matemáticas

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Capítulo
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
DEUNA VARIABLE8
* DEFINICIÓN: Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una variable; las cuales se verifican para
todo valor de la variable en que la razón trigonométrica que interviene se encuentra definida.
* CLASIFICACIÓN:
I . I. T. RECÍPROCAS:
Zn;
2
nRx;
Tanx
1Cotx1TanxCotx
Zn;
2
1)(2nRx;
Cosx
1Secx1CosxSecx
}Zn;{nRx;
Senx
1Cscx1SenxCscx
II . I. T. POR DIVISIÓN:
Zn;
2
)1n2(Rx;
Cosx
SenxTanx }Zn;n{Rx;
Senx
CosxCotx
III. I. T. PITÁGORAS:
1xCscxCot
1xCotxscC
Zn;nRx;1xCotxCsc
1xSecxTan
1xTanxSec
Zn;
2
1)(2nRx;1xTanxSec
xSen1xCos
xCos1xSen
Rx;1xCosxSen
22
22
22
22
22
22
22
22
22
1 ;
2
)1)1))11
222
)1 ;
IV. I. T. AUXILIARES:
Zn;nRx;
m
1CotxCscxmCotxCscx
:Si
Zn;
2
)1n2(Rx;
n
1TanxSecxnTanxSecx
:Si
c
bosxC
c
anxSe
:Entonces
baccbCosxnxaSe
:Si
Rx;Senx)(1 Cosx)2(1)CosxSenx1(
Rx;xxCosSen31xCosxSen
Rx;xxCosSen21xCosxSen
Zn;
2
nRx;xxCscSecxCscxSec
Zn;
2
nRx;SecxCscxCotxTanx
22
2
2266
2244
2222
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
CotxCotxCotx
m
CotxCotxCotx
mmm
Capítulo
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE
LA SUMA Y DIFERENCIA DEVARIABLES9
I . Para la Suma:
TanyTanx1
TanyTanx
)yx(Tan
SenySenxCosyCosx)yx(Cos
CosxSenyCosySenx)yx(Sen
II . Para la Diferencia:
TanyTanx1
TanyTanx
)yx(Tan
SenySenxCosyCosx)yx(Cos
CosxSenyCosySenx)yx(Sen
PROPIEDADES:
I .
ySenxCos)yx(Cos)yx(Cos
ySenxSen)yx(Sen)yx(Sen
22
22
II .
CosyCosx
)yx(Sen
TanyTanx
III.
:donde;)x(SenbaK
Rb,abCosxaSenxK:Si
22
b
a
a + b2 2
IV.
22
mín
22
máx
baL
baL
Rx,b,a;bCosxaSenxL
:Si
Donde :
a b : constantes
x : variables
V.
)yx(Tan)yx(TanTanyTanxTanyTanx
ó
)yx(Tan)yx(TanTanyTanxTanyTanx
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA TRES ÁNGULOS
* Propiedades:
I .
1Ctgz Ctgx·Ctgy Ctgz·ii) Ctgx Ctgy·
Tanx · Tany · TanzTanzTanyi) Tanx
Zn;nózyx
:Si
II .
ii) Tan x · Tany + Tany · Tanz + Tanz · Tanx = 1
i) Ctgx + Ctgy + Ctgz = Ctgx · Ctgy · Ctgz
Zn;
2
1)(2nó
2
zyx
:Si
ii) Tan x · Tany + Tany · Tanz + Tanz · Tanx = 1
i) Ctgx + Ctgy + Ctgz = Ctgx · Ctgy · Ctgzi) Ctgx + Ctgy + Ctgz = Ctgx · Ctgy · Ctgz
ii) Tan x · Tany + Tany · Tanz + Tanz · Tanx = 1
i) Ctgx + Ctgy + Ctgz = Ctgx · Ctgy · Ctgzi) Ctgx + Ctgy + Ctgz = Ctgx · Ctgy · Ctgzi) Ctgx + Ctgy + Ctgz = Ctgx · Ctgy · Ctgzi) Ctgx + Ctgy + Ctgz = Ctgx · Ctgy · Ctgzi) Ctgx + Ctgy + Ctgz = Ctgx · Ctgy · Ctgzi) Ctgx + Ctgy + Ctgz = Ctgx · Ctgy · Ctgzi) Ctgx + Ctgy + Ctgz = Ctgx · Ctgy · Ctgzi) Ctgx + Ctgy + Ctgz = Ctgx · Ctgy · Ctgz
Capítulo
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
DELA VARIABLEDOBLE10
xTan1
Tanx2x2TanxSenxCosCos2x2SenxCosxSen2x
2xdeTangente2xdeCoseno2xdeSeno
2
22
También :
xSen21x2Cos 2
1xCos2x2Cos 2
* Fórmulas de Degradación :
x4Cosx2Cos43xCos8x2Cos1xCos2
x4Cosx2Cos43xSen8x2Cos1xSen2
42
42
* Propiedades :
I .
x2Cot2TanxCotx x2Csc4xCscxSec 222x2Csc2TanxCotx
II .
x2Sen1)CosxSenx(
x2Sen1)CosxSenx(
2
2
III.
CosxSenxx2Sen1
CosxSenxx2Sen1
IV.
