GEOMETRÍA ANUAL UNI 2014 PARTE 5 [PDF DRIVE]

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5
Preguntas Propuestas
. . .
2
Geometría
Áreas regiones circulares
1. Según el gráfico, calcule el área de la región 
sombreada, PH=3 cm. (M, N y P son puntos de 
tangencia)
 
P
B
HP
N
M
O
A
A) p 
B) 2p/3 
C) 4p/3
D) 2p 
E) 5p/6
2. Según el gráfico, calcule el área de la región 
sombreada si MH=4, PM=OB.
45º
A O H B
M
P
A) p B) 2p C) 4p
D) 8p E) 16p
3. En el gráfico, P, Q y T son puntos de tangencia. 
Si QC=2(QT) y AC = 6 2 , calcule el área de la 
región sombreada.
 
P
Q
O
A
B
T
C
 A) 16p B) 8p C) 12p
 D) 9p E) 18p
4. Según el gráfico, A, B, C, D, E, F, G y H son pun-
tos de tangencia. Si A, B y x son las áreas de 
las regiones sombreadas, calcule x en función 
de A y b.
 
AA
GG
HH
XX
BB
A
C D
E F
B
 A) 
a
b
2
 
 B) ab 
 C) 2 ab
 D) 
ab
a b+
 
 E) 
a b
ab
+
3
Geometría
5. En el gráfico, la diferencia de áreas de las re-
giones sombreadas es K. Calcule AB.
 
A C
B
 A) 2
K
≠ B) 
2
2K
≠ C) 
3K
≠
 D) 
K
2≠ E) 
2
3K
≠
6. De las siguientes proposiciones indique el 
valor de verdad.
 I. El ángulo es un conjunto convexo.
 II. Si a una región triangular se le suprime un 
punto de la frontera, el resultado es un con-
junto convexo.
 III. Si a un semicírculo se le suprime un punto 
de la frontera, el resultado es un conjunto 
convexo.
 A) VFV B) FFF C) FVF
 D) VVV E) FFV
7. De las siguientes proposiciones, indique verda-
dero (V) o falso (F) según corresponda.
 I. Una línea infinita contenida en un plano 
que no es secante a sí misma, divide al pla-
no en dos conjuntos convexos.
 II. Si una recta divide a una región en tres re-
giones, entonces dicha región es no con-
vexa.
 III. La intersección de dos regiones no conve-
xas siempre es una región convexa.
 A) FVF B) VFV C) VVV
 D) VVF E) FFF
8. Analice las siguientes proposiciones y señale 
verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
 I. El diámetro de una circunferencia divide a 
esta en dos conjuntos convexos.
 II. Sean R1 y R2 dos regiones no convexas tal 
que R1 ∩ R2 ≠  φ, entonces R1 – R2 no siem-
pre es un conjunto no convexo.
 III. Si a un conjunto convexo le omitimos su fron-
tera, este nuevo conjunto es no convexo.
A) FVF B) VFV C) FVV
D) VFF E) VVF
Geometría del espacio I
9. Sea el M el número máximo de planos que se 
puede determinar con 6 puntos y N el número 
máximo de planos que se puede determinar 
con 5 rectas paralelas. Calcule M – N.
A) 5 B) 7 C) 9
D) 10 E) 12
10. Indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones.
 I. Tres rectas paralelas no coplanares deter-
minan exactamente tres planos.
 II. Tres planos pueden tener un solo punto en 
común.
 III. Sean L 1
���
 y L 2
���
 dos rectas alabeadas, P1 y 
P2 dos planos que las contienen, L1
��
 ⊂ P1 
y L 2
���
 ⊂ P2, entonces, siempre se cumplirá, 
que, P1 ∩ P2 ≠ f.
A) FVF B) VFV C) VVF
D) FFF E) FFV
11. Indique de manera ordenada el valor de los 
siguientes proposiciones:
 I. Si se tiene tres rectas que se cruzan dos a 
dos, entonces dichas rectas pueden deter-
minar un plano.
 II. Si los lados de un triángulo están contenidos 
en tres planos distintos, entonces dichos 
planos son paralelos.
 III. La proyección ortogonal de una línea curva 
sobre un plano, siempre es otra línea curva.
A) VVV B) FVF C) VFV
D) FFF E) VFF
. . .
4
Geometría
12. Señale de forma ordenada el valor de las si-
guientes proposiciones:
 I. Si una recta esta contenida en un plano P 
y además es paralela al plano Q, entonces, 
dichos planos son paralelos.
 II. Si una recta es secante a un plano, entonces 
dicha recta será secante a todos los planos 
paralelos a dicho plano inicial.
 III. Si una recta es paralela a un plano dicha 
recta será paralela a todas las rectas conte-
nidas en dicho plano.
A) FFF B) FVF C) FVV
D) FFV E) VFF
13. Indique de manera ordenada el valor de las 
siguientes proposiciones:
 I. Si dos planos son paralelos, entonces, las 
intersecciones con un tercer plano, son rec-
tas paralelas.
 II. La intersección de 2 planos puede ser un 
punto.
 III. Si dos planos no son paralelos, entonces 
dichos planos son secantes.
A) VVV B) VFF C) VFV
D) FVV E) VVF
14. De las siguientes proposiciones, indique verda-
dero (V) o falso (F) según corresponda.
 I. La intersección de tres planos secantes 
puede ser una recta.
 II. Si una recta es paralela a un plano, enton-
ces toda recta secante a la recta inicial es 
secante a dicho plano.
 III. Si una recta divide a un plano en dos semi-
planos, dicha recta debe estar contenida en 
dicho plano.
A) FVF B) FFV C) VVF
D) FVV E) VFV
15. En el gráfico H // P, las rectas L L L1 2 3
�� ��� ���
, y 
son secantes a los planos H y P en los puntos 
A, M, B, N, C y Q; si AM=3(AE), EN=20, EQ=24 
y NQ=28, calcule el perímetro de ∆ EBC.
 
