CLASE EXPOSITIVA 1_MATE 2

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Tema: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
 
FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN
-DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. DEFINICIÓN
-INTERPRETACIÓN GEOMETRICA 
-REGLAS BÁSICAS DEL CÁLCULO DE DERIVADAS
INDICE
 
FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN
https://www.youtube.com/watch?v=uK4-s0ojHFg
La recta tangente
INTRODUCCION A DERIVADA
En matemáticas, un vector tangente es un vector que es tangente a una curva o una superficie en un punto dado. 
La dirección de este vector es  la misma que la pendiente de la línea tangente. 
Para entender la definición de derivada de una función primero estudiaremos 
al vector tangente y a la recta secante.
curva
La recta secante en una función
Función original
Recta secante
Sabemos que una de las características principales de una recta 
es su pendiente (m)
En términos muy simples la pendiente de una recta es
un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta
Muy sencillo de obtener si 
tienes dos puntos sobre una recta!
La recta secante
A
B
Recta secante
x2-x1
Función original
Recta secante
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta
secante en la curva de una función es:
La recta secante
Recta tangente
¿Cómo obtener análogamente la pendiente de una recta tangente ?
Recta secante
Al girar la recta secante alrededor 
de P1, el punto (x2,y2) se va 
acercando al punto (x1,y1)
P1
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
Podemos expresar :
Analizando dicho comportamiento,
procedemos a aplicar un límite así:
 -
lim
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
Supongamos que deseamos
conocer la pendiente de la
recta tangente en X=1
Observe que si hacemos
diversas aproximaciones de rectas
secantes, podemos hacer una
muy buena estimación de la 
pendiente de la recta tangente 
La recta tangente
X=1
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE en un punto dado
 -
Finalmente considerando lo siguiente:
La expresión nos queda así:
lim
La recta tangente
lim
Este límite (el cual genera otra 
función), representa la pendiente de 
las diversas rectas tangentes a la
gráfica de una función…..
En honor a Leibniz puede ser representada así:
Por su origen basado en incrementos
=
La recta tangente
Fórmula general de la derivada
Si se realiza el reemplazo entonces se tiene:
Estudiaremos a la  función derivada de f(x) que asocia a cada abscisa x la derivada de f en dicho punto. Se representa por f´(x), y se calcula:
Para calcular el límite anterior se aplica la regla de los cuatro pasos, pero utilizando un punto genérico x (en lugar de un valor concreto a). 
Fórmula General
VIDEO:
https://www.youtube.com/watch?v=yewaEt1rMl0&list=PLunRFUHsCA1y10zdGPnylgrlliyFcFIyO&index=14
EJERCICIO 1
Sea f(x) = Hallar f’(x) en el punto X= 3
EJERCICIO 2
EJERCICIO 3
REGLA PRACTICA PARA EL CALCULO DE DERIVADAS
Sea “m” un valor real que actúa como exponente 
3
1. Sea f(x) = k, entonces: 
 
D (c) = 0
x
2. Sea f(x) = x, entonces: 
 
Ejemplo: f(x) = 5 
REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN
REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN
3. Si f es derivable y c constante, se tiene:
Ejemplo: f(x) = 8x2 
Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el producto de las funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.
Recordemos: Derivada de la función f(x) =
 Consideremos el siguiente producto de funciones
Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando la regla para derivar productos de funciones
tenemos que
EJERCICIO 1
Derivada de un producto de funciones
Resuelve el producto de funciones:
EJERCICIO 2
Derivada de un producto de funciones
Resolver el producto de funciones:
EJERCICIO 3
Derivada de un producto de funciones
Derivada de un producto de varios factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se presenta cuando debemos derivar más de dos factores o términos. Para este caso debemos seguir la siguiente regla. Consideremos tres factores, es decir
su derivada será:
Derivemos la siguiente expresión:
EJERCICIO 1
Derivada de un producto de varios factores
Derivadas del cociente de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es un cociente de funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.
Consideremos el siguiente cociente de funciones
Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar productos de funciones
tenemos que
EJERCICIO 1
Derivadas del cociente de funciones
Es importante recordar que siempre tenemos que llegar a la mínima expresión, como fue en este caso.
EJERCICIO 1
Derivadas del cociente de funciones
Sea
EJERCICIO 2
Derivadas del cociente de funciones
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1.ESPINOZA E. (2015). Análisis Matemático I. Editorial Mir. Lima-Perú. 3ra. Edición. 
2. HAASER – LA SALLE – SULLIVAN (2015). Análisis matemático. Colombia. Editorial Trillas – Volumen 2. 
3. LEITHOLD L. (2014). El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Harla. México. 6ta. Edición 
11
(,)
xy
22
(,)
xy
21
yy
-
21
21
yy
m
xx
-
=
-
tan
m
21
xxx
D=-
0
x
D®
)
(
2
x
f
)
(
1
x
f
tan
m
=
21
()()
fxfx
x
-
D
11
()()
fxxfx
x
+D-
D
21
xxx
=+D
dx
dy

