema incompatible 
 
 
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4.5. Métodos de resolución: 
Considerando que cada ecuación representa una recta, y a la vez, sabiendo que la expresión más 
usual para representarlas es la ecuación general 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, es oportuno saber que las expresiones 
plasmadas dentro de un sistema de ecuaciones lineales, no siempre está dado de la misma manera, 
de forma tal que es más posible encontrarlo como se presume a continuación: 
𝑎1𝑥1 + 𝑏1𝑦1 = 𝑐1 
𝑎2𝑥2 + 𝑏2𝑦2 = 𝑐2 
Existen diversos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, todos tienen el mismo fin que 
es encontrar ambas incógnitas de cada una de las ecuaciones simultáneamente. A continuación, 
se detallan los métodos a emplear. 
4.5.1. Método de sustitución 
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución seguiremos los siguientes 
pasos: 
 
 1) Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 
 
 2) Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con 
una sola incógnita. 
 
 3) Se resuelve la ecuación. 
 
 4) El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. 
 
 5) Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. 
 
Ejemplo: 
 
5𝑥 − 𝑦 = 6 
𝑥 + 3𝑦 = 10 
 
Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. 
 
1) Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo 
𝑥 = 10 − 3𝑦 
 
2) Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior: 
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5(10 − 3𝑦) − 𝑦 = 6 
 
3) Resolvemos la ecuación obtenida: 
5(10 − 3𝑦) − 𝑦 = 6 
50 − 15𝑦 − 𝑦 = 6 
−16𝑦 = 6 − 50 
−16𝑦 = −44 
𝑦 =
−44
−16
=
11
4
 
Dicho valor representa la ordenada en P(X;Y) 
 
4) Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada: 
𝑥 = 10 − 3𝑦 
𝑥 = 10 − 3 (
11
4
) 
𝑥 = 10 − (
33
4
) 
𝑥 =
40
4
−
33
4
 
𝑥 =
7
4
 
Dicho valor representa la abscisa en P(X;Y) 
5) Solución: 𝑃 (
7
4
;
11
4
) 
4.5.2. Método gráfico 
El método de gráfico es un método utilizado para resolver sistemas de ecuaciones. Concretamente, 
el método gráfico consiste en representar las ecuaciones del sistema en una gráfica y ver en qué 
punto se cortan. 
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico se deben hacer los siguientes pasos:UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
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1) Despejar la incógnita y de las dos ecuaciones del sistema. 
2) Construir una tabla de valores para cada ecuación. Cabe destacar que la construcción de 
una tabla es una herramienta empleada para obtener la gráfica. Existen otros métodos que 
pueden resultar más ágiles explicado en el ejemplo. 
3) Representar gráficamente las dos ecuaciones en el plano cartesiano. Se obtendrán dos 
rectas. 
Si las dos rectas se cortan en un punto, dicho punto de corte es la solución del sistema de 
ecuaciones (Sistema Compatible Determinado). 
Si las dos rectas se superponen, el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones (Sistema 
Compatible Indeterminado). 
Si las dos rectas son paralelas (no se cortan), el sistema de ecuaciones no tiene solución (Sistema 
Incompatible). 
Ejemplo 
2𝑥 + 𝑦 = 5 
−3𝑥 + 2𝑦 = −4 
Como indica el primer paso, hay que despejar la incógnita y de cada una de las ecuaciones. La idea 
principal es obtener la ecuación de la recta general conocida como 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, de esta forma, se 
obtiene: 
𝑦 = −2𝑥 + 5 
𝑦 =
3𝑥 − 4
2
=
3
2
𝑥 − 2 
Obtenidas ambas expresiones generales de cada recta, se procede a graficar la primera de la 
siguiente manera: 
 Se marca sobre el eje de las ordenadas, el valor de la ordenada al origen, para tal caso, ese 
valor es +5. 
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 Partiendo desde ese punto y considerando el valor de la pendiente como una fracción, para 
este ejemplo -2/1, se establece que: 
o El valor del numerador expresa la cantidad de unidades a moverse en la dirección 
de Y, es decir verticalmente, hacia arriba si el signo de dicha pendiente es positivo o 
hacia abajo si el signo de la pendiente es negativo. 
o El valor del denominador expresa la cantidad de unidades a desplazarse en la 
dirección de X, es decir horizontalmente, siempre hacia la derecha. 
 
 El punto de encuentro, producto del desplazamiento en x e y del ítem anterior, determina el 
segundo punto necesario para el trazo de la recta. 
 Teniendo esos dos puntos, se unen para dar origen a la grafica de la recta. Siguiendo los 
mismos pasos para graficar la segunda recta el sistema queda concluido de la siguiente 
manera: 
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El punto de intersección define la solución de el sistema. 
 
