Ejercicios sobre Distribuciones de probabilidad binomial y normal

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Ejercicio sobre Distribuciones de probabilidad binomial y normal.
Ejercicio 1:
Supongamos que la probabilidad de que un estudiante apruebe un examen es del 80%. Si
seleccionamos aleatoriamente a 5 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que
exactamente 3 aprueben el examen?
Solución:
Utilizando la distribución binomial, podemos calcularlo de la siguiente manera:
P(X = 3) = C(5, 3) * (0.8)^3 * (0.2)^2
P(X = 3) = 10 * 0.512 * 0.04
P(X = 3) = 0.2048
Por lo tanto, la probabilidad de que exactamente 3 estudiantes aprueben el examen es de
0.2048.
Ejercicio 2:
Supongamos que la altura de una población sigue una distribución normal con una media
de 170 cm y una desviación estándar de 5 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que una
persona seleccionada al azar tenga una altura mayor a 180 cm?
Solución:
Podemos utilizar la tabla de la distribución normal estándar o la función de densidad
acumulativa para calcularlo. Usando la tabla, encontramos que el área a la derecha de 180
cm es de aproximadamente 0.0228.
Por lo tanto, la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga una altura
mayor a 180 cm es de aproximadamente 0.0228.
Ejercicio 3:
Supongamos que la probabilidad de que un artículo sea defectuoso es del 5%. Si
seleccionamos aleatoriamente 10 artículos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2
sean defectuosos?
Solución:
Podemos calcularlo restando la probabilidad de que ninguno o solo uno sea defectuoso de
1:
P(X ≥ 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)
P(X ≥ 2) = 1 - C(10, 0) * (0.05)^0 * (0.95)^10 - C(10, 1) * (0.05)^1 * (0.95)^9
P(X ≥ 2) = 1 - 0.95^10 - 10 * 0.05 * 0.95^9
P(X ≥ 2) ≈ 0.999
Por lo tanto, la probabilidad de que al menos 2 artículos sean defectuosos es
aproximadamente 0.999.
Ejercicio 4:
Supongamos que la duración de las llamadas telefónicas sigue una distribución normal
con una media de 4 minutos y una desviación estándar de 1 minuto. ¿Cuál es la
probabilidad de que una llamada dure entre 3 y 5 minutos?
Solución:
Podemos utilizar la función de densidad acumulativa para calcularlo:
P(3 ≤ X ≤ 5) = P(X ≤ 5) - P(X ≤ 3)
P(3 ≤ X ≤ 5) = Φ(5) - Φ(3)
P(3 ≤ X ≤ 5) ≈ 0.8413 - 0.1587
P(3 ≤ X ≤ 5) ≈ 0.6826
Por lo tanto, la probabilidad de que una llamada dure entre 3 y 5 minutos es de
aproximadamente 0.6826.
Ejercicio 5:
Supongamos que la probabilidad de que un jugador anote un gol en un partido de fútbol
es del 30%. Si el jugador intenta anotar 10 goles, ¿cuál es la probabilidad de que anote al
menos 3 goles?
Solución:
Podemos calcularlo restando la probabilidad de que anote 0, 1 o 2 goles de 1:
P(X ≥ 3) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2)
P(X ≥ 3) = 1 - C(10, 0) * (0.3)^0 * (0.7)^10 - C(10, 1) * (0.3)^1 * (0.7)^9 - C(10, 2) *
(0.3)^2 * (0.7)^8
P(X ≥ 3) ≈ 0.998
Por lo tanto, la probabilidad de que el jugador anote al menos 3 goles es
aproximadamente 0.998.
Ejercicio 6:
Supongamos que la cantidad de tiempo que una persona pasa en el gimnasio sigue una
distribución normal con una media de 60 minutos y una desviación estándar de 10
minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona pase menos de 45 minutos en el
gimnasio?
Solución:
Podemos utilizar la función de densidad acumulativa para calcularlo:
P(X < 45) = Φ(45)
P(X < 45) ≈ 0.1587
Por lo tanto, la probabilidad de que una persona pase menos de 45 minutos en el
gimnasio es de aproximadamente 0.1587.
