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UNIDAD Nº5 CORRIENTE - RESISTENCIA - FUERZA ELECTROMOTRIZ Corriente eléctrica. Resistividad y resistencia. Fuerza electromotriz y circuitos. Energía y potencial en circuitos eléctricos. FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Corriente y movimiento de cargas En un conductor aislado los electrones tiene un movimiento aleatorio Fig a. El flujo de carga neto a través de un plano arbitrario es cero. Si le conectamos una batería e conectada en paralelo al conductor crea un campo eléctrico E y los electrones adquieren un movimiento neto a causa del campo. Si a través de cualquier superficie pasa una carga neta dq en un intervalo de tiempo dt, decimos que se ha establecido una corriente eléctrica i, en donde ! = #$#% Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Corriente y movimiento de cargas ! = #$#% La unidad de corriente en el SI es el ampere, A 1 Ampere = 1 Coulomb/segundo $ = & !. #% Si la corriente es constante en el tiempo,entonces las cargas q que fluyen en el tiempo t, determinan la corriente i. ! = $% Por ahora trataremos sólo con corriente i constantes UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Corriente y movimiento de cargas La corriente i es igual en toda la sección del conductor, aunque el área de la sección transversal pueda ser diferente en diferentes puntos. Lo mismo que en hidráulica, si fuera agua, la cantidad de agua que pasa es la misma pero en secciones más pequeñas, la velocidad del flujo será mayor, el caudal al igual que la corriente, permanecen invariables. Si la corriente es constante en el tiempo, entonce las carga q que fluye en el tiempo t, determina la corriente i E UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Corriente y movimiento de cargas La existencia de un campo eléctrico dentro de un conductor no contradice lo antes dicho de que dentro de un conductor el campo E=0. En la situación en que E=0, el conductor estaba aislado y no estaba sujeto a una diferencia de potencial. En este nuevo caso, se elimina esa restricción. Las cargas (electrones ) están en movimiento. El campo eléctrico ejerce una fuerza F= –e E, pero esta fuerza no produce una aceleración neta debida a que los electrones están chocando con los átomos. E Los electrones adquieren una rapidez de arrastre constante en la dirección del campo E. Dx = vd Dt Dx vd Velocidad de arrastre= velocidad promedio de las cargas en la dirección del campo E DQ = q nV = q n ADx = qnAvdDt Número de electrones portadores de carga por unidad de volumen Volumen ! = ∆$∆% = &. (. ). vd UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Corriente y movimiento de cargas La corriente eléctrica es un escalar La dirección de la corriente es la dirección en que se moverían las cargas positivas, aun cuando los mismos portadores sean negativos. i2i1 i2i1 i3i3 i1 = i2 + i3 UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Corriente y movimiento de cargas La corriente i es una cantidad macroscópica característica de un conductor particular. La densidad de corriente j es una cantidad microscópica relacionada con i . La densidad de corriente es un vector y caracteriza un punto interno del conductor y no de todo el conductor. La magnitud de la densidad de corriente es: ! = #/% El vector j está orientado en la dirección que se mueve el transportador de carga positiva. El electrón se mueve en el sentido de – j , es decir que j apunta hacia la izquierda (en la figura los electrones se mueven hacia la derecha) coincidiendo en dirección y sentido con E. UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Corriente y movimiento de cargas La relación entre j e i en una superficie particular que no necesita ser plana, i es el flujo del vector j a través de la superficie ! = # $ &⃗. () ! = ∆+∆, = -. .. /. vd &⃗ = -. .. 01 ! = # $ &⃗. () = &⃗. ) = 2 / cos 6 UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Ejemplo de Velocidad de desplazamiento Los conductores usualmente utilizados en las experiencias de laboratorio son típicamente de cobre y tiene un radio típico de 0.815 mm. (a) Estimar la carga total de electrones libres en cada metro cuando circula una corriente de 1 A. Asumir que hay un electrón de conducción por átomo. (b) Calcular la velocidad de arrastre de los electrones. i = neqevd A = -naevd A UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Resistencia, resistividad y conductividad Si se aplica una diferencia de potencial entre los extremos de una barra de cobre y otra de madera de iguales características geométricas, se producirán corrientes de magnitudes diferentes. La característica del conductor que interviene en estos fenómenos es la resistencia. ! = #$ ; ! = &ℎ() (Ω)= #,-. /01232 La resistividad es una cantidad asociada con la resistencia, que es característica de cada material y no de un espécimen particular del material. 