L 1
L 3
L 2
PP
HH
AA
BB
CC
QQ
NN
EE
MM
A) 9 B) 20 C) 28
D) 18 E) 25
16. De acuerdo al gráfico, indique la proposición o 
proposiciones incorrectas:
L 1
L 2
P
Q
R
α
β
 I. Si R // Q entonces, L L1 2
�� ���
// .
 II. Si L L1 2
�� ���
// entonces, Q// R.
 III. Si a=b, entonces, Q// R.
A) I
B) II y III
C) III y IV
D) II
E) II y I
5
Geometría
Geometría del espacio II
17. Indique el valor de los siguientes enunciados:
 I. Si un plano contiene a una recta perpendi-
cular a otro plano, dichos planos son per-
pendiculares.
 II. Si 2 rectas son perpendiculares a una recta, 
dichas rectas son paralelas.
 III. Por dos rectas paralelas pasa un solo plano.
A) VVV B) VVF C) VFV
D) FVV E) FVF
18. Indique verdadero o falso según corresponda.
 I. La proyección ortogonal de un segmento 
sobre un plano, siempre es otro segmento.
 II. La proyección ortogonal de un triángulo 
sobre un plano puede ser un segmento.
 III. Si el área de la proyección ortogonal de una 
región triangular sobre un plano es igual a 
dicha región entonces las regiones triangu-
lares son paralelas.
A) VVV B) VVF C) VFF
D) FVV E) FFF
19. Se tiene un cuadrado ABCD, CP es perpendicu-
lar al plano que lo contiene y se ubica el punto 
medio M de AB, tal que la distancia de P hacia 
MD es 5. Si PC=3, calcule BC.
A) 4 B) 2 C) 2 5
D) 4 5 E) 5 2
20. En el gráfico, L
��
 es perpendicular al plano H. Si 
PO=10 cm, calcule MN.
 HH
MM
NN
OO
PP
L
30º30º
A) 5 cm B) 5 3 cm C) 10 cm
D) 4 cm E) 6 cm
21. Se tiene un semicírculo de diámetro AB, en el 
cual se inscribe un trapecio ABCD (AB//CD) y 
BC=DC. Por C se traza una perpendicular CP 
al plano del semicírculo en donde CP=BC. 
Calcule la m PAC.
A) 30º B) 37º C) 45º
D) 53º E) 60º
22. En el gráfico las regiones pentagonales son re-
gulares, calcule el ángulo entre MN AD
� �� ���
y .
 