Ejercicio 7:
Supongamos que la probabilidad de que un estudiante pase un examen es del 70%. Si
seleccionamos aleatoriamente a 8 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 5
pasen el examen?
Solución:
Podemos calcularlo restando la probabilidad de que 0, 1, 2, 3 o 4 estudiantes pasen el
examen de 1:
P(X ≥ 5) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2) - P(X = 3) - P(X = 4)
P(X ≥ 5) = 1 - C(8, 0) * (0.7)^0 * (0.3)^8 - C(8, 1) * (0.7)^1 * (0.3)^7 - C(8, 2) * (0.7)^2
* (0.3)^6 - C(8, 3) * (0.7)^3 * (0.3)^5 - C(8, 4) * (0.7)^4 * (0.3)^4
P(X ≥ 5) ≈ 0.966
Por lo tanto, la probabilidad de que al menos 5 estudiantes pasen el examen es
aproximadamente 0.966.
Ejercicio 8:
Supongamos que la cantidad de tiempo que una persona tarda en completar un
rompecabezas sigue una distribución normal con una media de 20 minutos y una
desviación estándar de 2 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tarde más
de 25 minutos en completar el rompecabezas?
Solución:
Podemos utilizar la función de densidad acumulativa para calcularlo:
P(X > 25) = 1 - P(X ≤ 25)
P(X > 25) = 1 - Φ(25)
P(X > 25) ≈ 1 - 0.9938
P(X > 25) ≈ 0.0062
Por lo tanto, la probabilidad de que una persona tarde más de 25 minutos en completar el
rompecabezas es de aproximadamente 0.0062.
Ejercicio 9:
Supongamos que la probabilidad de que un cliente realice una compra en una tienda en
línea es del 10%. Si 100 clientes visitan la tienda, ¿cuál es la probabilidad de que al
menos 15 realicen una compra?
Solución:
Podemos calcularlo restando la probabilidad de que 0, 1, 2, ..., 14 clientes realicen una
compra de 1:
P(X ≥ 15) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2) - ... - P(X = 14)
P(X ≥ 15) = 1 - C(100, 0) * (0.1)^0 * (0.9)^100 - C(100, 1) * (0.1)^1 * (0.9)^99 - C(100,
2) * (0.1)^2 * (0.9)^98 - ... - C(100, 14) * (0.1)^14 * (0.9)^86
P(X ≥ 15) ≈ 0.999
Por lo tanto, la probabilidad de que al menos 15 clientes realicen una compra es
aproximadamente 0.999.
Ejercicio 10:
Supongamos que la cantidad de tiempo que una persona tarda en completar un
crucigrama sigue una distribución normal con una media de 10 minutos y una desviación
estándar de 3 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tarde menos de 8
minutos en completar el crucigrama?
Solución:
Podemos utilizar la función de densidad acumulativa para calcularlo:
P(X < 8) = Φ(8)
P(X < 8) ≈ 0.2525
Por lo tanto, la probabilidad de que una persona tarde menos de 8 minutos en completar
el crucigrama es de aproximadamente 0.2525.
Ejercicio 11:
Supongamos que la probabilidad de que un estudiante apruebe un examen es del 80%. Si
seleccionamos aleatoriamente a 5 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que
exactamente 3 aprueben el examen?
Solución:
Utilizando la distribución binomial, podemos calcularlo de la siguiente manera:
P(X = 3) = C(5, 3) * (0.8)^3 * (0.2)^2
P(X = 3) = 10 * 0.512 * 0.04
P(X = 3) = 0.2048
Por lo tanto, la probabilidad de que exactamente 3 estudiantes aprueben el examen es de
0.2048.
Ejercicio 12:
Supongamos que la altura de una población sigue una distribución normal con una media
de 170 cm y una desviación estándar de 5 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que una
persona seleccionada al azar tenga una altura mayor a 180 cm?
Solución:
Podemos utilizar la tabla de la distribución normal estándar o la función de densidad
acumulativa para calcularlo. Usando la tabla, encontramos que el área a la derecha de 180
cm es de aproximadamente 0.0228.