4 = 56 La conductividad 7 es la inversa de la resistividad 4 = Ω .( 9 = (Ω .();< La resistividad se define de la siguiente forma La resistencia de un conductor entre dos puntos, se define aplicando una diferencia de potencial V entre esos dos puntos, midiendo la corriente i que se genera y dividiendo ambas cantidades escalares: 9 = 14 UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Resistencia, resistividad y conductividad UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Resistencia, resistividad y conductividad Consideremos un conductor cilíndrico de longitud l, cuya sección transversal es A. Transporta una corriente i estacionaria, debido a la diferencia de potencial establecida en sus extremos. Si las secciones trasnversales son superficies equipotenciales el campo eléctrico E y la densidad de corriente j serán constantes en todos los puntos del cilindro ! = #$ # = !. $ & = '( i = &. ( Por definición ) = !+⃗) = ! & = # $ ' ( = #. ('. $ = ,. ( $ - = +⃗! = 1 ) , = ) $( , = /0 ∗ ) = ! +⃗ ∗∗ Característico del material y de la geometría del resistor UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Resistencia, resistividad y conductividad Las cantidades V, i y R son cantidades macroscópicas y se refieren a un cuerpo en particular o región extensa y están relacionados por ∗ Las cantidades ",$⃗ y % son microscópicas y están asociadas a un punto definido de un cuerpo ∗∗ % = "$⃗ ∗∗' = ∆) * ∗ ' = % +, Las cantidades macroscópicas se pueden obtener integrando las microscópicas - = . / 0⃗. 23 = 0⃗. 3 = 4 , cos 8 La resistencia de un conductor entre a y b se puede expresar en términos microscópicos ' = ∆9:;- = =−∫= > ?. 2@ ∫/ 0⃗. 23 = ". +4 . , ∆9:; =-∫= > ?. 2@ ∗ Se leen en los medidores UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 LEY DE OHM Si se aplican diferencias de potencial variables en los extremos de un conductor se genera una corriente que si se mide y se grafica en función de ∆V se encuentra que para diferentes potenciales, resulta en una línea recta lo que significa que la resistencia del conductor es independiente del voltaje aplicado para medirla. Este importante resultado que se obtiene para conductores metálicos se denomina la LEY DE OHM. En este tipo de conductores metálicos, cuando invertimos la polaridad se invierte el sentido de la corriente pero no su magnitud Existen otro tipo de conductores que no cumplen con la ley de Ohm UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 LEY DE OHM. Visión microscópica La rapidez de arrastre puede calcularse en términos del campo aplicado E, de la velocidad promedio, "⃗, $ del camino libre medio, %. Cuando se aplica el campo a un electrón en un metal, experimentará una fuerza, F = - e E, que le comunicará una aceleración a dada por la segunda ley de Newton a = (.)* Cuandoun electrón sufre una colisión, se destruirá momentáneamente la tendencia de arrastre y el electrón seguirá una dirección aleatoria después de la colisión Durante el intervalo de tiempo que transcurre hasta otra colisión, la rapidez del electrón habrá cambiado en promedio en: vd= +, - . / 01 23120 4= . / tiempo medio entre colisiones UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 LEY DE OHM. Visión microscópica vd= "# $ % & '( )*()' += % & tiempo medio entre colisiones ,) = "#$. + = ../ #0. + ,) = 2⃗3 . 1 2 4 = 5⃗.6.(7#+ Considerando que E = rJ 8 = 26(7#+ Si t no depende del campo E (ni de TºC) , entonces el material obedece a la ley de ohm ya que r es constante ! UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Ejemplo: El campo eléctrico en un cable Por un conductor de aluminio 2.0 mm diámetro circula una corriente de 800 mA. ¿Cúal es la magnitud del campo eléctrico dentro del conductor? La conductividad del aluminio es ! = 3,5 & 10) (Ω.-)/0 Ejemplo: Resistencia de un hilo metálico Suponga que se estira cierta longitud un hilo de metal, su resistencia aumenta, disminuye o no cambia con respecto al valor original? 1 = 2 34 = 1 ! 