G R4 13 Relaciones Métricas II

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Regular 2017 II Geometría 
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Departamento de Publicaciones Enseñamos mejor !! 
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2 2 2 2bma b c+ −= 2 2 2 2bma b c+ +=
2 ( )( )( )h p p a p b p cc= − − −
2
a b cp + +=
p semiperímetro=
2
2 2 22 2
b
a c x+ +=
2 mnx ab −=
2 2 2b m n mnbx a c+ −=
2 mnx ab−=
La rapidita de Euclides
2 2 2 2a n b m+ +=
Teorema de Euclides
Teorema de Herón
Teorema de la bisectriz interior
Teorema de la bisectriz exterior
Teorema de la mediana
Teorema de Steward
Naturaleza del triángulo
2 2 2 2 2 2 24AC BD PQa b c d+ + + + +=
Teorema de Euler
 AC BDP y Q son puntos medios de y .
xAC BD ac bd+=
Teorema de Ptolomeo
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 1 (θ < 90°) Caso 2 (90° < θ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a; b; c = Son las longitudes de los lados 
de un triángulo. 
 
Además: a > b y c 
 
Si: a2 < b2 + c2......... es acutángulo. 
 
 
Si: a2 = b2 + c2......... es rectángulo. 
 
 
Si: a2 > b2 + c2....... es obtusángulo. 
 
 
Problemas para la Clase 
 
01. Del gráfico calcular “AH” Si: AB = 25, 
BC = 17 y AC = 28 
 
A) 20 
B) 21 
C) 22 
D) 23 
E) 24 
 
02. En la figura mostrada ABCD es un 
rombo. Si además AM = 13 y DM = 9, 
calcule AB. 
 
A) 7 
B) 8 
C) 9 
D) 10 
E) 12 
 
 Relaciones Métricas II – Triángulos Oblicuángulos 
 Geometría 
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03. Los lados de un triángulo miden 2 ; 
6 y 8 ; hallar la longitud de la 
menor altura. 
 
A) 3 2 B) 5 2 C) 6 2 
D) 1,2 E) 1,4 
 
04. En la figura mostrada, calcular el 
valor de x 
 
A) 3 5 
B) 3 7 
C) 5 3 
D) 2 13 
E) 2 11 
 
05. En un trapecio ABCD, BC AD se 
cumple: AB = 15; BC = 10; CD = 13 y 
AD = 24. Halle la longitud de la altura 
de dicho trapecio. 
 
A) 10 B) 12 C) 14 
D) 16 E) 18 
 
06. Del gráfico mostrado, calcule “BE”. 
 
 
A) 28 
B) 30 
C) 33 
D) 22 
E) 19 
 
07. Dado un trapecio ABCD, BC AD 
AB = 5; BC = 4; CD = 4 y AD = 6. 
Halle la longitud de la diagonal AC . 
de dicho trapecio. 
 
A) 8 B) 65 C) 9 
D) 67 E) 10 
 
08. En un triángulo ABC, se cumple que: 
BC = a y AC = b, se ubican los 
puntos M y N sobre AB de tal 
manera que AM = MN = NB. Calcular 
el valor de: 
 
 2 2 24Z CM CN MN= + + 
 
A) 2 2a b+ B) 2 2a b− 
C) 2 22a b+ D) 2 22a b+ 
E) 2 22a b− 
 
09. En el gráfico AOB es un cuarto de 
circunferencia tal que: OP = PB = 10. 
Halle “x”. 
 
A) 5 
B) 5,5 
C) 6 
D) 6,5 
E) 7 
10. En un triángulo ABC, AB = BC, se 
traza la altura AH (H en BC ). SI 
BCxCH = 18, hallar AC. 
 
A) 5 B) 6 C) 7 
D) 8 E) 9 
 
11. En la figura mostrada O y OI son 
centros de las semicircunferencias, 
si: OIC = 2CO y además se cumple 
que: AC2 + CB2 – EC2 – CF2 = 36. 
Calcular EF. 
 
A) 7 
B) 8 
C) 9 
D) 10 
E) 12 
 
12. En un triángulo acutángulo ABC, se 
traza las alturas AH y CQ . Si: 
ABxAQ = 24 y CBxCH = 25, halle AC. 
 
A) 9 B) 8 C) 7 
D) 6 E) 5 
 
13. Si las diagonales de un cuadrilátero 
convexo miden 4 y 6, calcule la suma 
de los cuadrados de los segmentos 
que unen los puntos medios de los 
lados opuestos. 
 
A) 18 B) 20 C) 24 
D) 26 E) 27 
 
14. En un rombo ABCD, el punto exterior 
“O” equidista de los vértices A y C. 
Calcular OBxOD, si: OA2 – AB2 = 8. 
 
A) 6 B) 7 C) 8 
D) 9 E) 10 
 
15. En la figura mostrada O y OI son 
centros de las semicircunferencias, 
si: 13AB = , calcular BQ sabiendo 
además que ABCD es un rectángulo. 
 
A) 2 
B) 3 
C) 5 
D) 6 
E) 7 
 
16. En un triángulo ABC se trazan la 
bisectriz interior BD y la mediana 
BM tal que: BD = DM. Hallar AC. 
Si: (AB)(BC) = 256 
 
A) 18 B) 24 C) 16 
D) 32 E) 20 
 
17. De la figura mostrada, calcule “x”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 9 B) 8 C) 5,5 
D) 6 E) 7 
18. Sea ABCD un cuadrilátero inscrito en 
una circunferencia, de modo que el 
triángulo ACD sea equilátero, AB = 8 
y BD = 12. Calcular el valor de BC. 
 
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 5 E) 6 
 
19. En la figura mostrada O y E son 
centros de las semicircunferencias, 
EBF es un sector circular, hallar “x” 
si: AB = 4. 
 
A) 5/22 
B) 7/22 
C) 5/21 
D) 7/21 
E) 8/21 
 
20. La circunferencia exinscrita a un 
triángulo ABC es tangente a BC en 
el punto F. Calcular AF, si: AB = 5, 
BC = 6 y AC = 7. 
 
A) 5,5 B) 6 C) 33 
D) 30 E) 4 2 
 
21. En la figura ABCD es un cuadrado, 
si: 3AP = y 2PQ = . Calcule QD. 
 
A) 2 
B) 1,5 
C) 2,5 
D) 3 
E) 1 
 
22. Hallar x” si los radios de los 
semicircunferencias son “R” y “r” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 1,32 B) 1,44 C) 1,62 
D) 1,26 E) 1,92 
 
23. Calcular la longitud del tercer lado de 
un triángulo, si la altura relativa a 
dicho lado lo divide en dos 
segmentos proporcionales a los 
números 2 y 5. Se sabe además que 
los otros lados miden 10cm y 17cm. 
 
A) 18 B) 1/7 C) 23 
D) 21 E) 19 
 
24. ABC es un triángulo rectángulo 
isósceles inscrito en una 
circunferencia y “F” un punto del AC 
Si: FC + FA = 28 , calcule la 
longitud de la cuerda BF . 
 
A) 4 B) 8 C) 12 
D) 10 E) 5 
	04. En la figura mostrada, calcular el valor de x