Tema 24 - Números racionales I

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71UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 24
NÚMEROS RACIONALES I
ARITMÉTICA
I. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS
RACIONALES
• Consideramos las parejas de números enteros (a; b)
donde b 0 .
•
a
b se denota (a; b). A "a" se le llama numerador y
a "b" se le llama denominador.
• Al conjunto de estos números se les denota por Q.
Es decir:
p
Q { / p Z,q Z,q 0}
q
   
II. EL CONJUNTO COCIENTE
*Z x Z

 cuyos elementos son las clases de equivalencia,
es decir, los números racionales, se representan por Q.
*
*Z x Z aQ / (a;b) Z x Z
b
  
       
, donde 
a
b
 
 
 
 número
racional.
III. CLASE DE EQUIVALENCIA
Es el conjunto de todos los pares ordenados equi-
valentes entre sí a a
b
.
Ejemplo:
 
Representante
 canónico
2 6 4 2 2 4
... ; ; ; ; ;...
3 9 6 3 3 6

     
         
Observación
1. Una clase de equivalencia tienen infinitos repre-
sentantes.
2. El representante canónico de una clase de equi-
valencia tiene los términos simplificados.
Al graficar la clase 
 
  
2
3 tenemos:
La gráfica de 
2
3
 
 
 
 son puntos contenidos en una recta
que pasa por el origen, esta recta tiene pendiente.
3 2Tan es la inversa de 
2 3
 
   
 
IV. NÚMEROS FRACCIONARIOS
Son aquellos racionales que no son enteros.
Son números No son números
fraccionarios fraccionarios
3 11 2 4 15 36
; ; , ; ; 
4 5 8 2 5 12
 
 
A. Fracción
Son aquellos números fraccionarios cuyos términos
son positivos.
 
No son fraccionesFracción
10 5 8 7 6 5 7
; ; ; ; ; 
8 4 16 4 7 3 9
  
 
• Si F es fracción:
a
F
b

 Numerador
 Denominador


Donde:   
o
a y b Z A B
DESARROLLO DEL TEMA
72UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
NÚMEROS RACIONALES I
TEMA 24
Exigimos más!
B. Clasificación de fracciones
Sea la fracción A
B
.
1. Por la comparación de su valor respecto a la
unidad
2. Por su denominador
Siendo k Z .
3. Por la cantidad de divisores comunes de sus
términos
 
Observación
 
A partir de una fracción irreductible se pueden ob-
tener todas las fracciones equivalentes a ella.
 +4 8 12 16 4n<> <> <> <>...<> ; (n Z )
7 14 21 18 7n
4. Por grupo de fracciones
 
Propiedades:
1. Siendo n Z
a. Si:   
1 2
A A n
f 1y f
B B n
1 2f f 
Ejemplo:
   
1 2
8 8 2 10f 1 y f
10 10 2 12
 8 10
10 12
b. Si:   
1 2
A A nf 1 y f
B B n
 1 2f f
Ejemplo:
   
1 2
10 10 6 16f 1y f
4 4 6 10
 10 16
4 10
2. Dadas las fracciones irreductibles:
1
af
b
 y 2
cf
d
se cumple que, si:
a c
k
b d
 
donde  k Z b = d.
3. Dadas las fracciones irreductibles:
1
a
f
m

2
b
f
n

3
cf
p

Se cumple que:
 1 2 3
MCD(a;b;c)MCD(f ;f ;f )
MCM(m;n;p)
 ,
 1 2 3
MCM(a;b;c)MCM(f ;f ;f )
MCD(m;n;p)

B. Fracción continua simple
Son desarrollos del forma:
 



0
1
2
3
1f a
1a
1a
a ....
   0 ia ; a (i 1)
73UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 24
NÚMEROS RACIONALES I
Exigimos más!
Problema 1
Indique la secuencia correcta después
de determinar si la proposición es ver-
dadera (V) o falsa (F):
I. La suma de un número natural y un
número entero es un número natural.
II. Sean a y b dos números enteros,
entonces existe un número c en-
tero tal que a = bc.
III. La cantidad de elementos del con-
junto de los números enteros posi-
tivos múltiplos de siete, es igual a
la cantidad de elementos del con-
junto de los números naturales.
UNI 2010 - I
Nivel fácil
A) VVV
B) VFF
C) FVV
D) FFV
E) FFF
Resolución:
Ubicación de incógnita
Determinar el valor de verdad de las pro-
posiciones.
Análisis de los datos o gráficos
I. Demostración por contradicción:
(2) ( 5) ( 3)
natural entero no esnatural ... Falso
   
  
II. Demostración por contradicción:
a = 5 y b = 2, entonces 2 = 5.c
luego c no es entero ... Falso
III. Por la teoría de los números trans-
finitos de Cantor: ... Falso
Respuesta: E) FFF
Problema 2
Juan y Pedro pueden pintar un auditorio
en 5 días, Juan y Carlos lo pueden hacer
en 6 días y Pedro con Carlos lo pueden
hacer en 5 días. ¿En cuántos días puede
Pedro pintar el auditorio?
UNI 2009 - II
Nivel fácil
A) 48
7
B) 29
7
C) 39
7
D) 49
7
E) 59
7
Resolución:
Ubicación de incógnita
Se pide hallar cuanto tarda Pedro en
hacer el trabajo solo.
Análisis de los datos o gráficos
Hallar el trabajo diario de cada uno.
Operación del problema
En un día los 3 hacen:
1 1 1 172
5 6 5 60
    de obra
Entonces Pedro en un día hace:
17 1 7
60 6 60
  
 Pedro lo hace en 
60
7 días, esto
equivale a 48
7
Respuesta: A) 48
7
Problema 3
Clasifique como verdadero (V) o falso (F)
cada una de las siguientes afirmaciones:
Notación lineal:    0 1 2 3f a ,a ,a ,a
Ejemplo: Expresar como fracción continua simple:
a) 20
13
Por el algoritmo de Euclides
Coeficientes
1
13
7
4
7
6
1
6
1
6
1
0
20
20 11 1,1,1, 6
13 11
11
6
      


b) 30
11
 30 3,3,1, 2
11
    
problemas resueltos
74UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
NÚMEROS RACIONALES I
TEMA 24
Exigimos más!
1. a, b números enteros, a
b
 es un
número racional.
2. a, b números enteros, 
2
a b
1 a


 es
un número racional.
3. Si k y k2 es par, entonces k es
par.
UNI 2009 - I
Nivel fácil
A) FVV
B) FFV
C) VFV
D) VFF
E) FFF
Resolución:
Ubicación de incógnita
Piden: Indicar el valor de verdad de cada
proposición.
Operación del problema
a) Aplicación de teorema
Recordar:
 Número A A Z B Z 0
racional B
       
 
b) Solución del problema
• Es falso, cuando b = 0.
• Es verdadero, porque en 2
a b
1 a


;
2(1 a 0) 
• Es verdadero; 
o
o
2
K 2
K .2 K Z

  
Respuesta: A) FVV