ÁLGEBRA ANUAL UNI 2014 PARTE 8 [PDF DRIVE]

Vista previa del material en texto

1
Álgebra
8
Preguntas Propuestas
. . .
2
Álgebra
Límites
1. Calcule el valor del siguiente límite.
 
l mí
senx x→ +



π
2
1
2
A) 1 B) 1/2 C) 1/3
D) 1/6 E) 2/3
2. Calcule el valor de (L+M – 6), si
 
lím
x
x
x
L
→
−
−
=
3
2 9
3
 
lím
x a
x a x a
x a x a
M
→
− −( ) −
− −( ) −
=
2
2
1
2 2
A) a
a
+
+
2
1
 B) a
a
−
−
2
1
 C) a
a
+
+
1
2
D) a
a + 3
 E) a
a
+ 3
3. Calcule el valor de la siguiente expresión.
 
3
1
1
2 8
21
3
4
l m l mí í
x x
x
x
x
x→ →
−
−





 +
−
−




A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 4
4. Sean L1 y L2 números reales.
 
L
x x x
x x xx
1
2
3 2
3 2
3 2
1
= − + −
− − −





→
l mí
 
L
x
xx2 2
3 6
1 4 7
= −
− −





→
l mí
 Calcule el valor de L1 – L2.
A) 
3
2
 B) 
5
2
 C) −
3
2
D) 0 E) −
5
2
5. Dada la función real
 
f
nx x
x n x
x( )
;
;
=
− ≤ −
+ − <




3 1
12
 si l m ( )í
x
xf→−1
 existe, calcule el valor de n.
A) – 2 B) 4 C) 2
D) 0 E) 1
6. Con respecto a la gráfica de la función F, tal 
como se muestra a continuación
 
– 2 2
Y
X
 Determine el valor de verdad de las siguiente 
proposiciones.
 I. lím
x
xf
→ +
( ) = − ∞
2
 II. lím
x
xf
→− −
( ) = + ∞
2
 III. lím
x
xf
→ −
( ) = + ∞
2
A) FFV B) VFV C) VVF
D) VFF E) VVV
7. Indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones.
 
p
x x x x
xx
: l m
( )( )( )( )
( )
í
→+∞
− − − −
−
=1 2 3 4
2 1
1
24
 
q
x x x
x x xx
: l mí
→+∞
− + −
+ − +
=
2 1
1
2
3 2
3 2 4
 
r
x x x
x x xx
: l mí
→+∞
− + +
+ − +
= +∞4 3 1
2
2 3 5
3 4
 A) FVF B) VVV C) VFV
 D) VVF E) FFF
. . .
3
Álgebra
8. Dados los números
 
M
x
xx
x
: l mí
→+∞
−
+




3 1
3 1
 
N x x x
x
: l mí
→+∞
+ −( )2
 calcule el producto (ln M)N.
A) 
1
3
 B) −
1
3
 C) −
2
3
D) 
1
2
 E) −
1
2
9. Si f x
x
x( )
cot=
− π
2
 calcule el valor de l m ( )í
x
xf
→π
2
A) 1 B) π/2 C) – 1
D) π	 	 	 	 	 	 E) 1/2
10. Con respecto al límite de una función, deter-
mine la alternativa correcta.
A) lím
x
x
x→
−
−
=
1 2
1
1
2
B) lím sgn
x
x x
→
+ −( )( ) =
1
1 0
C) lím
x
x
x→
=
0
1
D) lím
sen
x
x x
x→
+ +
+
=
0
3 3
1
31
E) lím
x
x
x→
−
− −
=
2
2
1 1
2
Sucesiones reales
11. Determine el término que ocupa la posición 6 
de la siguiente sucesión
 
3 4
27
5
48
7
; ; ; ; ...{ }
A) 
1
6
 B) 
108
11
 C) 36
11
D) 
121
13
 E) 
121
14
12. ¿Qué lugares ocupan los términos consecuti-
vos de la siguiente sucesión aritmética, cuyo 
diferencia de cuadrados es 440?
 {xn}n∈N={5; 9; 13; 17; ...}
A) 18 y 20 B) 13 y 14 C) 12 y 13
D) 16 y 17 E) 6 y 7
13. Se define la sucesión {xn} tal que xn=n
2; 
n ∈	Z+. Determine cuántos valores de n veri-
fican la siguiente desigualdad.
 xn+1 – xn ≥ xn – 1
A) 7 B) 5 C) 4
D) 3 E) 2
14. Halle el término enésimo de la siguiente suce-
sión.
 
