GEOMETRÍA ANUAL UNI 2014 PARTE 3 [PDF DRIVE]

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3
Preguntas Propuestas
. . .
2
Geometría
Cuadrilátero inscrito inscriptible
1. En el gráfico, calcule mAB .
 
A
B
100º
A) 40º B) 80º C) 20º
D) 15º E) 10º
2. En el gráfico mostrado, halle la medida del 
ángulo BFC, si los arcos AB y DEG miden 80º 
y 100º respectivamente.
 
A
B C
D
E
F
G
A) 10º B) 15º C) 20º
D) 25º E) 30º
3. En el gráfico, calcule x si m mAM MB + =160º.
 
x
A
M
B
N
A) 120º
B) 130º
C) 140º
D) 150º
E) 160º
4. En un triángulo isósceles ABC, de base AC, en 
AC se ubica el punto medio M, y en la región 
interior al triángulo se ubica el punto P, tal que 
m APM =m BPC=90º y m PBC=45º, cal-
cule la m MPC.
A) 37º/2 B) 53º/2 C) 18º
D) 37º E) 30º
5. En el gráfico, el cuadrilátero ABCD es inscripti-
ble y mBD = 50º. Calcule x.
 
x
CCBB
AA DD
A) 30º
B) 60º
C) 45º
D) 50º
E) 65º
6. Considere el cuadrado ABCD. En AB se ubica 
el punto E y se traza la diagonal AC que interse-
ca a ED en P. Si por P se traza la perpendicular 
a ED que interseca a BC en F y si AE+FC=8, 
calcule EF.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
3
Geometría
7. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se 
traza la altura BH. En AB y BC se ubican los 
puntos M y N, respectivamente, de manera que 
AMNH es un rombo de centro O. Calcule la 
medida del triángulo BOC.
A) 90º B) 45º C) 60º
D) 72º E) 37º
8. Del gráfico, T es punto de tangencia.
 mAP = 6β y m mAM MB = . Calcule x.
 β
A
T
B
x
M
P
A) 3b B) 4b C) 5b
D) 6b E) 7b
Puntos notables I
9. En el gráfico ABCD es romboide de centro O y 
AD=DE y NO=2, calcule AB.
 
α
A
B C
O
D E
N
α
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 14
10. En el gráfico mostrado, T es punto de tangen-
cia. Si AQ=QB y BT=2, calcule AC.
 
A Q
T
B
C
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
11. En la circunferencia circunscrita al triángulo 
ABC, se ubica el punto M en el arco AC, sea I in-
centro del triángulo ABC, IM=15, m mAM MC = 
y m ABC=74º. Calcule AC.
A) 12 B) 16 C) 18
D) 24 E) 36
12. Del gráfico mostrado, calcule x.
 
α β
β2α
x
θθ
A) 10º
B) 20º
C) 30º
D) 40º
E) 50º
. . .
4
Geometría
13. Sea I y E el incentro y el ex-centro de un 
triángulo ABC (E: ex-centro relativo a BC). Si 
m BAC=2(m ACB), calcule 
AB
IE
.
A) 1 B) 
1
2
 C) 
2
2
D) 2 E) 
2
3
14. En la región exterior relativa a BC, de un trián-
gulo equilátero ABC, se ubican D y L, tal que, 
BGDL es un cuadrado (G: baricentro del trián-
gulo ABC). Calcule m BDC.
A) 75º B) 90º C) 120º
D) 127º E) 143º
15. Se tiene un cuadrilátero ABCD,
 m  ABC=DAC=90º, m =
45º
2
ACB ,
 m =
53º
2
ACD . Halle 
AC
GG1 2
, siendo G1 y G2 bari-
centros de las regiones ABC y DAC.
A) 2
3
 B) 
3
2
 C) 3
D) 2 3 E) 
3 3
2
16. Del gráfico, ADLM es un cuadrado. Calcule x.
 
αααα
A M
LD
x
A) 45º B) 60º C) 75º
D) 90º E) 45º+a
Puntos notables II
17. En un triángulo ABC, cuyo ortocentro es H la 
circunferencia que pasa por C, H y B interseca 
a la prolongación de AB en N, de modo que 
mHBN = 90º y AH=6. Calcule el radio de dicha 
circunferencia.
A) 3 B) 3 2 C) 3 3
D) 6 E) 4 2
18. Sean O y E circuncentro y excentro relativo a 
AC de un triángulo ABC. Si m ABC=2(m AEO), 
calcule m ABC.
A) 30º B) 45º C) 60º
D) 80º E) 90º
19. En el gráfico, T, Q, R y D son puntos de tan-
gencia. ¿Qué punto notable es P del triángulo 
RBD?
 
T
P
R
D
Q
B
120º
A) incentro
B) ex-radio
C) circuncentro
D) punto de Brocard 
E) baricentro
5
Geometría
20. En un triángulo ABC, AB=BC, m ABC=40º de 
incentro I y ortocentro H. Calcule m IAH.
A) 15º B) 20º C) 25º
D) 18º E) 30º
21. En el gráfico, O es circuncentro de triángulo 
ABC, el cuadrilátero OMCN es inscriptible, cal-
cule m OMN.
 
20º
A
B
CM
N
O
A) 20º
B) 30º
C) 40º
D) 50º
E) 60º
22. En el gráfico si m mAB APB� �= , calcule x.
 
A
B
x
P
A) 45º B) 60º C) 75º
D) 74º E) 53º
23. Del gráfico mostrado, los puntos H y O son or-
tocentro y circuncentro, respectivamente, cal-
cule x.
 