Por lo tanto, la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga una altura
mayor a 180 cm es de aproximadamente 0.0228.
Ejercicio 13:
Supongamos que la probabilidad de que un artículo sea defectuoso es del 5%. Si
seleccionamos aleatoriamente 10 artículos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2
sean defectuosos?
Solución:
Podemos calcularlo restando la probabilidad de que ninguno o solo uno sea defectuoso de
1:
P(X ≥ 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)
P(X ≥ 2) = 1 - C(10, 0) * (0.05)^0 * (0.95)^10 - C(10, 1) * (0.05)^1 * (0.95)^9
P(X ≥ 2) ≈ 0.999
Por lo tanto, la probabilidad de que al menos 2 artículos sean defectuosos es
aproximadamente 0.999.
Ejercicio 14:
Supongamos que la duración de las llamadas telefónicas sigue una distribución normal
con una media de 4 minutos y una desviación estándar de 1 minuto. ¿Cuál es la
probabilidad de que una llamada dure entre 3 y 5 minutos?
Solución:
Podemos utilizar la función de densidad acumulativa para calcularlo:P(3 ≤ X ≤ 5) = P(X ≤ 5) - P(X ≤ 3)
P(3 ≤ X ≤ 5) = Φ(5) - Φ(3)
P(3 ≤ X ≤ 5) ≈ 0.8413 - 0.1587
P(3 ≤ X ≤ 5) ≈ 0.6826
Por lo tanto, la probabilidad de que una llamada dure entre 3 y 5 minutos es de
aproximadamente 0.6826.
Ejercicio 15:
Supongamos que la probabilidad de que un jugador anote un gol en un partido de fútbol
es del 30%. Si el jugador intenta anotar 10 goles, ¿cuál es la probabilidad de que anote al
menos 3 goles?
Solución:
Podemos calcularlo restando la probabilidad de que anote 0, 1 o 2 goles de 1:
P(X ≥ 3) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2)
P(X ≥ 3) = 1 - C(10, 0) * (0.3)^0 * (0.7)^10 - C(10, 1) * (0.3)^1 * (0.7)^9 - C(10, 2) *
(0.3)^2 * (0.7)^8
P(X ≥ 3) ≈ 0.998
Por lo tanto, la probabilidad de que el jugador anote al menos 3 goles es
aproximadamente 0.998.
Ejercicio 16:
Supongamos que la cantidad de tiempo que una persona pasa en el gimnasio sigue una
distribución normal con una media de 60 minutos y una desviación estándar de 10
minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona pase menos de 45 minutos en el
gimnasio?
Solución:
Podemos utilizar la función de densidad acumulativa para calcularlo:
P(X < 45) = Φ(45)
P(X < 45) ≈ 0.1587
Por lo tanto, la probabilidad de que una persona pase menos de 45 minutos en el
gimnasio es de aproximadamente 0.1587.
Ejercicio 17:
Supongamos que la probabilidad de que un estudiante pase un examen es del 70%. Si
seleccionamos aleatoriamente a 8 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 5
pasen el examen?
Solución:
Podemos calcularlo restando la probabilidad de que 0, 1, 2, 3 o 4 estudiantes pasen el
examen de 1:
P(X ≥ 5) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2) - P(X = 3) - P(X = 4)
P(X ≥ 5) = 1 - C(8, 0) * (0.7)^0 * (0.3)^8 - C(8, 1) * (0.7)^1 * (0.3)^7 - C(8, 2) * (0.7)^2
* (0.3)^6 - C(8, 3) * (0.7)^3 * (0.3)^5 - C(8, 4) * (0.7)^4 * (0.3)^4
P(X ≥ 5) ≈ 0.966
Por lo tanto, la probabilidad de que al menos 5 estudiantes pasen el examen es
aproximadamente 0.966.
Ejercicio 18:
Supongamos que la cantidad de tiempo que una persona tarda en completar un
rompecabezas sigue una distribución normal con una media de 20 minutos y una
desviación estándar de 2 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tarde más
de 25 minutos en completar el rompecabezas?