1
2
8
7
9
5
32
13
; ; ; ; ...




A) 
2
3 1
2n
n +
 B) 
3
2 12
n
n +
 C) 
2
3 1
2n
n −
D) 
3
3 1
2n
n +
 E) 
3 1
3 1
2n
n
−
+
15. Dada la sucesión {xn}, definida por x
n
nn
=
+ 3
,
indique a partir de qué término se verifica la 
desigualdad x xn n+ − <1
1
140
.
A) x17
B) x18
C) x21
D) x12
E) x23
. . .
4
Álgebra
16. Determine el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones.
 I. 
1
n






es acotada
 II. 
( )−







+1 1n
n
no es monótona
 III. 
n
n2 1+






es monótona creciente
A) VVF B) VFF C) VFV
D) FFF E) VVV
17. Dada la siguiente sucesión 
 
a n
n
n
n
n
1
1
2
; si es par
; si es impar−






 Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguiente proposiciones
 I. {an} es convergente
 II. {an} es acotada
 III. {an} es divergente
A) VVV B) FVV C) VVF
D) VFF E) FFV
18. Sea {an} una sucesión de términos no nega-
tivos. Si (an+1)
2=2+an – 1, calcule su valor de 
convergencia.
 A) 1/2 B) 3/4 C) 1
 D) 3/2 E) 2
19. Si b > a > 0. Determine el valor de convergencia 
de la sucesión 
b a
b a
n n
n n
n
+ −( )
+ −( )







+ + ∈
1 1
N
A) b – 2 B) a – 2 C) a – 1
D) b – 1 E) a·b – 1
20. Dada la sucesión
 
xn n{ } =





















∈N
2
4
3
5
4
6
5
7
1 2 3 4
; ; ; ; ...
 determine lím
n
nx→+∞
A) e3 B) e – 2 C) 1/e
D) 1/e3 E) e4
Sucesiones y series
21. Dada la sucesión y
n
n
n =
−( )1
2 8
!
; indique la alter-
nativa correcta.
A) {yn} es convergente
B) {yn} es divergente
C) {yn} es acotada
D) y1=1
E) y2
1
2
=
22. Se define la sucesión (xn) tal que 
 x1 12=
 x x nn n= + ∀ ≥−12 21
 indique el valor de convergencia.
A) 3 B) 12 C) 3
D) 4 E) 2
23. Dada la sucesión (xn) tal que x1=4 y
 xn+1=xn+2n+3; indique xn
A) n(n+3) B) n2+3 C) (n+1)2
D) n(n2+3) E) n2+4n
24. Dada las sucesiones {an} y {bn} tal que
 an=2
n+1, bn= – 2
n+3
 determine la secuencia correcta luego de de-
terminar el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguiente proposiciones.
 I. La sucesión {cn} tal que cn=an+bn es con-
vergente.
 II. La sucesión {cn} tal que cn=an · bn es diver-
gente.
 III. La sucesión {cn} tal que cn=an – bn diverge 
a+ ∞.
A) VVV B) FFF C) VFV
D) VVF E) VFF
. . .
5
Álgebra
25. Sea (xn) una sucesión tal que
 
x
n
n
n n=
2 4 2
2
· · ... ·
· !
 indique la alternativa correcta
A) La sucesión es divergente
B) lím
n
nx→∞
= 1
2
C) La sucesión es decreciente
D) La sucesión es convergente
E) lím
n
nx→∞
= 1
3
26. Si k k
k kk
n + −
+( )
=
=
∑ 1
1
9
101
 indique el valor de n.
A) 90 B) 95 C) 97
D) 99 E) 101
27. Determine el resultado de la siguiente sumato-
ria 2
0
k
k
n
=
∑ en término de n.
A) 2n B) 2n+1 C) 2n – 1
D) 2n+1 –1 E) 2n – 1
28. Calcule la suma de los 20 primeros términos 
de la siguiente sucesión.
 {2; 10; 24; 44; 70; ...}
 A) 8400 B) 2730 C) 1244
 D) 1024 E) 7220
29. Si P n
nn( )
= 2 , entonces, resuelva la siguiente 
ecuación.
 