Para tal sistema de ecuaciones, se trata de un sistema compatible determinado dónde la solución 
queda expresada como 𝑃(2; 1). 
Cabe destacar que el método resolutivo gráfico resulta conveniente cuándo los coeficientes 
(pendiente y ordenada al origen) dejan ver las coordenadas del punto de manera concreta. Las 
coordenadas de un punto no siempre serán los números del conjunto de enteros. De hecho, dentro 
del conjunto de los números reales, cualquiera puede formar parte del par ordenado que satisface 
un sistema de ecuación y ante un criterio de escala del sistema de coordenadas como el presentado 
en el ejemplo, dificultaría la lectura del mismo. 
Resulta útil y oportuno emplear el método gráfico como una forma de corroboración o a los fines 
prácticos de dimensionar el conjunto solución. 
 
𝑃(2; 1) 
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4.6. Sistemas de inecuaciones 
Una solución de una desigualdad en x y y es un par ordenado (a, b) que produce un enunciado 
verdadero si a y b se sustituyen por x y y, respectivamente. Resolver una desigualdad en x y y 
significa hallar todas las soluciones. La gráfica de tal desigualdad es el conjunto de todos los puntos 
(a, b) de un plano xy que corresponda a las soluciones. Dos desigualdades son equivalentes si 
tienen las mismas soluciones. 
Dada una desigualdad en x y y, si cambiamos el símbolo de desigualdad con un signo de igual, 
obtenemos una ecuación cuya gráfica por lo general separa el plano xy en dos regiones. 
Consideraremos sólo ecuaciones que tengan la propiedad de que si R es una de esas regiones y si 
un punto de prueba (p, q) en R da una solución de la desigualdad, entonces todo punto en R da una 
solución. Las siguientes directrices se pueden usar entonces para trazar la gráfica de la 
desigualdad. 
 
Desigualdades lineales 
Una desigualdad lineal es aquella que se puede escribir en una de las formas siguientes, donde a, 
b y c son números reales: 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 < 𝑐 ; 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 > 𝑐 ; 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑐 ; 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≥ 𝑐 
La recta 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 separa el plano xy en dos semiplanos, como se ilustra en la figura. Las 
soluciones de la desigualdad están formadas por todos los puntos en uno de estos semiplanos, 
donde la recta está incluida para ≤ 𝑜 ≥ y no está incluida para < 𝑜 >. 
 
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Para una desigualdad lineal, sólo un punto de prueba (p, q) se requiere, porque si (p, q) es una 
solución, entonces el semiplano con (p, q) contiene todas las soluciones, mientras que si (p, q) no 
es una solución, entonces el otro semiplano contiene las soluciones. 
Analizando un ejemplo, donde se trace la gráfica de la desigualdad 3𝑥 − 4𝑦 > 12 
El cambio de > con = nos da la recta3𝑥 − 4𝑦 = 12, trazada con una línea interrumpida como se 
observa en la figura. 
 
Esta recta separa el plano xy en dos semiplanos, uno arriba de la recta y el otro debajo de la recta. 
Es conveniente escoger el punto de prueba (0, 0) arriba de la recta y sustituir en 3𝑥 − 4𝑦 > 12, como 
sigue: 
Lado izquierdo: 3 ∗ 0 − 4 ∗ 0 = 0 − 0 = 0 
Lado derecho: 12 
Como 0 > 12 es un enunciado falso, (0, 0) no es una solución. Entonces, ningún punto arriba de la 
recta es solución y las soluciones de 3𝑥 − 4𝑦 > 12 están dadas por los puntos del semiplano debajo 
de la recta. La gráfica está trazada en la figura que sigue: 
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Como lo hicimos con ecuaciones, a veces trabajamos simultáneamente con varias desigualdades 
con dos variables, es decir, con un sistema de desigualdades. Las soluciones de un sistema de 
desigualdades son las soluciones comunes a todas las desigualdades del sistema. La gráfica de un 
sistema de desigualdades está formada por los puntos correspondientes a las soluciones. 
Analizando el siguiente ejemplo: 
𝑥 + 𝑦 ≤ 4 
2𝑥 − 𝑦 ≤ 4 
Cambiamos ≤ con = y luego trazamos las rectas resultantes, como se ve en la figura a 
continuación. 
 
 
 
 
 
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Usando el punto de prueba (0, 0), vemos que las soluciones del sistema corresponden a los puntos 
abajo (y sobre) la recta 𝑥 + 𝑦 = 4 y arriba (y sobre) la recta 2𝑥 − 𝑦 = 4. Si sombreamos estos 
semiplanos con colores diferentes, como en la figura, tenemos como la gráfica del sistema los 
puntos que están en ambas regiones, indicadas por la parte violeta de la figura.