3 4 1 = 2 3 4 = 1 ! (3 + ∆3) 4 UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Ejemplo: La corriente en un conductor ¿Qué corriente circulará por un conductor de cobre de 1 mm de diámetro y 10 cm de longitud cuando se lo conecta a una pila de 1.5 Volt? R = rL / A = rL /(pr2 ) = (1.7´10-8 Wm)(0.10 m) /p (0.0005 m)2 = 2.2´10-3 W I = DV / R = (1.5 V) /(2.2´10-3 W) = 680 A Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 1) Batería = Fuente de diferencia de potencial 3) La diferencia de potencial crea un campo eléctrico dentro del conductor 4) El campo eléctrico genera una corriente I=DV/R 2) El cable es conductor. Las cargas se desplazan = corriente eléctrica Conductor de sección A y longitud L R º rL A I = DV ; DV = IR R Ley de Ohm UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Transferencia de energía en un circuito eléctrico La figura muestra un circuito compuesto por una batería B conectada a una “caja negra”. En los alambres de conexión existe una corriente estacionaria i, y la diferencia de potencial Vab entre los terminales a y b permanece constante. La terminal a está conectada al lado positivo de la batería y el b al negativo. A través de la caja se mueve una carga dq desde a hasta b. Esta carga disminuirá la energía potencial eléctrica dq Vab. El principio de conservación de la energía establece que en la caja esta energía se transforma de energía potencial eléctrica a alguna otra forma de energía. En el tiempo dt, la energía dU transferida al interior de la caja es: !" = !$ . &'( = ) !* &'( El ritmo con que se transfiere energía es la potencia P, y se obtiene dividiendo la energía entre el tiempo + = !"!* = ) &'( + = !" !* = ) 2 - + = ./.0 = 1234 5 + = &67* 89:;<; = ='**> La ley de Joule UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 FUERZA ELECTROMOTRIZ. CIRCUITOS. Existen dispositivos, tales como baterías y los generadores eléctricos, que son capaces de mantener una diferencia de potencial entre dos puntos a los cuales estén unidos. Tales dispositivo se conocen como fuentes de fuerza electromotriz cuya abreviatura es fem y su símbolo es !. e W Para que las cargas se muevan dentro de un circuito eléctrico se necesita un dispositivo para provocar una diferencia de potencial entre dos puntos del mismo. UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 http://www.gotallsports.com/productimages/8942_1_pump2.jpg Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 FUERZA ELECTROMOTRIZ. CIRCUITOS. La fuente debe realizar trabajo (dW) sobre los portadores de carga para forzalos a ir hacia el punto de mayor potencial. La fem de la fuente se define como el trabajo por unidad de carga ! ! = #$#% Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 FUERZA ELECTROMOTRIZ. CIRCUITOS. Supongamos dos baterias recargables A y B, una resistencia R y un motor eléctrico M que se emplea para subir la masa m usando la energía que obtiene de los portadores de carga que fluyen por el circuito La corriente i circula en sentido opuesto, la cual queda determinado por B que proporciona una diferencia de potencial mayor 1) La energía química de B disminuye de manera continua y aparece en tres formas: a) trabajo hecho por el motor, b) energía producida en la resistencia y c) energía química almacenada en A. 2) La batería A se está “cargando” a medida que la batería B se descarga. Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Cálculo de la corriente. En un tiempo dt se suministra una cantidad de energía !" # $% que aparecerá como energía interna Joule en la resistencia. Durante ese mismo tiempo se ha movido una carga dq = i dt a través de la fuente de fem y habrá realizado un trabajo sobre la carga dado por $& = ( . $* = ( ! $% Del principio de conservación de la energía, el trabajo realizado por la fuente debe ser igual a la energía térmica: $& = ( . $* = ( ! $% ( ! $% = !" # $% Calculando i, se obtiene: ! = +( # Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Cálculo de la corriente. Reglas de Kirchhoff 1era Regla Regla de los Nodos Regla de los nodos: En cualquier nodo la suma de las corrientes es igual a cero: ! "#$# % = 0 La suma de las corrientes que ingresan a un nodo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen del mismo nodo CONSERVACIÓN DE LA CARGA NODO Es un punto del circuito a donde se reúnen los conductores que llegan a ese nodo y los que salen Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Cálculo de la corriente. Reglas de Kirchhoff 2da Regla Regla de las Mallas Regla de las mallas o circuitos cerrados: La suma algebraica de los cambios en el potencial encontrados en un recorrido completo de un circuito cerrado, debe ser cero. