Ejercicios universitarios de Analisis real 101

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14. Determine las asíntotas de la hipérbola 𝜆: [𝑎, +∞) → ℝ2 , 𝜆(𝑡) = (𝑡, √𝑡2 − 𝑎2) 
Sea 𝑋(𝑡) = 𝑡 , 𝑌(𝑡) = √𝑡2 − 𝑎2 
- Asíntotas Verticales 
Como 𝑋(𝑡) = 𝑡, 𝑌(𝑡) = √𝑡2 − 𝑎2 → ∄ 𝑡0 ∈ [𝑎, +∞) tal que lim
𝑡→𝑡0
𝑋(𝑡) = 𝑎 , lim
𝑡→𝑡0
𝑌(𝑡) = +∞ , 𝑎 es finito 
Entonces no existen asíntotas verticales. 
 
- Asíntotas Horizontales 
Como 𝑌(𝑡) = √𝑡2 − 𝑎2, 𝑋(𝑡) = 𝑡 → ∄ 𝑡0 ∈ [𝑎, +∞) tal que lim
𝑡→𝑡0
𝑌(𝑡) = 𝑏 , lim
𝑡→𝑡0
𝑋(𝑡) = ±∞ , 𝑏 es finito 
Entonces no existen asíntotas horizontales. 
 
- Dirección Asintótica 
Como 𝑌(𝑡) = √𝑡2 − 𝑎2, 𝑋(𝑡) = 𝑡 y 𝑡0 ∈ [𝑎, +∞) → Si 𝑡0 = +∞ se tiene lim
𝑡→𝑡0
𝑌(𝑡) = +∞ , lim
𝑡→𝑡0
𝑋(𝑡) = +∞ 
→ lim
𝑡→+∞
𝑌(𝑡)
𝑋(𝑡)
= lim
𝑡→+∞
√𝑡2 − 𝑎2
𝑡
= lim
𝑡→+∞
√1 −
𝑎2
𝑡2
1
= 1 
Como lim
𝑡→+∞
𝑌(𝑡)
𝑋(𝑡)
= 1 
→ lim
𝑡→+∞
𝑌(𝑡) − 𝑋(𝑡) = lim
𝑡→+∞
√𝑡2 − 𝑎2 − 𝑡 
 = lim
𝑡→+∞
[(√𝑡2 − 𝑎2 − 𝑡) (
√𝑡2 − 𝑎2 + 𝑡
√𝑡2 − 𝑎2 + 𝑡
)] 
= lim
𝑡→+∞
[
𝑡2 − 𝑎2 − 𝑡2
√𝑡2 − 𝑎2 + 𝑡
] 
= lim
𝑡→+∞
[
−𝑎2
√𝑡2 − 𝑎2 + 𝑡
] 
=
−𝑎2
√(+∞)2 − 𝑎2 + (+∞)
 
= 0 … (1) 
lim
𝑡→∞
𝑑(𝜆(𝑡), 𝛼(𝑡)) = lim
𝑡→∞
‖(𝑡, √𝑡2 − 𝑎2) − (𝑡, 𝑡)‖ 
= lim
𝑡→∞
‖(0, √𝑡2 − 𝑎2 − 𝑡)‖ 
= lim
𝑡→∞
‖(0, 𝑌(𝑡) − 𝑋(𝑡))‖ 
= ‖( lim
𝑡→∞
0, lim
𝑡→∞
(𝑌(𝑡) − 𝑋(𝑡)))‖ 
Como por (1) lim
𝑡→+∞
𝑌(𝑡) − 𝑋(𝑡) = 0 
= (0,0) 
 Luego 𝜶(𝒕) ≔ (𝒕, 𝒕) , 𝒕 ∈ ℝ es una asíntota 
 
 
 
 
Grafica para un 𝑎 = 2