1x2Sec
Tanx
x2Tan
1x2SecxTanx2Tan
2Cos1
SecSecSecSecSecSec
x
Cos2Cos2Cos211 2CosCosCos
SecSecSecSecSecSecSecSecSecSecSecSecSec
* Triángulo del Ángulo Doble :
2
2
2
Tan1
Tan12Cos
Tan1
Tan2
2Sen
Tan22Tan1
2Tan1
2
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA VARIABLE MITAD
Cosx1
Cosx1
2
xTan
2
Cosx1
2
xCos
2
Cosx1
2
xSen
2
xdeTangente
2
xdeCoseno
2
xdeSeno
Donde el signo )( dependerá del cuadrante en el que se ubique
2
x
CotxCscx
2
x
CotCotxCscx
2
x
Tan
2
xdeCotangente
2
xdeTangente
CscxCscx CotxCscxCscxCscx CotxCotxCotxCscx CotxCotxCscx CotxCscx
Capítulo
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
DELA VARIABLETRIPLE11
xTan31
xTanTanx3x3Tan
2
3
Cosx3xCos4x3Cos 3xSen4Senx3x3Sen 3
Seno de 3x Coseno de 3x Tangente de 3x
FÓRMULAS ESPECIALES:
1x2Cos2
1x2Cos2Tanxx3Tan)1x2Cos2(Cosxx3Cos)1x2Cos2(Senxx3Sen
DEGRADACIONES:
x3CosCosx3xCos4
3
x3SenSenx3xSen4
3
PROPIEDADES :
x3Tan)xº60(Tan)xº60(TanTanx
x3Cos
4
1)xº60(Cos)xº60(CosCosx
x3Sen
4
1)xº60(Sen)xº60(SenSenx
Tanx + Tan(60º+x) + Tan(120º+x) = 3Tan3x
)1 Cos
Cos4CosCosCos4
1)1 CosCosCosCos
44Cos4CosCosCosCos4CosCosCosCosCosCos
Capítulo
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS12
IDENTIDADES PARA LA SUMA Y PRODUCTO DE SENOS Y/O COSENOS
CASO I : Para la suma o diferencia de dos Senos o Cosenos a producto.
2
BAenS
2
BASen2CosACosB
2
BACos
2
BACos2CosBCosA
2
BACos
2
BASen2SenBSenA
2
BA
Cos
2
BA
Sen2SenBSenA
Demostración :
Conocemos :
(4)..................SenxSenyCosxCosy)yx(Cos
(3)..................SenxSenyCosxCosy)yx(Cos
(2)..................CosxSenySenxCosy)yx(Sen
(1)..................CosxSenySenxCosy)yx(Sen
Si sumamos (1) + (2) obtenemos :
Sen(x + y) + Sen(x - y) = 2Senx Cosy ........... (*)
Hacemos un cambio de variable :
Sea:
Byx
Ayx
obtenemos :
2
BAy
2
BAx
Luego en (*) :
2
BACos
2
BASen2SenBSenA
Las restantes identidades pueden verificarse en forma análoga.
CASO II
Para el producto de dos términos, Senos y/o Cosenos a suma o diferencia.
Siendo : x y
2 Senx Cosy = Sen(x + y) + Sen(x y)
2 Seny Cosx = Sen(x + y) Sen(x y)
2 Cosx Cosy = Cos(x + y) + Cos(x y)
2 Senx Seny = Cos(x y) Cos(x + y)
Sen(x + y) + Sen(x - y) = 2Senx Cosy ........... (*)Sen(x + y) + Sen(x - y) = 2Senx Cosy ........... (*)
SenxCosySenxCosy
SenxCosy
SenxCosy
SenxSeny
CosxSeny
SenxSenySenxSeny
SenxSeny
SenxSenySenxSenySenxSenySenxSeny
SenxSenySenxSenySenxSeny
Sen(x + y) + Sen(x - y) = 2Senx Cosy ........... (*)Sen(x + y) + Sen(x - y) = 2Senx Cosy ........... (*)Sen(x + y) + Sen(x - y) = 2Senx Cosy ........... (*)
SenxCosySenxCosySenxCosySenxCosySenxCosySenxCosySenxCosy
SenxCosySenxCosySenxCosySenxCosy
SenxCosy
SenxCosy
SenxCosySenxCosy
SenxSenySenxSenySenxSeny
CosxSeny
SenxSeny
CosxSenyCosxSeny
SenxSenySenxSenySenxSenySenxSenySenxSenySenxSenySenxSenySenxSeny
SenxSenySenxSeny
SenxSenySenxSenySenxSenySenxSenySenxSenySenxSenySenxSenySenxSenySenxSeny
SenxSenySenxSenySenxSenySenxSenySenxSenySenxSenySenxSenySenxSenySenxSenySenxSenySenxSenySenxSenySenxSeny
SERIES TRIGONOMÉTRICAS :
Para la suma de Senos o Cosenos cuyos ángulos están en progresión aritmética.
n
1K
n
1K 2
UPCos
2
rSen
2
nrSen
)r)1K((Cos
2
UPSen
2
rSen
2
nrSen
)r)1K((Sen
Donde :
n : # de términos
r : razón de la P.A.
P : primer ángulo
U : último ángulo
Propiedad Zn
2
1
1n2
n2
Cos....
1n2
6
Cos
1n2
4
Cos
1n2
2
Cos
2
1
1n2
)1n2(
Cos....
1n2
5
Cos
1n2
3
Cos
1n2
Cos
Productorias Zn
2
1n2
1n2
nSen....
1n2
3Sen
1n2
2Sen
1n2
Sen
n
1n2
1n2
nTan....
1n2
3Tan
1n2
2Tan
1n2
Tan
2
1
1n2
nCos....
1n2
3Cos
1n2
2Cos
1n2
Cos
n
n2
n
SenSen
n2
3 ....
1
....
1
Tan
n2
n
SenSenSenSenSenSenSenSenSenSen
22nn2
333
111
....
1
....CosCos................
TanTanTanTanTanTanTanTan