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA ! "#$$# %&''#(# ∆* = 0 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Sentido de recorrido !∆# = % + 0 + −)* + 0 = 0 % = ) * % − ) * = 0 ) = %* !∆# = % + 0 + −)* + 0 = 0 Sentido de recorrido horario c d b DVba =Vb -Va =e DVcb =Vc -Vb = 0 DVdc =Vd -Vc = -iR DVad =Va -Vd = 0 UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 !∆# = 0 + ' ( + 0 + (−+) = 0 + = ' ( ' ( − + = 0 ' = +( !∆# = 0 + '( + 0 + −+ = 0 Sentido de recorrido antihorario Sentido de recorrido c b d DVda =Vd -Va =0 DVcd =Vc -Vd = i R DVbc =Vb -Vc = 0 DVab =Va -Vb = −+ UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Resistencias colocadas en serie Aplicación de las leyes de Kirchhoff Regla de los nodos: cuando aplicamos una diferencia de potencial a un conjunto de resistencias vinculdas en serie, por cada una de ellas circula la misma corriente ! = !1 = !2 = !3 Regla de las mallas: la suma de las diferencia de potencial en cada resistencia es igual a la diferencia de potencial aplicada ∆' = ∆ '(1 + ∆'(2 + ∆'(3 * − ! (1 − ! (2 − ! (3 = 0 ; * = ! ((1 + (2 + (3) ! = 0(12314315) ≡ ! = 0 1789:; Circuito a) Circuito b) La Requiv es la suma algebráica de las resistencias individuales conectadas en serie UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Resistencias colocadas en paralelo Aplicación de las leyes de Kirchhoff Regla de los nodos: cuando aplicamos una diferencia de potencial a un conjunto de resistencias vinculdas en paralelo, por cada una de ellas circulan corrientes Regla de las mallas: Circuito a) Circuito b) Las tres resistencias de la figura se hallan conectadas a la misma diferencia de potencial ∆" = ∆"1 = ∆"2 = ∆"3 '1 = ∆()* '2 = ∆( )+ i3 = ∆( ), ' = '1 + '2 + '3 = ∆()* + ∆( )+ + ∆(), = ∆" * )* + *)+ + * ), ∆V - iReq = 0 ' = ∆"./0 * ) 12 = *)* + * )+ + *), = ∑45* 6 ( *)8) UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Circuito RC Al introducir los capacitores al circuito, permite establecer el concepto de que las corrientes varíancon el tiempo. Si el interruptor S se mueve al punto a ¿Cuál será la corriente que se establece en el circuito de una sola malla así formado? Para contestar esto usaremos el principio de conservación de la energía A través de cualquier sección transversal del circuito pasa una carga dq = i dt en un intervalo de tiempo dt. El trabajo realizado por la fuente es !" = $. !&. Ese trabajo debe ser igual a la energía térmica que aparece en la resistencia durante el tiempo dt (dU='()!*)más el aumento de energía potencial U , - !. = ! (0 1 (2) que se alamacena en el capacitor $ !& = '()!* + ! (0 1 (2) O bien $ !& = '()!* + ( 0 2) !& Dividiendo ambos miembros por dt se obtiene: $ !&/!* = '() + (02) !&/!* !&!* = ' $' = '() + 02 ' $ = ' ) + 02 x UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Circuito RC Esta ecuación también se puede obtener por medio del teorema de las mallas, ya que este se desprende del principio de conservación de la energía. Partiendo de un punto x y recorriendo el circuito en sentido horario, se experimenta un aumento de potencial al pasar por la fuente y una disminución al pasar por la resistencia y el capacitor ! = # $ + %& x ! − # $ − () = 0 ! = # $ + ( ) # = ,(/,. Sustituyo esta última en la ecuación anterior ! = ,(,. $ + ( ) Ahora el problema resulta encontrar a q(t) que satisfaga la ecuación diferencial /% /0 = 1 2 (! − % &) La solución es: ( = ) ! (1-450/2&) Si derivamos esta expresión y reemplazamos ambas en la ecuación diferencial , llegamos a una identidad , lo que permite encontrar que es la solución a la ecuación diferencial. 1 1 UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Circuito RC ! = # $ + %& x ! = '(') $ + ( + ,% ,- = . / (! − % &) La solución es: ( = + ! (1-23-//&) Si t = 0 ; ( = 0. reemplazo en la ecuación 1 ! = # $ 1 # = !$ Si ) → ∞; ( → + !. reemplazo en la ecuación 1 ! = # $ + + !+ # = 0 La Corriente inicialmente es # = :/ y por último se hace cero. A su vez la carga en el capacitor es inicialmente cero y llega a ser + !, la carga de equilibrio. A ( = + ! se la denomina carga de equilibrio UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/22 Circuito RC x La cantidad RC tiene dimensiones de tiempo ya que el exponente debe ser adimensional y se llama constante de tiempo capacitiva del circuito. ! = # $ (1-%&'/)*) RC es el tiempo en el cual la carga del capacitor ha aumentado un factor (1 − %&/) ≅ 63% de su valor de equilibrio UNIDAD Nº5 FÍSICA III - 2022
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