Tabla - Discusión de la Ecuación General Incompleta de 2 Grado

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Discusión de la ecuación general INCOMPLETA de 2° grado en dos variables 
Sea la ecuación general incompleta (no tiene término bilineal Bxy) Ax
2
 + Cy
2
 + Dx + Ey + F = 0 donde A y C no son simultáneamente 
ceros. Si denotamos con M al término independiente en el segundo miembro luego de completar cuadrados, podemos formular las 
condiciones necesarias y suficientes para que la ecuación anterior represente a cada uno de los lugares geométricos estudiados: 
Sección Cónica Condición Necesaria y Suficiente Observaciones 
Circunferencia 
 
(x – h)
2 
+ (y – k)
2
 = r
2
 
 
 
 
A = C y M > 0 
 
 
Si M < 0 → ningún lugar geométrico. 
 
Si M = 0 → el punto (h, k). 
Elipse 
 
(x − h)�
a�
+	
(y − k)�
b�
= 1 
 
 
 
A ≠ C y del mismo signo y M > 0 
 
 
Si M < 0 → ningún lugar geométrico. 
 
Si M = 0 → el punto (h, k). 
Hipérbola 
 
(x − h)�
a�
	−	
(y − k)�
b�
= ±1 
 
 
 
 
A y C de distinto signo y M ≠ 0 
 
Si M = 0 → dos rectas que se cortan en 
 
el punto (h, k). 
Parábolas 
 
(y – k)
2
 = 2p(x – h) 
o 
(x – h)
2
 = 2p(y – k) 
 
 
 
A = 0 , C ≠ 0 y D ≠ 0 
o 
C = 0 , A ≠ 0 y E ≠ 0 
 
Si D = 0 o E = 0 y : 
 
- M < 0 → ningún lugar geométrico. 
 
- M = 0 → una recta ǁ eje de coordenadas. 
 
- M > 0 → dos rectas paralelas.