Ejercicios universitarios de Analisis real 122

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17. Sea 𝑓: ℝ𝑚 → ℝ tal que |𝑓(𝑥)| ≤ ‖𝑥‖2, para todo 𝑥 ∈ ℝ𝑚. Pruebe que 𝑓 es diferenciable en el origen. 
Afirmamos que 𝑓 es diferenciable en 0 ∈ ℝ𝑚 
- Existen las derivadas parciales, es decir, ∃ 
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
(0), ∀ 𝑖 = 1, … , 𝑚 
Demostración: 
Como |𝑓(𝑥)| ≤ ‖𝑥‖2, si 𝑥 = 0 → |𝑓(0)| ≤ ‖𝑥‖2 = 0 → |𝑓(0)| = 0 → 𝑓(0) = 0 
Como |𝑓(𝑥)| ≤ ‖𝑥‖2, si 𝑥 = 𝑡𝑒𝑖 → |𝑓(𝑡𝑒𝑖)| ≤ ‖𝑡𝑒𝑖‖
2 = |𝑡|2 
|
𝑓(𝑡𝑒𝑖)
𝑡
| ≤ |𝑡| 
lim
𝑡→0
|
𝑓(𝑡𝑒𝑖)
𝑡
| ≤ lim
𝑡→0
|𝑡| = 0 
lim
𝑡→0
|
𝑓(𝑡𝑒𝑖)
𝑡
| = 0 
Por definición ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 tal que |𝑡 − 0| < 𝛿 ⇒ ||
𝑓(𝑡𝑒𝑖)
𝑡
| − 0| < 𝜀 
⇒ |
𝑓(𝑡𝑒𝑖)
𝑡
| < 𝜀 
⇒ |
𝑓(𝑡𝑒𝑖)
𝑡
− 0| < 𝜀 
lim
𝑡→0
𝑡𝑓(𝑒𝑖)
𝑡
= 0 
 
Ahora, 
lim
𝑡→0
𝑓(0 + 𝑡𝑒𝑖) − 𝑓(0)
𝑡
= lim
𝑡→0
𝑓(𝑡𝑒𝑖) − 0
𝑡
= lim
𝑡→0
𝑓(𝑡𝑒𝑖)
𝑡
= 0 
 
- Para todo 𝑣 = (𝑣1, … , 𝑣𝑛) tal que 0 + 𝑣 ∈ ℝ
𝑚, se tiene que 
𝑓(0 + 𝑣) − 𝑓(0) = ∑ 
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
(0) ∙ 𝑣𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 𝑟(𝑣) 
Demostración: 
𝑓(0 + 𝑣) − 𝑓(0) = ∑ 
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
(0) ∙ 𝑣𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 𝑟(𝑣) 
𝑓(𝑣) − 0 = ∑ 0 ∙ 𝑣𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 𝑟(𝑣) 
𝑓(𝑣) = 0 + 𝑟(𝑣) 
𝑟(𝑣) = 𝑓(𝑣) 
Ahora, 
lim
𝑣→0
𝑟(𝑣)
‖𝑣‖
= lim
𝑣→0
𝑓(𝑣)
‖𝑣‖
 
 
Como |𝑓(𝑥)| ≤ ‖𝑥‖2, si 𝑥 = 𝑣 → |𝑓(𝑣)| ≤ ‖𝑣‖2 
→
|𝑓(𝑣)|
‖𝑣‖
≤ ‖𝑣‖ 
→ lim
𝑣→0
|
𝑓(𝑣)
‖𝑣‖
| ≤ lim
𝑣→0
‖𝑣‖ = 0 
→ lim
𝑣→0
|
𝑓(𝑣)
‖𝑣‖
| = 0 
→ lim
𝑣→0
𝑓(𝑣)
‖𝑣‖
= 0 
∴ lim
𝑣→0
𝑟(𝑣)
‖𝑣‖
= 0