L E
αα
OO
HH
AA CC
xx
BB
αα
A) 95º B) 85º C) 80º
D) 90º E) 100º
24. Del gráfico, H es el ortocentro del ABC y L
��
 
es su recta de Euler; calcule α
β
, si MN=NC.
 
β
L
A
H
M
N C
αααα
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4
D) 2/3 E) 3/4
Proporcionalidad de segmentos
25. En el gráfico, BM=MQ=QC y AN=NB.
 Calcule 
NL
QE .
A) 1/4 
A
N
L
M
Q
C E
B
B) 1/5
C) 1/6
D) 2/5
E) 2/7
. . .
6
Geometría
26. Se tiene un trapecio isósceles ABCD, BC // AD, 
donde m BAD=60º; en la prolongación DC 
se ubica el punto E, de modo que EB
���
 es bi-
sectriz del ángulo AEC. Si BC=3 y AE=3(CD), 
calcule EC.
A) 9 B) 12 C) 15
D) 16 E) 18
27. En el gráfico, P y T son puntos de tangencia. Si 
AP=20 y CT=4, calcule CB.
 
P
A
T
C
B
A) 4 B) 5 C) 6
D) 8 E) 10 
28. Sea G el baricentro de una región triangular 
ABC; se traza una recta que contiene a G y es 
secante a AB y BC en M y N, respectivamente. 
Indique la relación correcta.
 A) 
BM
MA
BN
NC
+ = 1
2
 B) 
AM
MB
CN
NB
+ =1
 C) 
AM
MB
CN
NB
+ = 2
 D) 
BM
MA
BN
NC
+ = 2
 E) 
BM
NC
BN
MA
=
29. Del gráfico, D, A, L y M son puntos de tangencia, 
además, mDA =127º . Halle m BAL.
 MM
BB
AA
DD L
A) 74º B) 76º C) 90º
D) 127º/2 E) 143º/2
30. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) 
de incentro I, se traza la bisectriz interior CM. 
Desde M se traza la recta MH, perpendicular a 
AC (H en AC), y en MH
� ��
 se ubica el punto N, tal 
que IH // CN. Calcule MH / HN si la m BAC=62º.
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4
D) 2/5 E) 1/5
31. Del gráfico que se muestra, calcule BC si AB=2 
y CD=3.
 
PP
AA BB CC DD
45º45º
A) 1 B) 1,5 C) 2
D) 2,5 E) 3
7
Geometría
32. En un hexágono regular ABCDEF, en la prolon-
gación de CD, se ubica G, tal que BG interseca 
a CE y CF en M y N, respectivamente. Si GM=a 
y MN=b, halle BN.
A) a
b
 B) 
b a b
a b
+( )
−
 C) a b
a
+
2
D) 
b
a2
 E) 
a a b
a b
−( )
+
Semejanza de triángulos
33. Si m mABD CD� �= , BE
BC
K= , calcule 
FG
BF
.
 
A
B
C
D
E
F
G
A) K B) 
K
K +1
 C) 
1− K
K
D) 
1
K
 E) 
K
K
+
−
1
1
34. En el gráfico G es el baricentro del triángulo 
ABC, si PC=3(AP) y BH=8, calcule BQ.
 A
B
CH P
G
Q
θθ θθ
A) 16 B) 14 C) 12
D) 8 E) 4
35. En el gráfico, AM=4 y MB=8. Si M, N, P y T son 
puntos de tangencia, calcule QT.
 
θ
θ
A BM
N
P Q
T
θ
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 6
36. En un triángulo ABC, recto en B, se traza la 
altura BH, en el triángulo BHC, se traza la al-
tura HM, y en el triángulo BMH, se traza la altu- 
ra MP; calcule MP, tal que, AC=a, BH=b.
A) 
a
b
 B) b
a
2
 C) 
b
a2
D) 
a
b
2
 E) 
2ab
ab
37. Del gráfico, calcule AB, si PT=5; TM=4; 
m mAB MN� �= ; P y T son puntos de tangencia.
 
A
B
M
P
T N
A) 2 5 B) 4 5 C) 3 6
D) 6 E) 6 2
. . .
8
Geometría
38. En el gráfico, m =m mAC� � �BN BMC= 2( ). Si 
AB=8 y BC=4, calcule BM.
 
A M C
B
N
A) 2 2 B) 4 2 C) 5
D) 2 E) 6
39. En un triángulo ABC, se trazan AM; CR y BQ, 
altura y cevianas interiores, respectivamente, 
concurrentes en L. Si CL ∩ MQ={T}
 BL ∩ MR={N} y MT=TQ, calcule MN.
 Considere RM=c y MQ=a.
A) 2 ac B) 3 ac C) ac
D) 
ac
a c+
 E) 
2ac
a c+
40. Del gráfico, A y B son puntos de tangencia, 
calcule CD
DH
.
 
α
α
A
B
C
D
H
37º37º
37º37º
A) 1 B) 2 C) 
2
3
D) 
5
3
 E) 5
4
Claves
01 - C 
02 - A 
03 - C 
04 - B 
05 - E 
06 - E 
07 - A 
08 - B
09 - B 
10 - C 
11 - D 
12 - C 
13 - B 
14 - C 
15 - D 
16 - D
17 - B 
18 - C 
19 - C 
20 - A 
21 - C 
22 - B 
23 - D 
24 - C
25 - C 
26 - B 
27 - C 
28 - B 
29 - C 
30 - C 
31 - A 
32 - B
33 - C 
34 - C 
35 - A 
36 - B 
37 - D 
38 - B 
39 - D 
40 - D