N
M
D
C
B
A
E
P
A) 72º B) 36º C) 18º
D) 54º E) 30º
23. Según el gráfico ABCD es un cuadrado don-
de AL=LB, FD//EB, FD=EB además MN es 
base media del ∆ EFC. Calcule el ángulo entre 
LD MN
��� � ��
y .
 
M
NN C
FF
DA
L
B
E
A) 53º/2 B) 53º C) 37º
D) 37º/2 E) 8º
. . .
6
Geometría
24. Dados los puntos C y D exteriores a un seg-
mento de recta AB. Si M y C son las proyeccio-
nes ortogonales de C y D sobre AB y el plano 
ABC respectivamente y AM=MC=CD. Calcule 
el ángulo determinado por AC y MD.
A) 30º B) 45º C) 60º
D) 90º E) 53º
Geometría del espacio III
25. En un triángulo rectángulo isósceles AB=AC, 
por A se traza la perpendicular AD al plano 
 del triángulo tal que AD = 3 6
2
 y AC=3. 
 Calcule la medida del ángulo diedro D-BC-A.
A) 30º B) 45º C) 60º
D) 37º E) 90º
26. Si AQ es perpendicular al plano que contiene 
a la región cuadrantal AOB donde AO=OB, 
calcule la medida del ángulo diedro formado 
por QOM y la región cuadrantal si AQ=OM, 
CM=MB, C pertenece al AB y M pertenece a CB.
A) 37º B) 45º C) 60º
D) 30º E) 53º
27. En la región interna de un cuadrado ABCD se 
traza una semicircunferencia de diámetro CD, 
y se traza BT tangente a ella. Por B se traza BM 
perpendicular al plano de dicho cuadrado,tal 
que AT=2(BM). Calcule la medida del diedro 
entre las regiones ABCD y AMT.
A) 30º B) 37º/2 C) 45º
D) 127º/2 E) 53º
28. Una semicircunferencia de diámetro AB y cen-
tro O, y un triángulo equilátero ABC, están ubi-
cados en semiplanos cuyo diedro mide 30º. Si 
la proyección de C sobre el plano de la semi-
circunferencia es H, además, OH interseca a 
dicha curva en E, calcule OE/EH.
A) 1/2 B) 3/2 C) 3
D) 2 E) 2
29. En un cuadrado ABCD, de centro O, se traza 
OP perpendicular al plano de dicho cuadrado, 
AB=8 y OP=4, además, M es punto medio de 
OP. Calcule la distancia entre MD
� ��
 y PC
���
.
A) 
1
2
 B) 
2
2
 C) 1
D) 2 E) 2
30. Se muestra un cuadrante y un semicírcu-
lo en planos perpendiculares AM=MB=2 y 
mBP = 60º. Calcule la distancia entre AO
���
 y MP
� ��
.
A
PP
OO
BB
M
 A) 
1
2 B) 
5
5
 C) 
2 5
5
 D) 4 5
5
 E) 2 2
3
31. Sean L L1 2
�� ���
y rectas alabeadas y ortogonales, 
en L1
��
 se ubican A y C y en L2
���
 se ubican B 
y D, tal que, AB es la distancia entre dichas 
rectas (AB=1). Si BC=2 y CD=3, calcule AD.
A) 6 B) 7 C) 2 2
D) 3 E) 10
7
Geometría
32. Se tienen los cuadrados ABCD y CDMN ubica-
dos en planos perpendiculares, O es el centro 
de este último, además se traza una recta tan-
gente TD a la semicircunferencia de diámetro 
AB (T es punto de tangencia). Si P pertenece 
a BC y PC=3, BP=5, calcule la distancia entre 