x P PK K
K
+ −( ) =+
=
∑ ( ) ( )1
1
99
3
1
10
 A) 
1
10






 B) {0} C) −




1
2
 D) {1} E) 
1
3






30. Determine el valor de l mí
x
nS
n→∞ 3
, donde S Kn
K
n
=
=
∑ 2
1
.
A) 
1
6
 B) 
1
3
 C) 
1
2
D) 1 E) 
1
4
Series numéricas
31. Determine el valor de convergencia de la serie 
 
k
k
k
3
51




=
∑
A) 3/2 B) 2/3 C) 1/2
D) 2 E) 15/4
32. Calcule el valor de convergencia de la serie 
2 1
1 4 9 16 21
n
nn
+
+ + + + +=
∞
∑
...
A) 1 B) 3 C) 6
D) 4 E) 1/2
33. Calcule el valor del siguiente límite.
 l mí
n K
n K
a→∞ = +




∑ 1 11
; a > 0
A) 1 B) a C) 1/a
D) 2 E) 4
34. Con respecto a la serie
 
1
00 nnn
n
!=
∞
=
∞ −
∑∑






 indique verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda.
 I. Es divergente.
 II. Converge a 1/e.
 III. Convergente a 
e
e −1
.
A) VFV B) VVF C) FFV
D) FFF E) FVF
. . .
6
Álgebra
35. ¿A qué valor converge la siguiente serie?
 
1
21( ) !k kk +=
∑
∞
 A) 
1
6
 B) 
1
5
 C) 
1
3
 D) 
1
2
 E) 
1
9
36. Determine el valor de convergencia de la serie 
 
1
31 k kk +( )=
∞
∑
A) 11/18 B) 18/11 C) 1/11
D) 1/18 E) 11
37. Si S Kxn
K
K
n
=
=
∑
1
; – 1 < x < 1, calcule el valor de 
l mí
n n
S
→∞
 A) x(x+1)2 B) x(x – 1)2 C) x(x+1) – 1
 D) x(x – 1)– 1 E) x(1 – x) – 1
38. Indique cuáles de las siguientes series son 
convergentes.
 I. 3
1
K
K K!






=
∞
∑
 II. 
1
2 lnKK



=
∞
∑
 III. 
K
K
K 31



=
∞
∑
 A) solo I B) I y III C) solo III
 D) todas E) ninguna
39. Indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones.
 I. La serie 
n n
n nn
2
2
1
1
1
+ +
− +






=
∞
∑ es convergente.
 II. La serie 
1
121 nn +



=
∞
∑ es divergente.
 III. La serie 31
1
−
=
∞
( )∑ K
K
 converge a 
2
3
.
A) VVV 
B) VFV 
C) FVV
D) FFV 
E) FFF
40. Con respecto a la serie 
1
1n
p
n=
∑
∞
, determine el 
valor de verdadde las siguientes proposiciones.
 I. Si p > 1 → la serie converge.
 II. Si p=1 → la serie converge.
 III. Si 0 < p < 1 → la serie diverge.
A) FFF 
B) VFV 
C) FVV
D) VVV 
E) VFF
Claves
01 - C 
02 - C 
03 - C 
04 - C 
05 - A 
06 - B 
07 - C 
08 - B
09 - C 
10 - E 
11 - B 
12 - B 
13 - C 
14 - A 
15 - B 
16 - E
17 - C 
18 - E 
19 - D 
20 - B 
21 - B 
22 - D 
23 - C 
24 - A
25 - D 
26 - D 
27 - D 
28 - A 
29 - D 
30 - B 
31 - E 
32 - C
33 - C 
34 - C 
35 - D 
36 - A 
37 - E 
38 - B 
39 - E 
40 - B