Solución:
Podemos utilizar la función de densidad acumulativa para calcularlo:
P(X > 25) = 1 - P(X ≤ 25)
P(X > 25) = 1 - Φ(25)
P(X > 25) ≈ 1 - 0.9938
P(X > 25) ≈ 0.0062
Por lo tanto, la probabilidad de que una persona tarde más de 25 minutos en completar el
rompecabezas es de aproximadamente 0.0062.
Ejercicio 19:
Supongamos que la cantidad de tiempo que una persona tarda en completar un
crucigrama sigue una distribución normal con una media de 10 minutos y una desviación
estándar de 3 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tarde menos de 8
minutos en completar el crucigrama?
Solución:
Podemos utilizar la función de densidad acumulativa para calcularlo:
P(X < 8) = Φ(8)
P(X < 8) ≈ 0.2525
Por lo tanto, la probabilidad de que una persona tarde menos de 8 minutos en completar
el crucigrama es de aproximadamente 0.2525.
Ejercicio 20:
En una fábrica de juguetes, el 10% de los productos fabricados son defectuosos. Si se
seleccionan aleatoriamente 8 juguetes, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 2 sean
defectuosos?
Solución:
Utilizando la distribución binomial, podemos calcularlo de la siguiente manera:
P(X = 2) = C(8, 2) * (0.1)^2 * (0.9)^6 ≈ 0.301
Por lo tanto, la probabilidad de que exactamente 2 juguetes sean defectuosos es
aproximadamente 0.301.
Ejercicio 21:
La altura de una población sigue una distribución normal con una media de 160 cm y una
desviación estándar de 10 cm. Si se selecciona aleatoriamente a una persona de esta
población, ¿cuál es la probabilidad de que su altura sea mayor a 170 cm?
Solución:
Podemos utilizar la función de densidad acumulativa para calcularlo:
P(X > 170) = 1 - P(X ≤ 170)
P(X > 170) = 1 - Φ((170-160)/10)
P(X > 170) = 1 - Φ(1)
P(X > 170) ≈ 1 - 0.8413
P(X > 170) ≈ 0.1587
Por lo tanto, la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga una altura
mayor a 170 cm es aproximadamente 0.1587.
Ejercicio 22:
En una tienda en línea, el 20% de los clientes realiza una compra. Si 50 clientes visitan la
tienda, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 10 realicen una compra?
Solución:
Podemos calcularlo restando la probabilidad de que 0, 1, 2, ..., 9 clientes realicen una
compra de 1:
P(X ≥ 10) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2) - ... - P(X = 9)
P(X ≥ 10) = 1 - C(50, 0) * (0.2)^0 * (0.8)^50 - C(50, 1) * (0.2)^1 * (0.8)^49 - C(50, 2) *
(0.2)^2 * (0.8)^48 - ... - C(50, 9) * (0.2)^9 * (0.8)^41
P(X ≥ 10) ≈ 0.999
Por lo tanto, la probabilidad de que al menos 10 clientes realicen una compra es
aproximadamente 0.999.
Ejercicio 23:
La duración de las baterías de un dispositivo electrónico sigue una distribución normal
con una media de 50 horas y una desviación estándar de 5 horas. ¿Cuál es la probabilidad
de que una batería dure entre 45 y 55 horas?
Solución:
Podemos utilizar la función de densidad acumulativa para calcularlo:
P(45 ≤ X ≤ 55) = P(X ≤ 55) - P(X ≤ 45)
P(45 ≤ X ≤ 55) = Φ((55-50)/5) - Φ((45-50)/5)
P(45 ≤ X ≤ 55) = Φ(1) - Φ(-1)
P(45 ≤ X ≤ 55) ≈ 0.8413 - 0.1587
P(45 ≤ X ≤ 55) ≈ 0.6826
Por lo tanto, la probabilidad de que una batería dure entre 45 y 55 horas es
aproximadamente 0.6826.
Ejercicio 24:
En una competencia de lanzamiento de monedas, la probabilidad de obtener cara es del
50%. Si se lanzan 10 monedas, ¿cuál es la probabilidad de obtener al menos 7 caras?
