Factorial y Teorema del Binomio

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MATEMÁTICAS BÁSICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN
DEFINICION DEL n-FACTORIAL - COEFICIENTE BINOMIAL Y TEOREMA DEL BINOMIO
Factorial y Combinaciones
Definición de n factorial
Definimos
1! = 1
2! = 2 · 1 = 2
y, en general, si n es cualquier número natural, el número n · (n− 1) · · · · 3 · 2 · 1 se llama factorial de n y se denota como
n!, esto es
n! = n · (n− 1) · · · · · 3 · 2 · 1.
El número n! es útil para expresar algunas fórmulas como veremos a continuación. Por conveniencia, se define 0! = 1. Está
definición quedará justificada un poco mas adelante.
Teorema
El número total de formas diferentes de ordenar n objetos distintos (llamadas permutaciones) es n!.
En efecto, si se dispone de n objetos distintos, cualquiera de ellos se puede seleccionar como “el primero”, es decir, hay n
posibilidades para el “primer objeto”. Una vez escogido éste, cualquiera de los objetos restantes se puede seleccionar como
el “segundo”. Es decir, hay n− 1 posibilidades para el “segundo objeto”. Sucesivamente, habrá n− 2 posibilidades para el
“tercero”, n− 3 posibilidades para el “cuarto”... y finalmente sólo habrá una posibilidad para el “n-ésimo” objeto. Aśı, en
total hay n · (n− 1) · (n− 2) · · · 2 · 1 posibles órdenes o permutaciones.
Combinaciones
Si queremos formar todos los posibles subconjuntos de tamaño r de un conjunto de n elementos, r ≤ n, sin importar el
orden, diremos que estamos haciendo combinaciones de los elementos.
Por ejemplo, como el orden de los elementos en un conjunto carece de importancia, las combinaciones {A, B, C} y {A, C, B}
son iguales (es decir, cuentan como una combinación solamente).
El número de combinaciones de n objetos tomados en grupos de r a la vez (esto es, el número de subconjuntos de tamaño
r, dado un conjunto de tamaño n) se denota
(
n
r
)
.
Example 1
En un club, cuyos miembros son
{Antonio, Boris, Catalina, David, Estela}
= {A, B, C, D, E} ,
se quiere formar comités de 3 miembros. Se pueden formar los siguientes:
{A, B, C} , {A, B, D} , {A, B, E} , {A, C, D} ,
{A, C, E} , {A, D, E} , {B, C, D} , {B, C, E} ,
{B, D, E} , {C, D,E} .
Es decir, hay 10 posibles comités. Como en las permutaciones, no se permiten repeticiones, en este caso {C, E, E} no es
un subconjunto o comité válido.
1
Teorema
El número de combinaciones o subconjuntos de n objetos distintos tomados en grupos de r a la vez, donde r ≤ n, está dado
por (
n
r
)
=
n!
r! (n− r)!
.
La expresión
(
n
r
)
se lee n tomados en grupos de r y se denomina coeficiente binomial.
¿Cuándo aplicar combinaciones?
Las combinaciones se aplican cuando
(1) no se permiten las repeticiones, y
(2) el orden es irrelevante.
Example 2
Juan Esteban quiere comprar 10 videojuegos diferentes pero sólo tiene dinero para comprar 4. ¿De cuántas maneras puede
hacer su selección?
Solución
Los cuatro videojuegos que escoja Juan Esteban serán distintos (no se permiten las repeticiones), y además el orden de
escogencia no es importante en este caso, entonces usamos combinaciones:(
10
4
)
=
10!
4! (10− 4)!
= 210 maneras.
Luego, Juan Esteban puede seleccionar los 4 videojuegos de 210 maneras distintas.
Example 3
Todos los estudiantes de un programa de maestŕıa en Matemáticas desean ir a un evento académico, pero sólo hay cupo para
12 de ellos. ¿De cuántas maneras podŕıan elegirse los 12 asistentes al evento si hay un total de 24 estudiantes?
Solución
En este caso, cada grupo consta de 12 personas distintas (no se permiten las repeticiones) y el orden de la selección es
irrelevante, entonces usamos combinaciones. Aśı,(
24
12
)
=
24!
12! (24− 12)!
= 2, 704, 156 maneras.
Concluimos que la selección de las 12 personas que participarán en el evento puede hacerse de 2, 704, 156 maneras diferentes.
El teorema del binomio
Realizando multiplicaciones se pueden encontrar desarrollos de la primera, segunda, tercera, cuarta y quinta potencia de un
binomio. Veamos
(x + y)
1
= x + y
(x + y)
2
= x2 + 2xy + y2
(x + y)
3
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x + y)
4
= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
(x + y)
5
= x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5.
2
Los resultados anteriores se pueden generalizar de la siguiente forma:
Teorema
Si n ∈ Z+, entonces
(x + y)
n
=
(
n
0
)
xn +
(
n
1
)
xn−1y +
(
n
2
)
xn−2y2 +
(
n
3
)
xn−3y3 + . . . +
(
n
n− 1
)
xyn−1 +
(
n
n
)
yn,
o lo que es equivalente
(x + y)
n
= xn + nxn−1y +
n (n− 1)
2!
xn−2y2 +
n (n− 1) (n− 2)
3!
xn−3y3
+
n (n− 1) (n− 2) (n− 3)
4!
xn−4y4 + · · ·+ nxyn−1 + yn.
Los coeficientes
(
n
r
)
, para r = 0, 1, ..., n, se denominan coeficientes binomiales.
Example 4
Desarrolle la expresión (2a + b)
6
.