0

xf
(
)
0
=
¢
x
f
(
)
1
=
¢
x
f
 
xfcxcf



(
)
x
x
x
f
16
)
2
(
8
=
=
¢
)
(
)
(
)
(
x
h
x
g
x
f
·
=
(
)
dx
dh
x
g
x
h
dx
dg
dx
df
x
f
)
(
)
(
+
=
=
¢
(
)
dx
df
x
f
=
¢
dx
dh
x
g
x
h
dx
dg
dx
df
)
(
)
(
+
=
)
4
13
)(
5
8
(
)
(
2
2
+
-
=
x
x
x
x
f
)
26
)(
5
8
(
)
4
13
)(
5
16
(
2
2
x
x
x
x
x
dx
df
-
+
+
-
=
2
3
2
3
130
208
20
65
64
208
x
x
x
x
x
-
+
-
-
+
=
20
64
195
416
2
3
-
+
-
=
x
x
x
)
3
)(
4
(
)
(
2
x
x
x
f
+
-
=
)
2
)(
4
(
)
3
)(
1
(
2
x
x
x
dx
df
-
+
+
-
=
2
2
2
8
3
x
x
x
-
+
-
-
=
3
8
3
2
-
+
-
=
x
x
)
2
)(
3
(
)
(
2
1
3
2
x
x
x
x
x
f
+
-
-
=
-
-
)
4
)(
3
(
)
2
)(
3
6
(
2
3
2
2
1
4
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
df
+
-
+
+
-
+
=
-
-
-
-
2
5
3
2
5
3
4
12
3
6
3
12
6
-
-
-
-
-
-
+
+
+
-
+
-
=
x
x
x
x
x
x
3
4
2
24
5
2
3
-
-
+
=
-
-
x
x
x
)
(
)
(
)
(
)
(
x
h
x
g
x
e
x
f
=
dx
dh
x
g
x
e
x
h
dx
dg
x
e
x
h
x
g
dx
de
dx
df
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
+
+
=
)
5
)(
2
)(
3
(
)
(
x
x
x
x
f
-
-
-
=
)
1
)(
2
)(
3
(
)
5
)(
1
)(
3
(
)
5
)(
2
)(
1
(
-
-
-
+
-
-
-
+
-
-
-
=
x
x
x
x
x
x
dx
df
)
2
)(
3
(
)
5
)(
3
(
)
5
)(
2
(
x
x
x
x
x
x
+
-
-
+
-
+
-
+
-
+
-
=
)
2
3
6
(
)
3
2
)(
5
(
2
x
x
x
x
x
x
-
+
+
-
+
+
-
+
-
-
=
)
5
6
(
)
2
5
)(
5
(
2
x
x
x
x
-
+
-
+
+
-
-
=
2
2
5
6
2
5
10
25
x
x
x
x
x
-
+
-
-
+
+
-
=
31
20
3
2
-
+
-
=
x
x
)
x
(
h
)
x
(
g
)
x
(
f
=
[
]
2
)
(
)
(
)
(
x
h
dx
dh
x
g
x
h
dx
dg
dx
df
-
=
2
3
5
4
)
(
+
-
=
x
x
x
f
(
)
2
2
3
)
3
)(
5
4
(
)
2
3
)(
4
(
+
-
-
+
=
x
x
x
dx
df
[
]
2
)
(
)
(
)
(
x
h
dx
dh
x
g
x
h
dx
dg
dx
df
-
=
(
)
2
2
3
)
15
12
(
8
12
+
-
-
+
=
x
x
x
dx
df
(
)
2
2
3
23
+
=
x
1
11
6
8
)
(
2
-
+
-
=
x
x
x
x
f
2
2
)
1
(
)
1
)(
11
6
8
(
)
1
)(
6
16
(
-
+
-
-
-
-
=
x
x
x
x
x
dx
df
2
2
2
)
1
(
11
6
8
6
6
16
16
-
-
+
-
+
-
-
=
x
x
x
x
x
x
2
2
)
1
(
5
16
8
-
-
-
=
x
x
x