Solución:
Podemos calcularlo restando la probabilidad de obtener 0, 1, 2, ..., 6 caras de 1:
P(X ≥ 7) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2) - ... - P(X = 6)
P(X ≥ 7) = 1 - C(10, 0) * (0.5)^0 * (0.5)^10 - C(10, 1) * (0.5)^1 * (0.5)^9 - C(10, 2) *
(0.5)^2 * (0.5)^8 - ... - C(10, 6) * (0.5)^6 * (0.5)^4
P(X ≥ 7) ≈ 0.1719
Por lo tanto, la probabilidad de obtener al menos 7 caras al lanzar 10 monedas es
aproximadamente 0.1719.
Ejercicio 25:
En una fábrica de automóviles, el 5% de los vehículos producidos presenta un defecto. Si
se seleccionan aleatoriamente 200 vehículos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente
10 presenten un defecto?
Solución:
Utilizando la distribución binomial, podemos calcularlo de la siguiente manera:
P(X = 10) = C(200, 10) * (0.05)^10 * (0.95)^190 ≈ 0.138
Por lo tanto, la probabilidad de que exactamente 10 vehículos presenten un defecto es
aproximadamente 0.138.
Ejercicio 26:
La altura de una población sigue una distribución normal con una media de 170 cm y una
desviación estándar de 8 cm. Si se selecciona aleatoriamente a una persona de esta
población, ¿cuál es la probabilidad de que su altura esté entre 160 y 180 cm?
Solución:
Podemos utilizar la función de densidad acumulativa para calcularlo:
P(160 ≤ X ≤ 180) = P(X ≤ 180) - P(X ≤ 160)
P(160 ≤ X ≤ 180) = Φ((180-170)/8) - Φ((160-170)/8)
P(160 ≤ X ≤ 180) = Φ(1.25) - Φ(-1.25)
P(160 ≤ X ≤ 180) ≈ 0.8944 - 0.1056
P(160 ≤ X ≤ 180) ≈ 0.7888
Por lo tanto, la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga una altura
entre 160 y 180 cm es aproximadamente 0.7888.
Ejercicio 27:
En una tienda de ropa, el 30% de los clientes realiza una compra. Si 50 clientes visitan la
tienda, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 20 realicen una compra?
Solución:
Podemos calcularlo restando la probabilidad de que 0, 1, 2, ..., 19 clientes realicen una
compra de 1:
P(X ≥ 20) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2) - ... - P(X = 19)
P(X ≥ 20) = 1 - C(50, 0) * (0.3)^0 * (0.7)^50 - C(50, 1) * (0.3)^1 * (0.7)^49 - C(50, 2) *
(0.3)^2 * (0.7)^48 - ... - C(50, 19) * (0.3)^19 * (0.7)^31
P(X ≥ 20) ≈ 0.999
Por lo tanto, la probabilidad de que al menos 20 clientes realicen una compra es
aproximadamente 0.999.
Ejercicio 28:
En unacompetencia de tiro al blanco, la probabilidad de acertar en un blanco es del 40%.
Si se realizan 20 disparos, ¿cuál es la probabilidad de acertar exactamente 8 veces?
Solución:
Utilizando la distribución binomial, podemos calcularlo de la siguiente manera:
P(X = 8) = C(20, 8) * (0.4)^8 * (0.6)^12 ≈ 0.132
Por lo tanto, la probabilidad de acertar exactamente 8 veces en 20 disparos es
aproximadamente 0.132.
Ejercicio 29:
La duración de las pilas de un dispositivo electrónico sigue una distribución normal con
una media de 100 horas y una desviación estándar de 15 horas. ¿Cuál es la probabilidad
de que una pila dure menos de 80 horas?
Solución:
Podemos utilizar la función de densidad acumulativa para calcularlo:
P(X < 80) = Φ((80-100)/15)
P(X < 80) = Φ(-1.33)
P(X < 80) ≈ 0.0918
Por lo tanto, la probabilidad de que una pila dure menos de 80 horas es aproximadamente
0.0918.