Solución
Aqúı x = 2a, y = b y n = 6, entonces
(2a + b)
6
=
(
6
0
)
(2a)
6
+
(
6
1
)
(2a)
5
b +
(
6
2
)
(2a)
4
b2 +
(
6
3
)
(2a)
3
b3 +
(
6
4
)
(2a)
2
b4
+
(
6
5
)
(2a) b5 +
(
6
6
)
b6
= (2a)
6
+ 6 (2a)
5
b +
6× 5
2!
(2a)
4
b2 +
6× 5× 4
3!
(2a)
3
b3 +
6× 5× 4× 3
4!
(2a)
2
b4
+
6× 5× 4× 3× 2
5!
(2a) b5 +
6× 5× 4× 3× 2× 1
6!
b6
= 64a6 + 192a5b + 240a4b2 + 160a3b3 + 60a2b4 + 12ab5 + b6.
Example 5
Desarrolle la expresión (2x− 5h)4.
Solución
Observemos que 2x es el primer término y (−5h) el segundo, luego
(2x− 5h)4 = (2x)4 + 4 (2x)3 (−5h) + 4× 3
2!
(2x)
2
(−5h)2 + 4× 3× 2
3!
(2x) (−5h)3 + (−5h)4
= 16x4 − 160x3h + 600x2h2 − 1000xh3 + 625h4.
Término general del desarrollo binomial
Del teorema anterior es fácil deducir que el término que contiene xr en la expansión de (x + y)n es(
n
n− r
)
xryn−r.
Del mismo modo, vemos que el término que contiene yr en la expansión de (x + y)n es(
n
r
)
xn−ryr.
3
Example 6
Encuentre el coeficiente del término x15y4 en el desarrollo de
(
√
x +
y2
2
)32
.
Solución
Usando la expresión definida más arriba, tomando r = 30 (pues (
√
x)30 = x15)y n = 32, tenemos que(
32
2
)(√
x
)32−2 (y2
2
)2
= 16 · 31 x15 y
4
4
= 124 x15y4.
Por lo tanto, el coeficiente pedido es 124.
El triángulo de Pascal
Una forma alternativa para expandir (x + y)n consiste en “leer” los coeficientes de los términos de la forma xn−kyk del
denominado triángulo de Pascal:
n = 0: 1
n = 1: 1 1
n = 2: 1 2 1
n = 3: 1 3 3 1
n = 4: 1 4 6 4 1
Esta figura se construye de la siguiente forma: en cada fila (lista horizontal) se escribe una colección ordenada de números.
En la fila “cero” se escribe un 1, en la “primera” fila se escribe dos veces el número 1. En adelante, en la fila “k-ésima” se
escriben k + 1 números, el primero y el último de los cuales es el 1. En una fila dada, después del primer número (que es
1) se escribe la suma de los dos números ubicados en la fila anterior y en las columnas “vecinas”. Aśı, por ejemplo, en la
segunda fila se escriben tres números. El primero y el tercero son el 1, en tanto que el segundo es la suma de los dos números
de la fila anterior, es decir 2 = 1 + 1. Análogamente, en la tercera fila se escriben cuatro números. El primero y el cuarto
son el 1, en tanto que el segundo es la suma de los dos números en la segunda fila que son “vecinos”, es decir, 3 = 1 + 2. El
tercer número de la tercera fila es 3 = 2 + 1. Y aśı sucesivamente...
Se puede probar que los coeficientes binomiales de la expansión de (x+y)n son los números de la “n-ésima” fila del triángulo
de Pascal. Aśı, por ejemplo, los coeficientes de (x + y)2 son
1 2 1,
con lo cual
(x + y)2 = 1 · x2 + 2 · xy + 1 · y2.
Los coeficientes de (x + y)3 son
1 3 3 1,
con lo cual
(x + y)3 = 1 · x3 + 3 · x2y + 3 · xy2 + 1 · y3.
Análogamente, los coeficientes de (x + y)4 son
1 4 6 4 1,
con lo cual
(x + y)4 = 1 · x4 + 4 · x3y + 6 · x2y2 + 4 · xy3 + 1 · y4.
Ilustremos el uso de esta técnica.
4
Example 7
Desarrolle la expresión (x + y)
6
.
Solución
Debemos hallar los coeficientes de la sexta fila del triángulo de Pascal. Para esto, usando los coeficientes de la cuarta fila,
observamos que los coeficientes de la quinta fila son
1 5 10 10 5 1.
Aśı, los coeficientesque buscamos son
1 6 15 20 15 6 1.
En consecuencia,
(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6.
Example 8
Desarrollemos nuevamente la expresión (2a + b)
6
del ejemplo 1 de la lección 32. Usando la expansión obtenida en el ejemplo
1,
(2a + b)
6
= (2a)6 + 6(2a)5b + 15(2a)4b2 + 20(2a)3b3 + 15(2a)2b4 + 6(2a)b5 + b6
= 64a6 + 6 · 32a5b + 15 · 16a4b2 + 20 · 8a3b3 + 15 · 4a2b4 + 6 · 2ab5 + b6
= 64a6 + 192a5b + 240a4b2 + 160a3b3 + 60a2b4 + 12ab5 + b6.
Observación
La técnica para hallar los coeficientes binomiales mediante el triángulo de Pascal es más sencilla de aplicar que el teorema
del binomio cuando n, la potencia, es relativamente pequeña. El teorema del binomio se aplica más fácilmente cuando la
potencia n es un número relativamente grande. Para convencerse de esto, intente desarrollar el ejemplo 3 de la lección 32
usando el triángulo de Pascal.
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