DT OP
��� ���
y .
A) 
20
3
 B) 24
5
 C) 16/5
D) 
12
5
 E) 
4
5
Ángulo triedro
33. Se muestra el triedro V - ABC. Si MH es perpen-
dicular a la cara VBC y MP=4(HN), calcule x.
A
M
B
C
V H
N
P
x
2α
α
 A) 30º B) 36º C) 28º
 D) 14º E) 53º/2
34. En un tiedro V - ABC, b=c=60º y la medida del 
diedro VA=120º. Si se traza el plano perpendi-
cular a VA en P, que corta a VB y VC en M y N, 
respectivamente, y VP=2, calcule el área de la 
región triangular VMN.
 A) 3 2 B) 3 3 C) 3 5
 D) 3 7 E) 5
35. En un diedro O - ABC, donde cada diedro mide 
120º, se ubica M en OA
���
 y P en OC
���
, además, (OM)
(OP)=3. Calcule el área de la región triangular 
PMO.
 A) 3 B) 2 C) 3
 D) 3 3 E) 2 3
36. En un diedro trirrectángulo O - ABC, los radios 
de las circunferencias inscritas en los triángulos 
AOB, AOC y BOC son 3, 4, 5, respectivamente. 
Si AO+OB+OC=37, calcule el perímetro de la 
región triangular ABC.
 A) 40 
 B) 50 
 C) 55
 D) 60 
 E) 70
37. Se O-ABC un triedro isósceles, m AOB=m  AOC, 
m BOC=90º, además, L, M, Q y P pertenecen 
a OA OB OC
��� ��� ���
, y y a la cara BOC, respectiva-
mente, tal que P-LMQ, es un triedro tri-rectán-
gulo. Si LQ=12 y la medida del ángulo que for-
ma LQ
���
 con la cara BOC es 60º, calcule el área 
de la región triangular MPQ.
A) 6 B) 12 C) 16
D) 18 E) 24
38. Se tiene un cuadrado ABCD. Se traza PC per-
pendicular al plano de dicho cuadrado, tal que 
m PAC=45º. Si H es el ortocentro de la región 
PBD, calcule m HAC.
 A) 15º 
 B) 16º 
 C) 30º
 D) 37º/2 
 E) 53º/2
. . .
8
Geometría
39. Se tiene un triedo O-ABC, la medida del diedro 
OB
���
 es igual 60º, al igual que la medida de la 
cara AOB. Si H es la proyección ortogonal de A 
sobre la cara BOC, AO=4, calcule el área de la 
región AOH.
A) 3 B) 
3 7
2
 C) 
2 7
3
D) 7 E) 
7
3
40. Indique de manera ordenada el valor de ver-
dad de los siguientes enunciados:
 I. La intersección de un ángulo triedro y un pla-
no, puede dar como resultado un triángulo.
 II. Las intersecciones de 2 ángulos triedros 
puede ser un punto.
 III. Si un rayo cuyo origen coincide con el vér-
tice de un ángulo, forma ángulos de igual 
medida con los lados de dicho ángulo, en-
tonces, dicho rayo, es la bisectriz del ángulo 
mencionado.
A) VVV 
B) VVF 
C) VFF
D) FVV 
E) FFV
Claves
01 - A 
02 - C 
03 - D 
04 - B 
05 - B 
06 - B 
07 - A 
08 - A
09 - D 
10 - C 
11 - D 
12 - B 
13 - C 
14 - E 
15 - D 
16 - B
17 - C 
18 - D 
19 - C 
20 - A 
21 - A 
22 - B 
23 - D 
24 - C
25 - C 
26 - B 
27 - B 
28 - D 
29 - D 
30 - C 
31 - A 
32 - D
33 - A 
34 - D 
35 - B 
36 - B 
37 - D 
38 - D 
39 - B 
40 - B